基于特征基函數(shù)法的一維理想導(dǎo)體粗糙海面電磁散射快速算法研究

王晶晶 王安琪 蔣鐵珍 黃志祥

(安徽大學(xué) 計(jì)算智能與信號(hào)處理重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,合肥 230039)

引 言

粗糙海面電磁散射特性的研究在現(xiàn)代雷達(dá)探測(cè)、海洋探測(cè)、目標(biāo)隱身等領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用[1-3]. 近年來有關(guān)該問題的研究受到國內(nèi)外諸多學(xué)者的關(guān)注,如有限元積分方法在海面電磁散射中的應(yīng)用[4],雙尺度法在海面電磁散射中的應(yīng)用[5]等. 而矩量法[6](method of moments, MoM)因其自動(dòng)滿足輻射條件、無需額外設(shè)置邊界條件、計(jì)算精度高等優(yōu)點(diǎn)被廣泛應(yīng)用于粗糙海面電磁散射的數(shù)值仿真中[7-11]. 然而MoM中的矩陣通常是一個(gè)滿陣,當(dāng)求解具有較多未知量的矩陣方程時(shí)存在對(duì)計(jì)算機(jī)內(nèi)存需求過大、計(jì)算耗時(shí)的缺點(diǎn). 尤其是當(dāng)利用MoM仿真模擬大角度入射下粗糙海面的電磁散射問題時(shí),必須模擬足夠長(zhǎng)的粗糙海面[12]才能保證計(jì)算結(jié)果的精確性,這必會(huì)引入大量的未知量,對(duì)計(jì)算機(jī)內(nèi)存的需求過大. 因而尋找一種精確快速計(jì)算粗糙海面電磁散射的數(shù)值方法就非常必要了.

為克服因計(jì)算量大而導(dǎo)致的計(jì)算機(jī)內(nèi)存負(fù)擔(dān)過重的缺陷,前人在傳統(tǒng)MoM的基礎(chǔ)上做了一些改進(jìn),相繼提出了一些高效的算法,如快速多極子法[13]、預(yù)修正多層快速多極子算法[14]等,然而這些方法是采用一定程度的近似從矩陣方程生成的角度或者結(jié)合預(yù)處理技術(shù)加快迭代收斂過程對(duì)MoM方法進(jìn)行改進(jìn),存在迭代收斂的缺陷,導(dǎo)致高海情粗糙海面電磁散射數(shù)值仿真時(shí)存在迭代步數(shù)過多、計(jì)算時(shí)間過長(zhǎng)的困境.

本文應(yīng)用的特征基函數(shù)法(characteristic basis function method, CBFM)最初是由Mittra和Prakash提出的[15],基于子域的概念,根據(jù)Foldy-Lax多徑散射方程[16]構(gòu)造特征基函數(shù),通過離散子域尺寸的選取控制實(shí)際操作矩陣的維數(shù). 它可以在保證計(jì)算精度的前提下,有效地縮短計(jì)算時(shí)間,同時(shí)降低對(duì)計(jì)算機(jī)內(nèi)存的需求.

1 粗糙海面電磁散射的MoM研究

圖1為一維理想導(dǎo)體(perfectly electric conductor, PEC)粗糙海面電磁散射的幾何示意圖,其中粗糙海面是PM(Pierson-Moskowitz)譜海面[17],高度函數(shù)為z=f(x). 模擬粗糙海面的長(zhǎng)度為L(zhǎng),海面風(fēng)速為U. 本文中所采用的時(shí)諧因子是e-iωt,位置矢量為r=xx+zz. 當(dāng)入射電磁波是水平(Horizontal, H)極化方式時(shí),其電場(chǎng)積分方程(electric field integral equation, EFIE)為[16]

(1)

當(dāng)入射電磁波是垂直(Vertical, V)極化方式時(shí),粗糙海面的磁場(chǎng)積分方程(magnetic field integral equation, MFIE)為[16]

(2)

式(1)、(2)中:

(3)

(4)

f′(x′)是高度起伏函數(shù)f(x′)的一階導(dǎo)數(shù).

圖1 一維理想導(dǎo)體粗糙海面電磁散射的幾何示意圖Fig.1 Geometric model for EM scattering from the 1D PEC rough sea surface

為避免因模擬粗糙海面尺寸的有限造成的截?cái)嘈?yīng),本文采用錐形波作為入射波,即[12]

φi(r)= exp(ik(xsinθi-zcosθi)(1+w(r)))

(5)

式中:k是入射波的波數(shù);θi表示入射角;g是錐形波因子;w(r)=[2(x+ztanθi)2/g2-1]/(kgcosθi)2.

