■河北省張家口市第二中學(xué) 王 瀟

數(shù)列求和歷來(lái)是高考考查的重點(diǎn)內(nèi)容,裂項(xiàng)法是求和的重要方法之一,這里重點(diǎn)介紹幾種不常見(jiàn)的裂項(xiàng)求和題型,希望能幫助同學(xué)們深刻理解這種方法的思想。

裂項(xiàng)相消法的實(shí)質(zhì)是:把數(shù)列的通項(xiàng)拆成兩項(xiàng)之差,即數(shù)列的每一項(xiàng)都可按此法拆成兩項(xiàng)之差,在求和時(shí)一些正負(fù)項(xiàng)相互抵消,于是前n項(xiàng)的和變成首尾若干項(xiàng)之和。

常用裂項(xiàng)形式有:

例2 已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,且滿(mǎn)足Sn=2（an-1）（n∈N*）。

（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;

（2）設(shè)bn=ln an（n∈N*）,試求數(shù)列

解析：（1）因?yàn)镾n=2（an-1）,所以當(dāng)n=1時(shí),S1=2（a1-1）=a1,解得a1=2。

當(dāng)n＞1時(shí),Sn-1=2（an-1-1）,所以an=Sn-Sn-1=2an-2an-1,故an=2an-1。

所以{an}是以2為首項(xiàng),以2為公比的等比數(shù)列,an=2n。

（2）bn=ln 2n=nln

2,所以bn+2=（n+2）·ln 2。

在利用裂項(xiàng)相消法求和時(shí)應(yīng)注意:

（1）在把通項(xiàng)裂開(kāi)后,要觀察是否恰好等于相應(yīng)的兩項(xiàng)之差;

（2）使用裂項(xiàng)法求和時(shí),要注意正負(fù)項(xiàng)相消時(shí)消去了哪些項(xiàng),保留了哪些項(xiàng),切不可漏寫(xiě)未被消去的項(xiàng),未被消去的項(xiàng)有前后對(duì)稱(chēng)的特點(diǎn),實(shí)質(zhì)上造成正負(fù)相消是此法的根源與目的。