李英剛

[摘 要] 數(shù)學(xué)知識(shí)由于其抽象性，與英語、政治等文科記憶型科目不同，較多學(xué)生難以直觀理解. 因此，學(xué)生在中學(xué)階段的數(shù)學(xué)水平出現(xiàn)了明顯的等級(jí)劃分. 數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)講究理解記憶，而由于數(shù)學(xué)知識(shí)的抽象性與復(fù)雜性，很多學(xué)生在感官上就對(duì)某些知識(shí)難以理解. 筆者針對(duì)這個(gè)問題試從幾個(gè)方面入手將直觀性教學(xué)法應(yīng)用于高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，以幫助學(xué)生理解抽象的高中數(shù)學(xué)知識(shí).

[關(guān)鍵詞] 高中數(shù)學(xué)；直觀性教學(xué)；塑造思維；教學(xué)應(yīng)用

引言：直觀性教學(xué)法因?yàn)槔玫搅酥庇^的道具、通俗易懂的語言，采用了學(xué)生熟悉的例證或模型，所以在運(yùn)用直觀性教學(xué)法講解一些抽象的或者復(fù)雜的問題時(shí)往往具有出其不意的效果，能讓大多數(shù)學(xué)生聽懂. 直觀性教學(xué)法主要在物理、化學(xué)、數(shù)學(xué)等較為抽象的理論知識(shí)以及實(shí)驗(yàn)中應(yīng)用. 如何運(yùn)用直觀性教學(xué)法讓學(xué)生聽懂難以理解和晦澀的高中數(shù)學(xué)知識(shí)已成為眾多高中教師重點(diǎn)研究的方向.

把握教學(xué)語言的直觀性原則

多數(shù)學(xué)生認(rèn)為高中數(shù)學(xué)難學(xué)的原因在于數(shù)學(xué)的定理、公式繁多，而且數(shù)學(xué)的公式與語文、英語等文科的詩詞、單詞不同，僅僅記住公式本身是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的. 高中數(shù)學(xué)定理、公式的重點(diǎn)和難點(diǎn)在于理解，如果只是死記硬背，那么對(duì)解題沒有絲毫幫助. 而大多數(shù)教師在講解定理與公式時(shí)多數(shù)采用照本宣科的模式，僅僅簡(jiǎn)單地將該定理或公式向?qū)W生念一遍，對(duì)公式內(nèi)容和一些公式的由來則著墨不多. 大多數(shù)教師都是采用數(shù)學(xué)試題的形式讓學(xué)生強(qiáng)化一些數(shù)學(xué)概念及公式.

比如在講解集合的相關(guān)概念時(shí)，大多數(shù)教師都是簡(jiǎn)單地將集合的定義介紹給學(xué)生，然后給學(xué)生大量的習(xí)題，讓學(xué)生在題海戰(zhàn)術(shù)中越挫越勇，從而強(qiáng)化對(duì)集合相關(guān)概念的理解. 而事實(shí)上，如果讓學(xué)生在對(duì)集合的概念都不了解的情況下就進(jìn)行大量的題海戰(zhàn)術(shù)，這樣學(xué)生強(qiáng)化的并不是集合的相關(guān)概念，而是一些例題的答案. 長(zhǎng)此以往，學(xué)生的基礎(chǔ)知識(shí)不但不會(huì)牢固，一旦擱置一段時(shí)間不練習(xí)，學(xué)生對(duì)該概念就會(huì)生疏.

再拿集合舉例，如果我們?cè)谙驅(qū)W生講解集合的相關(guān)概念時(shí)，運(yùn)用直觀的語言如打比方或聯(lián)系生活中的例子向?qū)W生展示知識(shí)點(diǎn)，那么這樣就可以加強(qiáng)學(xué)生的印象. 好比在物理教學(xué)中講解牛頓定理運(yùn)用蘋果的故事加強(qiáng)印象一樣，現(xiàn)在學(xué)生幾乎已經(jīng)將牛頓萬有引力定律與蘋果建立了條件反射，這在數(shù)學(xué)教學(xué)中同樣可以運(yùn)用. 比如講全集時(shí)，可以將全集比作我們的國(guó)家，而把子集比作我們的各個(gè)省份，這樣學(xué)生運(yùn)用已有的知識(shí)或生活常識(shí)就能聯(lián)想到集合的本質(zhì)含義，他們對(duì)集合概念的理解就能根深蒂固了. 再如講解交集時(shí)，可以將水果作為全集R，一筐蘋果為一個(gè)子集A，一筐鴨梨為B，若一筐蘋果與這筐鴨梨混雜了，那么裝蘋果的筐中就有了鴨梨，所以這就是交集的概念. 這樣直觀而生動(dòng)的教學(xué)語言，更容易讓學(xué)生理解和記憶.

