高書霞

【摘要】“立體幾何”是高中學生較難理解的內容之一，究其原因，主要是學生缺乏空間想象能力和邏輯思維能力導致空間概念淡薄.筆者認為要培養(yǎng)學生的空間想象能力，除了用實物和模型進行教學外，更重要的還要從遵循學生的認知規(guī)律上入手.筆者就結合“直線與平面垂直”這節(jié)課談談認知規(guī)律在教學中的應用.

【關鍵詞】認知；垂直；概念教學；思想方法

教育心理學認為，從學生的認知特點和心理特點上來看，中學生的認知規(guī)律有以下四條：1.學生的知識活動是通過主體活動構建的，而認知活動是與感情活動、意志活動及個性心理傾向相互促進、協(xié)同發(fā)展；2.學生的認知活動總是遵循從具體到抽象、再到具體的順序，螺旋式上升；3.學生自身的認知結構是繼續(xù)學習活動的出發(fā)點與歸宿；4.學生的認知發(fā)展是穩(wěn)定性與可變性、階段性與持續(xù)性，量變與質變的辯證統(tǒng)一.要想讓學生學好數學，尤其是立體幾何這一部分，就應該從學生的認知規(guī)律出發(fā)，以學生已有知識為基礎，以啟發(fā)學生思維為核心，引導學生從已知開始去探索未知的知識，進而建立知識體系.

一、創(chuàng)設貼近生活情境 直觀形象地引入概念

（一）創(chuàng)設情境，引入新課

在前面我們已經學過直線與平面的位置關系：①直線在平面上；②直線與平面平行；③直線與平面相交.我們已經研究過直線在平面上和直線與平面平行，今天我們來學習直線與平面相交.

師：大家想想看生活中有哪些直線與平面相交的例子？

生：旗桿與地面，門柱與地面，圓錐的軸與底面，比薩斜塔……（PPT展示）

師：（適當補充）直線與平面相交有沒有哪種位置關系比較特殊？大家現在利用手中的筆和桌面比畫一下.

生：（學生利用手中的筆和桌面操作感知）垂直.

師：剛才的例子中旗桿與地面，門柱與地面都是垂直的，今天我們就來研究直線與平面垂直.

（二）感知實例，歸納概念

師：大家回憶一下直線與平面平行的思路，現在我們要研究直線與平面垂直，那么我們要研究哪些內容？

生：（師生達成共識）定義—判定—性質—應用.

師：空間中兩直線垂直我們是如何研究的？（啟發(fā)學生用“降維”和“平面化”的思想來思考直線與平面垂直的問題.將研究直線與平面垂直問題轉化為直線與平面內直線的位置關系）.

師：（引導學生回顧圓錐的形成過程，旋轉軸所在直線SO與底面圓所在的平面α內經過點O的直線都是垂直的，引導學生根據異面直線所成角的概念得出軸所在直線與底面內的任意一條直線都垂直）.現在我們來給直線與平面垂直下個定義？

生：（學生給出定義，老師給出嚴格的定義及相關概念）如果直線l與平面α內的任意一條（所有）直線都垂直，則直線l與平面α垂直.

圖像語言（在畫圖時，把直線畫成與橫邊垂直能體現出“線面垂直”的直觀效果，在畫法中也體現了“線線垂直”）

符號語言m是平面α內的任意一條直線l⊥ml⊥α.

（三）辨析討論，深化概念

思考：①定義中的“任意一條直線”能改為“無數條直線”嗎？由此可知定義中的關鍵詞有哪些？

生：不能，反例：

②一條直線與一個平面垂直，那么這條直線與這個平面內的任意一條直線都垂直嗎？

生：垂直.

師：由此可知定義具有雙向性，線線垂直可以得到線面垂直，而線面垂直也可以得到線線垂直.

二、以問題為出發(fā)點，引導學生動手操作主動探究

我們學習了直線與平面垂直的定義.根據定義，要說明一條直線與平面內的“任意一條”直線垂直.操作起來好像比較困難，能不能再少一點？一條？兩條？三條？……

結合下列實例：（1）長方體的側棱垂直于底面；

（2）跨欄圖片和支架圖片.

借助學生最熟悉的長方體模型和生活中最簡單的經驗，感知判定直線與平面垂直時只需平面內有限條直線（兩條相交直線），從中體驗有限與無限之間的辯證關系，從而提出猜想，為進一步的探究做準備.

播放動畫，動手實驗，引導學生觀察把課本豎直放在水平桌面上時書脊所在直線與桌面位置關系，觀察放開手后的現象以及打開書本后書脊所在直線與每頁紙面與桌面的交線之間的關系.

師：去掉幾頁這種垂直性變嗎？若要保持這種垂直性，至少要保留幾頁？

生：保留一頁肯定是不可以的，至少要保留兩頁.

由學生歸納得到：當一條直線垂直于平面內兩條相交直線我們就可以得到這條直線和這個平面是垂直的.

師：這就是我們要學習的直線與平面垂直的判定定理，你能不能用圖形來表示一下這個判定定理.

生：（學生畫中可能會出現兩種情況：一是與平面重直的直線經過兩條相交直線的交點，另一種情況是不經過交點.）

師：比較這兩種畫法，有什么區(qū)別？哪種畫法更具備一般性.