在MoM中,分別選取分域脈沖基函數(shù)和點(diǎn)匹配技術(shù)離散式(1)和式(2)的積分方程. 當(dāng)H極化入射時(shí)對(duì)EFIE離散,得到相應(yīng)的矩陣方程為[16]

A·U=b.

(6)

同樣可以得到V極化波入射下,MFIE離散后的矩陣方程為[16]

B·I=V.

(7)

式(6)與式(7)的具體形式可參考文獻(xiàn)[16].

2 CBFM的數(shù)學(xué)原理

通過分析,可將式(6)和式(7)轉(zhuǎn)化為同一類矩陣方程,形如

Z·J=V.

(8)

式中:Z是N×N的阻抗矩陣;V是N×1的激勵(lì)向量;J是N×1的未知向量;N是未知量的個(gè)數(shù). 由于阻抗矩陣Z通常是滿陣,當(dāng)處理大角度入射下理想導(dǎo)體粗糙海面電磁散射問題時(shí)[12],必須模擬足夠長(zhǎng)的粗糙海面才能保證計(jì)算結(jié)果的有效性,這必會(huì)導(dǎo)致較多未知量的產(chǎn)生,會(huì)遇到所需計(jì)算機(jī)內(nèi)存過大、計(jì)算時(shí)間過長(zhǎng)的問題. 而CBFM很好地解決了這一問題. 下面介紹CBFM的數(shù)學(xué)原理.

首先將N個(gè)離散點(diǎn)的粗糙海面劃分為M個(gè)子域或塊,每個(gè)子域包含的離散點(diǎn)數(shù)是Ni(i=1,2,…,M),且滿足N1+N2+…+NM=N,則式(8)可變?yōu)槿缦滦问絒18]:

(9)

式中:Zij(i=1,2,…,M;j=1,2,…,M)是Ni×Nj的矩陣;Ji表示需要求解的未知量;Vi表示粗糙海面受到的與入射電磁波相關(guān)的激勵(lì)向量. 本文的特征基函數(shù)(characteristic basis functions, CBFs)是根據(jù)Foldy-Lax多徑散射方程[16]構(gòu)造的,包括主要特征基函數(shù)(primary characteristic basis functions, PCBFs)和次要特征基函數(shù)(secondary characteristic basis functions, SCBFs). 構(gòu)造CBFs時(shí),先不考慮子域與子域之間的互耦效應(yīng),只考慮每個(gè)子域的自相互作用構(gòu)造PCBFs,再將除了該子域外的所有PCBFs對(duì)該子域產(chǎn)生的散射場(chǎng)之和作為此子域第一階SCBFs的激勵(lì)源,這樣依次進(jìn)行高階SCBFs運(yùn)算,最后由PCBFs和SCBFs的加權(quán)疊加構(gòu)造CBFs. 構(gòu)造CBFs的詳細(xì)過程如下:

1) PCBFsJP

對(duì)于第i個(gè)子域(i=1,2,…,M),其PCBFs滿足

(10)

2) SCBFsJS1,JS2,…

用來求解子域i的第n階SCBFsJSn的激勵(lì)可由除該子域i外所有其他子域上的前一階的SCBFs對(duì)其產(chǎn)生的散射場(chǎng)得到,即JSn滿足

(11)

3) CBFsJt

(12)

(13)

即

(14)

(15)

對(duì)式(15)的系數(shù)矩陣進(jìn)行LU分解后求逆可獲得疊加系數(shù)ai、bi、ci(i=1,2,…,M),將其代入到式(12)中,可以求得待求表面未知量Jt.

本文中定義CBFM的計(jì)算誤差為[19]

(16)

式中,‖·‖2表示矩陣的二范數(shù).

3 數(shù)值計(jì)算與結(jié)果分析

3.1 算法有效性的驗(yàn)證

為驗(yàn)證所提算法的有效性,本文將針對(duì)一維理想導(dǎo)體粗糙海面電磁散射的仿真計(jì)算分別采用文中所提的算法(CBFM)、基于LU分解技術(shù)的MoM (MoM-LU)、基于共軛梯度法的MoM (MoM-CGM),以及快速多極子方法(fast multiple method, FMM). 圖2給出了H極化波和V極化波入射下四種方法的散射系數(shù)對(duì)比,表1給出了分別采用上述四種方法的計(jì)算時(shí)間. 粗糙海面模型的參數(shù)選擇如下:海面是PM譜海面,風(fēng)速分別為U=5 m/s(圖2)和U=10 m/s(圖3),入射角分別為θi=45°(圖2)和θi=60°(圖3),模擬海面長(zhǎng)度L=81.92 m,采樣間隔Δx=0.1λ,入射波頻率選擇f=1.5 GHz,即可得采用傳統(tǒng)MoM時(shí)的未知量個(gè)數(shù)N=4 096,CBFM算法中選擇了4階SCBFs和8個(gè)離散子域. 算例執(zhí)行的軟、硬件條件為Intel(R) Core(TM) i7-6700 CPU @ 3.41 GHz,內(nèi)存4.00 GB,操作系統(tǒng)Microsoft Windows 10,軟件環(huán)境Intel Visual Fortran 14.0,時(shí)間為總的CPU時(shí)間. 從圖2可以明顯地看出,本文所提算法CBFM的計(jì)算結(jié)果與另外三種方法吻合的是比較好的,說明了文中所提算法的精確性．