數(shù)形結(jié)合的直觀性教學(xué)

在面對(duì)一些深?yuàn)W的數(shù)學(xué)問題時(shí)，學(xué)生解題的難點(diǎn)在于無從下手，有時(shí)甚至讀不懂題意. 這時(shí)候，直觀生動(dòng)的教學(xué)語言也難以讓每一位學(xué)生都理解，因?yàn)槊恳晃粚W(xué)生的邏輯想象能力都不盡相同. 這時(shí)候最好幫助學(xué)生理解題目的就是數(shù)形結(jié)合思想. 學(xué)生在讀題時(shí)可以一邊把題目的已知條件標(biāo)注出來，一邊把題目中已知的圖形做出來，待讀完題目時(shí)，與題目相關(guān)的圖形也就一目了然了. 這樣原本晦澀難懂的題目就轉(zhuǎn)變成了關(guān)系清晰的圖形，剩下的則只需根據(jù)題目要求將對(duì)應(yīng)關(guān)系找出，題目便可迎刃而解了.

最適合運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想的題型就是一些與函數(shù)相關(guān)的選擇題或填空題和試卷中的解析幾何題. 比如y=與x坐標(biāo)軸所圍成的圖形的面積是多少？如果按照常規(guī)的解題思路，這道題在高中階段是很難解決的，因?yàn)榈阶詈笏婕傲烁叩葦?shù)學(xué)中定積分的知識(shí). 但是如果能夠利用數(shù)形結(jié)合的方法，那么就可以將該函數(shù)式改寫成x2+y2=1. 顯然該函數(shù)式表示的就是一個(gè)圓心為原點(diǎn)，半徑為1的圓，不過在畫圖的時(shí)候要注意，這個(gè)圖是半圓，因?yàn)閥必需大于等于0才有意義. 所以此題答案就是圓面積的一半.

上例是在一些小題中的應(yīng)用，再舉一個(gè)在解析幾何中的應(yīng)用. 學(xué)生在做解析幾何的題目時(shí)，常常都會(huì)遇到計(jì)算一些斜率的問題. 因?yàn)榻馕鰩缀螁栴}中遇到的基本都是圓錐曲線與直線的組合題型，所以利用曲線與直線的相對(duì)關(guān)系，計(jì)算直線的斜率是非常常規(guī)的一種題型. 但問題在于，圓錐曲線是帶平方的，因此在利用圓錐曲線計(jì)算直線的斜率時(shí)通常會(huì)得到一正一負(fù)兩個(gè)答案. 那么哪個(gè)答案才是正確答案呢？這時(shí)候通過數(shù)形結(jié)合法，就可以直觀地將另一個(gè)不符合要求的答案排除（有些情況下兩個(gè)答案都是正確的，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合可輕易判斷出來）.

教學(xué)道具的直觀化

實(shí)物教學(xué)是最能幫助學(xué)生理解的一種教學(xué)方式，采用直觀化的教學(xué)道具進(jìn)行教學(xué)也是對(duì)直觀教學(xué)法的一種成熟的實(shí)踐，目前該法廣泛用于各類數(shù)學(xué)幾何問題的教學(xué)研究中. 數(shù)學(xué)問題中抽象問題可以分為兩類，一類是如函數(shù)類型的考察邏輯思維的抽象問題，一類是如空間立體幾何中的考察空間想象能力的問題. 簡(jiǎn)單的邏輯思維的問題可以在直觀的課堂講解中解決，而復(fù)雜一些的問題通過數(shù)形結(jié)合法也可以搞定，但對(duì)于空間幾何問題，圖形難以畫出，而大多數(shù)學(xué)生由于缺乏事物參照僅靠想象難以想出來，所以這就是實(shí)物教學(xué)最大的優(yōu)勢(shì)，將難以畫出的圖形利用實(shí)物展現(xiàn)出來.