生：不經過交點的更具有代表性，可經過平移解決.

師：在解題時，我們更多的是利用符號語言，請同學們來提煉一下符號語言：

生：l⊥ml⊥nm∩n=Amαnαl⊥α.

師：五個條件得到一個結論，條件缺一不可.這個判定定理依舊是由線線垂直推得線面垂直.定義里是任意一條直線，判定定理是兩條相交直線，看來“線不在多，貴在相交”.

三、利用對比 加深對概念定理的理解

例 求證：如果兩條平行直線中的一條垂直于一個平面，那么另一條直線也垂直于這個平面.

師：這是一個用自然語言敘述的命題，如何表達更能有利于我們去思考呢？

生：（畫出圖像并翻譯成符號語言）.已知a∥b，a⊥α，求證：b⊥α.

師：現在我們要證明線面垂直，我們可以采用什么方法？請同學們動手做一下？

（接下來讓學生練習，有針對性地選兩種方法：一種是用定義證明，另一種是用判定定理證明.請兩名同學上黑板演示，再請兩名同學加以點評.）

師：歸納總結證明線面垂直有兩種方法：一種是用定義證明，另一種是用判定定理證明.

（一）類比聯想 發(fā)現性質

師：如果兩條直線垂直于同一個平面，你會有什么結論？

生：這兩條直線平行.

師：你能證明這個結論嗎？也就是把例1的條件a∥b和結論a⊥b交換一下位置，即已知a⊥α，b⊥α，求證a∥b.

生：讓學生大膽嘗試，在嘗試中提高學生的思維能力.

師：要證明平行，我們常用的方法是借助“內錯角、同位角、同旁內角”等等，但這些方法只適合在一個平面內，這兩條直線共面嗎？你能證明嗎？

師：看來這個問題的最大難度在于無法說明這兩條直線共面，我們不妨用反證法來嘗試證明（著重分析證明的思路，體會正難則反的思想）.

生：如果兩條直線垂直于同一個平面，那么這兩條直線平行.

師：由線面垂直推得線線平行，我們把這個命題稱為線面垂直的性質定理.

四、以學生已有經驗 引導其自主反思總結

以上就是我們本節(jié)課所學的內容，通過這節(jié)課的學習，大家有什么收獲呢？

（一）知識內容

1.直線與平面垂直的定義.（線線垂直→線面垂直）

2.直線與平面垂直的判定定理.（線線垂直→線面垂直）

3.直線與平面垂直的性質定理.（線面垂直→線線平行）

（二）思想

1.（把線面關系轉化為線線關系中蘊含的）轉化思想.

2.（要研究一般的線面相交，先研究特殊的線線相交中蘊含的）從特殊到一般的思想.

3.（正面證明不方便，用反證法證明蘊含的）正難則反的思想.

（三）規(guī)范化要求

1.三種語言之間的轉化.

2.證明的規(guī)范化要求.

五、回顧與反思

（一）概念和定理教學的策略思考

費賴登塔爾說過：“數學知識不是教出來的，而是研究出來的”.數學概念是數學的邏輯起點，是學生的認知基礎，是進行數學思維的核心，在數學學習和教學中具有重要的地位.概念和定理教學絕對不是結論的簡單告知，而應該是加強概念的引入，引導學生經歷從具體實例抽象出數學概念的過程.新課標提倡數學教學應當注意創(chuàng)設合理生活情景，使數學學習更貼近學生，使學生易于接受，在數學課堂上的學習中，精心創(chuàng)設問題情景，使學生積極參與教學，了解知識發(fā)生發(fā)展的背景和過程，充分尊重學生的認知規(guī)律.在本節(jié)課的設計中，請學生來自己舉出生活中的情景如：旗桿與地面，門柱與地面，圓錐的軸與底面.學生不僅有充分的直觀感知活動，而且還有合理推理、提高邏輯思維的機會，學生對概念本質的把握自然就更深刻了.繼而，通過動手操作、觀察分析、自主探究、問題辨析等活動，使學生切身感受直線與平面垂直判定定理的形成過程，學生從自己的動手活動中展開思維，也能體驗學習數學的興趣.在教師的啟發(fā)下積極思考并提出問題、解決問題，使學生的智慧能得到開發(fā)，提高數學課堂教學的有效性.

（二）注重滲透數學思想的教學

數學思想方法是現實世界的數量關系和空間形式反映到人腦中，經過思維活動而產生的對數學事實與數學理論的本質的認識.日本數學家米山國藏曾經指出數學思維方法的巨大價值：“學生所學到的數學知識，在進入社會后不到一兩年就忘記了，然而那些銘刻于頭腦中的數學精神和數學思維方法卻長期地在他們的生活和工作中發(fā)揮著作用.”可見數學思想方法的重要性.尊重學生的認知規(guī)律，重視數學思想方法的教學.例如在這節(jié)課里回顧“線面平行”的位置關系研究中曾將“線面平行”關系轉化為“線線平行”，體現了“平面化”和“降維”的思想，并指出“要研究直線與平面垂直，也可以轉化為直線與平面內的直線垂直的問題.”然后利用圓錐的形成過程—軸和底面是垂直的，引導學生感知直線與平面垂直的特征，并讓學生自己下定義.

【參考文獻】

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