(a) H極化(a) H polarization

(b) V極化(b) V polarization圖2 H和V極化入射時(shí)散射系數(shù)對(duì)比Fig.2 The scattering coefficient obtained by different method under the H polarization and V polarization

表1 不同計(jì)算方法的CPU時(shí)間Tab.1 The CPU time of different methods

從表1可以看出本文所提算法明顯地減少了MoM的計(jì)算時(shí)間,尤其是采用迭代方法的MoM. 在此需要指出的是本文所提的算法慢于FMM,這是因?yàn)樵贔MM中引入了加法原理,但FMM將MoM中的稠密矩陣處理為了幾個(gè)對(duì)角矩陣,且這一處理過程的數(shù)學(xué)公式較為復(fù)雜,仿真實(shí)現(xiàn)比較困難. 而文中所提算法是直接對(duì)MoM中的稠密矩陣進(jìn)行分塊處理,并結(jié)合具體的物理機(jī)理(Foldy-Lax多徑散射方程),數(shù)學(xué)公式簡(jiǎn)單明了,仿真實(shí)現(xiàn)也是比較方便的. 另外,FMM是基于迭代法實(shí)現(xiàn)的,受到矩陣方程性態(tài)的影響,對(duì)于低掠角入射時(shí)(入射角θi>85°)的電大尺度粗糙海面電磁散射仿真時(shí)發(fā)現(xiàn)串行FMM是無法使用的. 而文中所提的算法CBFM對(duì)于電大尺度問題可以通過離散子域的選擇控制實(shí)際LU分解的矩陣維數(shù),從而保證了單機(jī)操作的可行性.

接下來,為進(jìn)一步說明CBFM的有效性,本文將從SCBFs的階數(shù)和離散子域的個(gè)數(shù)兩個(gè)角度展開討論,對(duì)比分別采用MoM和CBFM兩種方法的直接求解逆矩陣的維數(shù)、百分比誤差和CPU時(shí)間,同時(shí),探討大角度入射下CBFM的有效性．以下數(shù)值計(jì)算中,圖1中粗糙海面模型的參數(shù)選擇如下:海面是PM譜海面,風(fēng)速U=5 m/s,入射角θi=30°(大角度入射除外),模擬海面長(zhǎng)度L=81.92 m,采樣間隔Δx=0.1λ,入射波頻率選擇f=1.5 GHz,即可得采用傳統(tǒng)MoM時(shí)的未知量個(gè)數(shù)N=4 096,直接逆矩陣求解的維數(shù)是4 096×4 096. 采用MoM計(jì)算時(shí),在H極化方式下所用的CPU時(shí)間為15.813 s,在V極化方式下所用的CPU時(shí)間為15.406 s.

3.2 不同SCBFs的階數(shù)

將整個(gè)粗糙海面均分成4個(gè)子域,即每個(gè)子域的剖分點(diǎn)數(shù)是Ni=1 024,則采用CBFM時(shí)矩陣求解的維數(shù)是1 024×1 024. SCBFs分別取為2階、3階、4階、5階,表2給出了不同極化方式下,SCBFs取不同階數(shù)時(shí),分別采用CBFM與MoM時(shí)的計(jì)算時(shí)間和百分比誤差對(duì)比. 從表中可以很明顯地看出當(dāng)SCBFs的階數(shù)越高時(shí),CBFM的百分比誤差越小,即是說SCBFs的階數(shù)越高時(shí),CBFM與傳統(tǒng)MoM的計(jì)算結(jié)果吻合得越好,這是因?yàn)殡A數(shù)越高時(shí)各離散子域之間的互作用被考慮的越充分. 然而從表2中還可看出,階數(shù)越高時(shí),計(jì)算時(shí)間越長(zhǎng). 綜合考慮計(jì)算時(shí)間和百分比誤差,作者認(rèn)為當(dāng)SCBFs取為4階時(shí),仿真結(jié)果和仿真效率是最好的.

