大跨度懸索橋主纜空纜狀態(tài)振動模態(tài)分析

祝志文，王藝靜，吳其

?

大跨度懸索橋主纜空纜狀態(tài)振動模態(tài)分析

祝志文1, 2，王藝靜2，吳其2

(1. 汕頭大學 土木與環(huán)境工程系，廣東 汕頭 515063；2. 湖南大學 土木工程學院，湖南 長沙 410082)

為研究洞庭湖二橋施工過程中主纜空纜狀態(tài)的動力特性，基于弦振動理論推導了主纜面外和面內振動基頻的2個估算公式。研究結果表明：估算公式能較準確地給出空纜狀態(tài)主纜的第1階面外振型和第1階面內反對稱振型對應的頻率。開展的有限元分析表明，該橋以中跨主纜明顯振動的前8階面外振型，高階振型的頻率符合與基頻的倍頻關系；面內第1階振型為反對稱振型，表明該橋具有短邊跨懸索橋特征，也即邊跨主纜對主塔塔頂有較大的縱向約束。另外，該橋主纜空纜狀態(tài)下的基頻非常低且振動周期很長，前多階模態(tài)呈現(xiàn)頻率密集的特征。

懸索橋；模態(tài)分析；空纜；有限元；弦振動

懸索橋是主纜、主塔、錨碇、吊桿、橋面系和附屬設施組成的一種典型的柔性結構，由于具有受力簡單合理、能充分發(fā)揮材料性能、施工安全方便等特點，是跨越能力最大的橋梁結構。比如1998年建成的明石海峽大橋，主跨1 991 m，一直是世界上跨度最大的橋梁；正在建設的廣東虎門二橋坭州水道橋主跨1 688 m，建成后將是國內跨度最大的橋梁工程。由于懸索橋跨度大和主纜抗彎剛度小，幾何非線性效應顯著[1]，加之結構阻尼很小，容易在外部激勵，比如風荷載作用下產生大幅度的振動。另外，在懸索橋施工過程中加勁梁安裝前的空纜狀態(tài)，中跨水平懸掛的空纜結構剛度更小，更易發(fā)生大幅度的振動。因此，無論是懸索橋設計、施工還是成橋運營，了解懸索橋空纜狀態(tài)的動力特性，是了解結構振動模態(tài)在施工過程中的演化規(guī)律，評價懸索橋抗風安全的重要基礎，而獲得結構動力特性的主要途徑有理論分析、有限元計算和現(xiàn)場實測。如張文明等[2]以馬鞍山大橋為背景，基于有限元分析開展了單主跨和雙主跨懸索橋動力特性的對比分析。XU等[3]基于有限元開展了青馬大橋施工過程的模態(tài)分析，揭示了懸索橋振動模態(tài)隨施工過程的演化規(guī)律。HU等[4]通過有限元分析研究了中央扣對大跨度懸索橋模態(tài)的影響。YU等[5]基于GPS測量信號開展了懸索橋模態(tài)頻率的現(xiàn)場實測。ZHANG等[6]通過環(huán)境激勵下懸索橋結構響應的長期實測，分析了懸索橋模態(tài)特征以及隨環(huán)境的變化規(guī)律。王甜等[7]通過現(xiàn)場實測自錨式懸索橋在環(huán)境激勵下的響應，基于隨機子空間技術開展了結構的模態(tài)參數(shù)識別。

1 水平張緊弦的橫向振動

考察圖1所示的一根長度為的水平張緊弦(忽略抗彎剛度)，并建立如圖所示的直角坐標系。假設其均勻分布的單位長度質量為，弦中張力為，且在作微幅振動的過程中該張力保持不變。