例如，在講解空間立體圖形的一些基本性質(zhì)時(shí)，教師就可以將事先準(zhǔn)備好的教學(xué)道具——一些圓錐體、立方體、圓柱筒拿出來，一邊講解，一邊通過實(shí)物圖向?qū)W生展示，這樣學(xué)生學(xué)起來就不會(huì)產(chǎn)生理解上的困惑. 并且通過實(shí)物圖形還可以建立實(shí)物圖形與大腦想象力的結(jié)合，在大腦中存儲(chǔ)關(guān)于實(shí)物圖的模型，在今后做題時(shí)，就會(huì)建立反饋. 而對(duì)于一些難以進(jìn)行實(shí)物展示的復(fù)雜圖形，這里就要求教師提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)，多學(xué)習(xí)一些數(shù)學(xué)作圖軟件，比如可以通過Matlab等軟件向?qū)W生展示圖形的各個(gè)部位的性質(zhì). 而且運(yùn)用軟件，教師還可以通過修改圖形參數(shù)向?qū)W生展示圓錐體與圓柱體等之間的區(qū)別與聯(lián)系. 通過這些直觀的教學(xué)道具和可視化的漸變，學(xué)生必定會(huì)對(duì)相應(yīng)的圖形的性質(zhì)有所印象.

直觀列舉法

對(duì)于一些需要?dú)w納理解的數(shù)學(xué)問題，可能難以直觀地看清題目的真實(shí)面貌，有些題目并不存在圖形，也不可能用實(shí)物將其展現(xiàn)出來，這時(shí)候可能就需要運(yùn)用直觀列舉法將其中隱藏的規(guī)律找出來. 在解題中，這種方法看起來是最笨的方法，一點(diǎn)也不直觀，而且大多數(shù)學(xué)生都傾向于捷徑來解決數(shù)學(xué)問題，但有時(shí)這種最笨重的方法也會(huì)變成最直觀的一種方法. 如下面兩個(gè)案例：

第一個(gè)是三角函數(shù)的周期問題，三角函數(shù)屬于函數(shù)，其可以畫出圖形，但筆者討論的是在初學(xué)三角函數(shù)時(shí)，如何判斷其周期性. 這時(shí)候就可以采用直觀列舉法，我們可以計(jì)算出三角函數(shù)在0°，30°，45°，60°，90°，120°，135°，150°，180°等的函數(shù)值，然后通過數(shù)學(xué)歸納法，就可以清晰地判斷出該函數(shù)的周期. 這種方法特別適合在解題無頭緒的時(shí)候進(jìn)行的一種猜想驗(yàn)證.

第二個(gè)例子則較有代表性，是關(guān)于數(shù)列求通項(xiàng)的. 我們?cè)诮鉀Q數(shù)列問題時(shí)，往往第一步是求某一數(shù)列的通項(xiàng)，對(duì)于常規(guī)的數(shù)列我們都可以根據(jù)其公式來求通項(xiàng). 但對(duì)于比較復(fù)雜的數(shù)列，如給出某一數(shù)列和與原數(shù)列相混合，然后再給出一個(gè)遞推公式，問該數(shù)列的通項(xiàng)是什么. 這個(gè)問題如果不利用遞推公式根據(jù)前幾項(xiàng)找出該混合數(shù)列的前幾項(xiàng)，然后依據(jù)前幾項(xiàng)找出數(shù)列隱藏的規(guī)律，則題目根本無法進(jìn)行下一步. 所以在解決數(shù)列類問題時(shí)，直觀列舉法盡管看似笨重，不帶一點(diǎn)技巧性，實(shí)則內(nèi)有乾坤，蘊(yùn)含著大量的解題信息.

結(jié)束語：以上就是筆者關(guān)于直觀性教學(xué)法在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的運(yùn)用研究. 直觀性教學(xué)法在數(shù)學(xué)中的運(yùn)用還遠(yuǎn)不止這幾種嘗試. 直觀性教學(xué)法在教學(xué)中具有直觀、可視化、易理解等優(yōu)勢(shì)，作為一名數(shù)學(xué)教師，我們應(yīng)當(dāng)貫徹落實(shí)直觀教學(xué)法在數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用，讓高中數(shù)學(xué)教育深入淺出，讓學(xué)生不再將數(shù)學(xué)視若猛虎.