表2 SCBFs取不同階數(shù)時(shí)的CPU時(shí)間與百分比誤差Tab.2 The CPU time and the percentage error of SCBFs with different orders of SCBFs

3.3 不同離散子域個(gè)數(shù)

表3中列出了將整個(gè)粗糙海面分成不同個(gè)數(shù)離散子域時(shí),對(duì)應(yīng)的CPU時(shí)間及百分比誤差的比較.從表3中可以看出,當(dāng)SCBFs的階數(shù)固定,離散子域不同時(shí),劃分的子域越多,百分比誤差越大,這是因?yàn)镾CBFs計(jì)算時(shí)忽略了相鄰子域之間的相對(duì)較強(qiáng)的互作用. 同時(shí)從表中可以看出,劃分的子域越多,相應(yīng)的計(jì)算時(shí)間會(huì)少點(diǎn),這是因?yàn)閯澐肿佑蛟蕉鄷r(shí),各離散子域自作用矩陣的逆矩陣求解的維數(shù)越小,LU技術(shù)求解時(shí)間會(huì)減小,但同時(shí)SCBFs的互作用項(xiàng)疊加時(shí)間增長(zhǎng). 對(duì)比表3中的數(shù)據(jù)可以發(fā)現(xiàn),離散64個(gè)子域和離散32個(gè)子域在CPU時(shí)間上的減少有限,但百分比誤差卻大大增加了,因此綜合考慮計(jì)算時(shí)間和百分比誤差,作者認(rèn)為該算例中粗糙海面劃分為8個(gè)子域時(shí),仿真結(jié)果和仿真效率是最理想的.

表3 粗糙海面劃分不同子域時(shí)的CPU時(shí)間與百分比誤差Tab.3 The CPU time and percentage error with different cells

3.4 大角度入射下的有效性分析

從前面的討論中可以得出,將粗糙海面分成8個(gè)子域,SCBFs取4階時(shí),仿真結(jié)果和仿真效率較好. 現(xiàn)在取入射角θi=80°,其他計(jì)算條件保持不變情況下,獲得的不同極化方式下的散射系數(shù)如圖3所示,所得的表面未知量如圖4所示. 表4給出了不同極化方式下,CBFM所用的CPU時(shí)間及百分比誤差的對(duì)比. 從圖中可以看出CBFM獲得的散射系數(shù)和表面未知量與MoM的仿真結(jié)果吻合得比較好,但從表4中可以看出此時(shí)的百分比誤差卻不是很理想的,尤其是HH極化情況下的百分比誤差. 在接下來的研究中,我們將繼續(xù)分析大角度入射情況下SCBFs的階數(shù)和離散子域的個(gè)數(shù)對(duì)計(jì)算精度和計(jì)算效率的影響.

(a) H極化(a) H polarization

(b) V極化(b) V polarization圖3 大角度入射下采用H和V極化方式時(shí)CBFM與MoM的散射系數(shù)對(duì)比Fig.3 The scattering coefficient obtained by the CBFM and the MoM under the larger angle of incidence under H and V polarization

(a) H極化(a) H polarization

(b) V極化(b) V polarization圖4 大角度入射下采用H和V極化方式時(shí)CBFM與MoM的表面未知量的對(duì)比Fig.4 The surface unknowns obtained by the CBFM and the MoM under the larger angle of incidence with H and V polarization

表4 CBFM所用的CPU時(shí)間與百分比誤差Tab.4 The CPU time and percentage error

4 結(jié)果與討論

本文引入CBFM快速分析了一維理想導(dǎo)體粗糙海面的電磁散射特性,并在兩種極化方式下與傳統(tǒng)MoM的計(jì)算結(jié)果進(jìn)行了對(duì)比,討論了SCBFs的階數(shù)和離散子域的個(gè)數(shù)對(duì)計(jì)算精度和計(jì)算效率的影響. 當(dāng)在相同離散子域的情況下,SCBFs的階數(shù)越高時(shí),CBFM的百分比誤差越小,然計(jì)算時(shí)間越長(zhǎng). 當(dāng)取同一階數(shù)時(shí),劃分的子域越多,百分比誤差越高,而且計(jì)算時(shí)間減少到一定程度后就不是很明顯地減少了. 同時(shí),在仿真結(jié)果的對(duì)比中可以發(fā)現(xiàn)H極化的百分比誤差比V極化的百分比誤差大,這是因?yàn)閮煞N極化方式的積分方程不同,相鄰離散子域的相互作用對(duì)整體散射特性的影響不同．另外,在大角度入射時(shí),可以發(fā)現(xiàn)散射系數(shù)和表面未知量與MoM仿真結(jié)果吻合得比較好,但百分比誤差卻不是很理想. 在接下來的研究中,我們將繼續(xù)討論入射角度、極化方式、SCBFs的階數(shù)和離散子域的個(gè)數(shù)對(duì)計(jì)算精度和計(jì)算時(shí)間的影響,以期獲得一個(gè)經(jīng)驗(yàn)結(jié)論用于階數(shù)的選擇和離散子域個(gè)數(shù)的選取.