取弦微元d，考慮其振動慣性力，建立起豎向力的平衡方程為

上述化簡得到弦振動的基本方程為

式(2)偏微分方程為一維線性波動方程，可采用分離變量法求解。假設方程的解可寫成為

式(3)中為振動圓頻率，=2π，其中為振動頻率，Hz；()為振型函數(shù)，將式(3)代入(2)可得到關于振型函數(shù)的常微分方程

式(4)的解為

假設弦的兩端固定，對應的端點邊界條件為

其中：=1,2,3,…。從上可得弦橫向振動的固有圓頻率為

或頻率為

各階固有頻率對應的振型為

對兩端固定的弦，其各階振型均為以兩端點為節(jié)點(不動點)的正弦波形，其中頻率最低的振型也稱之為基本振型，對應的頻率稱之為基頻?；l為半個波，高階振型頻率均為基頻的整數(shù)倍(n=1)，也即倍頻關系。如以弦長/2處考察兩側質點振動位移的對稱關系，可將振型分為對稱振型和反對稱振型。且不難發(fā)現(xiàn)，對稱振型有奇數(shù)個半波，反對稱振型有偶數(shù)個半波，如表1所示。

表1 張緊固定弦的振型和頻率

(a) 面外振動；(b) 面內振動

式中：為重力加速度。實際上，上式不僅適用于懸索橋空纜狀態(tài)的第1階反對稱振型的頻率估算式，同樣也適應于主跨跨徑大于500 m的懸索橋第1階反對稱豎彎振型頻率的估算[10]。

(a) 水平懸掛的纜索；(b) 第1階振型(第1階反對稱)；(c) 第2階振型(第1階正對稱)；(d) 第3階振型(第2階反對稱)；(e) 第4階振型(第2階正對稱)

圖3 下垂纜索的面內振型

Fig. 3 In-plane mode shapes of sagged cable

2 懸索橋主纜空纜狀態(tài)動力特性

以洞庭湖二橋為例，通過有限元分析給出大橋主纜施工完成的空纜狀態(tài)下的模態(tài)特征，并與估算公式的結果進行對比。

2.1 工程概況

洞庭湖二橋是杭瑞高速公路在湖南境內跨越洞庭湖的關鍵工程。大橋位于洞庭湖入長江交匯口處的岳陽市七里山，下游離長江航道3 km，東南起于岳陽樓區(qū)，西北接君山區(qū)，上游距建成的岳陽洞庭湖大橋(三塔斜拉橋)3 km。大橋設計洪水頻率為1/300，通航要求為I(3)級，單孔雙向通航孔通航凈寬337 m，通航凈高18 m；橋位區(qū)為A類地貌，設計基本風速32.9 m/s；地震基本烈度為Ⅶ度，峰值加速度0.09 g，場地特征周期Tg=0.65 s。大橋采用6車道高速公路標準和公路-I級荷載設計，設計車速100 m/s[11]。

大橋為雙塔連續(xù)鋼桁梁懸索橋，采用不對稱立面布置形式，主纜孔跨布置為460+1480+491 m，如圖4所示。主梁通過吊桿懸吊兩跨加勁梁，其中中跨跨度為1 480 m，君山側邊跨跨度453.6 m，加勁梁全長1 933.6 m，橋面全寬33.5 m。全橋共117對吊索，吊索平面布置，標準間距16.8 m。

洞庭湖二橋主纜矢跨比1/10，主纜橫橋向中心距35.4 m；主纜采用預制平行鋼絲索股。每根主纜中，從君山側錨碇到岳陽側錨碇的通長索股有175股，君山側邊跨另設6根附加索股錨固于君山側主索鞍上。每根平行鋼絲索股由127根直徑為5.35 mm、公稱抗拉強度為1 860 MPa的高強度鍍鋅鋼絲組成，鋼絲彈性模量為1.96×1011MPa。大橋兩側主塔采用門式結構，設上橫梁和下橫梁，岳陽側塔高203.088 m，君山側高206.088 m。另外，主纜通過兩端的重力式錨碇錨固。

