王青松

【內容摘要】從數(shù)形兩方面探究、推導“平方差公式”，觀察并總結出公式的形式特征。

【關鍵詞】多項式乘法法則 平方差公式

一、 知識回顧

多項式乘法法則：（a+b）（m+n）=am+an+bm+bn

其意義是：

多項式與多項式相乘，先用一個多項式的每一項分別乘以另一個多項式的每一項，再把所得的積相加.

說明：這里相乘的兩個多項式不管是幾項式，其法則不變.

二、問題探究

計算：

（1）（x+2y）（x-2y）；

（2）（x-6y）（x+6y）；

（3）（3x+5y）（3x-5y）；

（4）（a+b）（a-b）.

觀察與思考：這幾道問題中相乘的兩個多項式之間有何關系特征？其相乘的結果形式有何特征？為什么？你能概括出什么結論？

1.可看作是“兩個數(shù)的和乘以這兩個數(shù)的差”，其結果是等于“這兩數(shù)的平方差”.

即：兩數(shù)的和乘以這兩數(shù)的差=這兩數(shù)的平方差.

2.左邊的兩個二項式中有一項相同，另一項是互為相反數(shù)；右邊是相同項的平方減去互為相反數(shù)的項的平方.

（a+b）（a-b）=a2-ab+ab-b2；

觀察其計算的過程，展開式的中間兩項恰好是互為相反數(shù)，合并為零，所以最后的結果只剩下兩項。

概括：（閱讀課本第31頁）

平方差公式：（a+b）（a-b）=a2-b2.

其意義是：

（1）兩個數(shù)的和乘以這兩個數(shù)的差，這兩數(shù)的平方差；

（2）相乘的兩個多項式中，有一項相同，另一項是互為相反數(shù)，其相乘的結果是相同項的平方減去互為相反數(shù)的項的平方.

說明：

1.公式中的a、b可以是數(shù)或單項式或單項式；

2.注意公式的第二層面的理解。

用面積法來解釋公式的幾何意義：

如圖，把邊長為a的正方形挖去一個邊長為 的正方形，剩下的圖形面積有幾種不同的求法？它們表示的代數(shù)恒等式是什么？

在圖1中，S=a2-b2；在圖2中，S=（a+b）（a-b）。

∴a2-b2=（a+b）（a-b）；或說：（a+b）（a-b）=a2-b2。

試一試：

1. 計算：

（1）（a+3）（a-3）；

（2）（2a+3b）（2a-3b）；

（3）（1+2c）（1-2c）；

（4）（-2x-y）（2x-y）.

第（4）題的進一步探究：

變式計算：

（1）（2x+y）（-y+2x）；

（2）（2x+y）（y-2x）；

（3）（-2x+y）（2x+y）；

（4）（-2x-y）（-2x+y）；

（5）（2x+y）（-2x-y）.

由這組題目的計算，你對平方差公式的特征還有什么新的認識？

相乘的兩個多項式中，若有一項相同，另一項是互為相反數(shù)，則它們的積等于 項的平方減去 項的平方.

練一練：

計算：

（1）（2x+12） （2x-12）；

（2）（-x+2）（-x-2）；

（3）（-2x+3y）（2x+3y）；

（4）（y-x）（-x-y）.

注意：相同項的平方減去相反項的平方！

更上一層樓：

1.計算：（x+2）（x-3）-（x-4）（x+4）.

2.先化簡，再求值：（x-3y）（x+y）-（x+3y）（x-3y），其中，x=-2，y=14.

三、課后練習

1.計算：

（1）（a+3）（a-5）= ；

（2）（a+3）（a-3）= ；

（3）（a-5）（a+5）= ；

（4）（a-3）（a-5）= .

2.計算：

（1）（x+3y）（x-3y）= ；

（2）（3x+2y）（3x-2y）= ；

（3）（2x-5y）（2x+5y）= ；

（4）（-x+3）（-x-3）= .

3.計算：

（1）（a-4）（a+4）+（a-1）（a+1）；

（2）（5+x）（5-x）+（x-1）（x+3）；

（3）（3x-4y）（3x+4y）-（x+4y）（x-4y）；

（4）（a+2b）（2b-a）-（a+3b）（a-b）.

4.解方程：4x2-（x-2）（x+2）=（x-4）（3x+4）.

5.先化簡，再求值：（x+3）（x-3）-（3x+2）（2-3x），其中x=2.

6.計算：（2x-y）（2x+y）（4x2+y2）.

7.（1）探究：計算下列各式：

（x-1）（x+1）= .

（x-1）（x2+x+1）= .

（x-1）（x3+x2+x+1）= .

（2）歸納：（x-1）（xn-1+xn-2+xn-3+...+x+1）= .

【參考文獻】

[1]華師大《八年級上冊》（2014版）.

（作者單位：福建省泉州市培元中學）