單位：m

2.2 基頻的理論估算

懸索橋主纜空纜狀態(tài)下基頻的估算，可將主纜線形近似處理成拋物線，基于拋物線主纜軸力水平分量的計算公式，有：

主纜面外振動第1階頻率的估算，可通過式(9)得到：

根據式(11)，可得到主纜面內第1階反對稱振型的頻率為：

2.3 有限元分析

采用ANSYS軟件對洞庭湖二橋空纜狀態(tài)進行動力特性分析。建模時定義為順橋向，為豎向，為橫橋向。橋塔采用BEAM188單元模擬，主纜采用只能受拉不能受壓的空間桿單元LINK10模擬，其初始軸力通過輸入單元初應變模擬，塔頂主鞍座的質量通過MASS21單元模擬。主塔混凝土材料的彈模取3.55×1010MPa，主纜和混凝土的泊松比分別為0.3和0.167。因主要關心的是包含主纜和主塔結構的動力特性，故不考慮樁土相互作用，即塔底、錨碇內主纜位置均為固結。圖5是大橋主纜空纜狀態(tài)的有限元模型。

圖5 洞庭湖二橋主纜空纜狀態(tài)有限元模型

圖6給出了主纜空纜狀態(tài)的基本振型，也為面外第一振型，該振型為對稱振型，特征是振動集中于中跨主纜，主塔和邊跨主纜均保持不動，對應的頻率為0.048 Hz。這一頻率的估算值為0.046 Hz，偏差小于5%。這說明基于弦振動理論的基頻估算公式能給出基頻的合理估計，也說明采用拋物線主纜線形近似空纜線形所帶來的誤差很小。另外，這一頻率對應的周期為21.7 s，這說明大跨度懸索橋主纜空纜狀態(tài)的基頻非常小，自振周期很長。

可見與這一基頻對應的另外一個振型如圖7所示，與圖6唯一不同的是，此時上下游兩側的主纜為反相運動，但對單側主纜而言，實際上二者為主纜同一振型，沒有差別。

(a) 立面；(b) 平面

(a) 立面；(b) 平面

圖8為主纜的第2階振型，為面內第1階振型和面內第1階反對稱振型，特征是為中跨主纜的顯著運動，主塔和邊跨主纜均保持不動，對應的頻率為0.093 Hz，略小于公式估算值0.095 4 Hz，但偏差僅為2%，可見基于公式估算的第1階反對稱振型頻率偏差非常小。與這個頻率伴隨的另外一個振型如圖9所示，頻率同樣為0.093 Hz。此時上下游兩側主纜運動反相，但對單側主纜而言，實際上也為主纜同一振型。需要指出，該振型頻率約為基頻的2倍，且由于其先于正對稱振型出現(xiàn)，可認為該懸索橋主纜仍為短邊跨情況[4]，也即邊跨主纜對主塔塔頂有較大的縱向約束。

(a) 立面；(b) 平面

(a) 立面；(b) 平面

大橋主纜第3階振型如圖10所示，為面外反對稱振型，也是面外第2振型，特征是為中跨主纜的顯著面外運動，主塔和邊跨主纜均保持不動，對應的頻率為0.096 Hz，是基頻的2倍。與上類似，與這一頻率伴隨的另外一個振型如圖11所示。

(a) 立面；(b) 平面

(a) 立面；(b) 平面

主纜第4階振型如圖12所示，為面內對稱振型(因2個邊跨不完全相等，振型并不嚴格正對稱)，也是面內第2階振型，特征是中跨和邊跨主纜的顯著面內運動，主塔對稱縱向運動，對應的頻率為0.119 Hz。

主纜第5階振型如圖13所示，為面內對稱振型，也是面內第3階振型。該振型與第4階振型類似，但上下游兩側主纜振動反相，特征是為中跨主纜的顯著面內運動，主塔和邊跨運動明顯小于中跨，對應的頻率為0.136 Hz。

(a) 立面；(b) 平面

(a) 立面；(b) 平面

主纜第6階振型如圖14所示，為面外振型，特征是中跨主纜較小幅度的對稱面外運動和君山側邊跨主纜的較大幅度對稱面外運動，且岳陽側主纜均保持不動，對應的頻率為0.141 Hz。同樣，與這一頻率對應的另外一個振型如圖15所示。

(a) 立面；(b) 平面

(a) 立面；(b) 平面

主纜第7階振型如圖16所示，為中跨主纜面外第3階振型，也是面外第2階正對稱振型，特征是中跨主纜的較大幅度的面外運動和兩端邊跨主纜的較小幅度反對稱運動，對應的頻率為0.144 Hz。同樣，與這一頻率對應的另外一個振型如圖17 所示。

(a) 立面；(b) 平面

(a) 立面；(b) 平面

主纜第8階振型如圖18所示，為面內對稱振型，也是面內第3階對稱振型。該振型表現(xiàn)為中跨主纜的正對稱運動、君山側主纜的大幅度振動和君山側主塔的縱向運動，以及岳陽側主纜的不動，對應的頻率為0.146 Hz。

主纜第9階振型如圖19和20所示，為岳陽側主纜的較大的面外振動，中跨和君山側主纜不動，對應的頻率為0.152 Hz。

(a) 立面；(b) 平面

(a) 立面；(b) 平面

(a) 立面；(b) 平面

表2分列了大橋主纜空纜狀態(tài)前8階面外模態(tài)中，以中跨主纜振動為主的對稱和反對稱模態(tài)，可見相對第1階面外正對稱模態(tài)(基頻0.048 Hz)，其他高階模態(tài)頻率均是基本模態(tài)頻率的整數(shù)倍，且正對稱振型的半波數(shù)為奇數(shù)，反對稱振型的半波數(shù)為偶數(shù)。另外，當中跨主纜發(fā)生面外較大幅度振動時，邊跨主纜的振動相對較小，甚至保持不動。

表2 面外對稱和反對稱模態(tài)

第3階，頻率0.240 Hz第3階，頻率0.288 Hz 第4階，頻率0.334 Hz第4階，頻率0.381 Hz

表3列出了主纜空纜狀態(tài)前40階模態(tài)中，中跨主纜振動明顯占優(yōu)的面內主要模態(tài)，并分列了面內模態(tài)中的對稱和反對稱模態(tài)?？梢姷?階正對稱振型比第1階反對稱振型頻率高28%，且前40階模態(tài)中，正對稱振型明顯多于反對稱振型。

表3 面內對稱和反對稱模態(tài)

3 結論

1) 基于弦振動理論推導的主纜面外和面內振動基頻的估算公式，能較準確的給出超大跨度懸索橋空纜狀態(tài)主纜的第1階面外振型和第1階面內反對稱振型對應的頻率估計，且頻率估算時空纜主纜線形采用拋物線近似帶來的誤差極小。

2) 在以中跨主纜振動為主的空纜狀態(tài)結構，相對第1階面外正對稱模態(tài)，其他高階模態(tài)頻率均是該基本模態(tài)頻率的整數(shù)倍，且正對稱振型的半波數(shù)為奇數(shù)，反對稱振型的半波數(shù)為偶數(shù)。當中跨主纜發(fā)生面外較大幅度振動時，邊跨主纜的振動相對較小，甚至保持不動。

3) 大跨度懸索橋主纜空纜狀態(tài)的基頻非常低且振動周期長，洞庭湖二橋面內第1階振型為反對稱振型，表明該橋具備短邊跨懸索橋特征，也即邊跨主纜對主塔塔頂有較大的縱向約束；另外，大跨度懸索橋前多階模態(tài)還呈現(xiàn)頻率密集的特征。

[1] 沈銳利. 懸索橋主纜系統(tǒng)設計及架設計算方法研究[J].土木工程學報, 1996, 29(2): 3?9.SHEN Ruili. Calculation methods for design and erection of cable curve of suspension bridge[J]. China Civil Engineering Journal, 1996, 29(2): 3?9.

[2] 張文明, 葛耀君. 三塔雙主跨懸索橋動力特性精細化分析[J]. 中國公路學報, 2014, 27(2): 70?76. ZHANG Wenming, GE Yaojun. Refinement analysis of dynamic characteristics of suspension bridge with triple towers and double main spans[J]. China Journal of Highway and Transport, 2014, 27(2): 70?76.

[3] XU Y L, KO J M, ZHANG W S. Vibration studies of tsing ma suspension bridge[J]. Journal of Bridge Engineering, 1997, 2(4): 149?156.

[4] HU Tengfei, HUA Xugang, ZHANG Wuwei, et al. Influence of central buckles on the modal characteristics of long-span suspension bridge[J]. Journal of Highway & Transportation Research & Development, 2016, 10(1): 72?77.

[5] YU Jiayong, MENG Xiaolin, SHAO Xudong, et al. Identification of dynamic displacements and modal frequencies of a medium-span suspension bridge using multimode GNSS processing[J]. Engineering Structures, 2014, 81: 432?443.

[6] ZHANG Yilan, Kurata M, Lynch J P. Long-term modal analysis of wireless structural monitoring data from a suspension bridge under varying environmental and operational conditions: System design and automated modal analysis[J]. Journal of Engineering Mechanics, 2017, 143(4): 04016124?1~18.

[7] 王甜, 祝志文. 基于環(huán)境激勵和子空間技術的自錨式懸索橋結構模態(tài)參數(shù)識別[J]. 公路工程, 2015, 40(4): 14?27. WANG Tian, ZHU Zhiwen. Modal parameters identification of self-anchored suspension bridges based on environmental excitation and sub-space technology[J]. Highway Engineering, 2015, 40(4): 14?27.

[8] Wickramasinghe W R, Thambiratnam D P, Chan T H T, et al. Vibration characteristics and damage detection in a suspension bridge[J]. Journal of Sound and Vibration, 2016, 375: 254?274.

[9] Gimsing, N J. Cable supported bridges-concept & design[M]. England: John Wiley & Sons Ltd, 2012.

[10] JTG/T D60?01?2004, 公路橋梁抗風設計規(guī)范[S]. JTG/T D60?01?2004, Wind-resistant design specification for highway bridges[S].

[11] 吳國光. 岳陽洞庭湖大橋關鍵技術研究及對策[J]. 中外公路, 2013, 33(6): 110?114. WU Guoguang. Research and countermeasure of key technology of Yueyang Dongting Lake bridge[J]. Journal of China and Foreign Highway, 2013, 33(6): 110?114.

Modal analyses of large-span suspension bridges at free main cable stage

ZHU Zhiwen1, 2, WANG Yijing2, WU Qi2

(1. Department of Civil and Environment Engineering, Shantou University, Shantou 515063, China; 2. College of Civil Engineering, Hunan University, Changsha 410082, China)

In order to investigate modal property of large-span suspension bridge at free main cable stage under construction, two formulas of frequency prediction on free main cable are put forward based on the string vibration theory, and those formulas can provide accurate frequency estimation on the first in-plane and the first out-of-plane modes of the free main cables, compared to FEM results. The FEM analysis shows that among the first eight out-of-plane mode with notable central-span cable vibration, the frequencies of the higher-order mode are of multiple-frequency of the fundamental frequency. The antisymmetric property of the first in-plane mode indicates that the suspension bridge belongs to a short side-span one with strong restraint on the main tower from the side-span cables. In addition, the fundamental frequency of the bridge at free main cable state is significant lower corresponding to a notable long vibration period, and its natural frequencies are closely spaced among a small frequency range.

suspension bridge; modal analyses; free main cable stage; FEM; string vibration

10.19713/j.cnki.43?1423/u.2018.11.014

U448.25

A

1672 ? 7029(2018)11 ? 2833 ? 09

2017?09?15

國家重點基礎研究發(fā)展計劃(973計劃)項目(2015CB057702)；國家自然科學基金資助項目(51878269)

祝志文(1968?)，男，湖南益陽人，教授，博士，從事鋼橋疲勞與斷裂、橋梁動力學與模態(tài)識別，以及大跨度橋梁抗風研究；E?mail：zwzhu@hnu.edu.cn

(編輯 涂鵬)