江蘇南京市溧水區(qū)教育局教研室 吳義明

江蘇南京市溧水區(qū)實驗小學(xué) 徐菊花

【緣起】

《多邊形內(nèi)角和》是蘇教版小學(xué)教材四年級下冊第七單元的內(nèi)容，是在學(xué)生認(rèn)識了“三角形、四邊形和梯形”以及掌握了三角形內(nèi)角和是180°的基礎(chǔ)上來進(jìn)行教學(xué)的。這一內(nèi)容是蘇教版獨有的“特色”單元“探索規(guī)律”中呈現(xiàn)的，其他版本小學(xué)教材大多未涉及此內(nèi)容。蘇教版教材是將這一內(nèi)容作為小學(xué)中“圖形與幾何”與中學(xué)幾何知識教學(xué)的一次銜接。蘇教版教材編寫用意很明確：一是作為學(xué)生“探索規(guī)律”的素材；二是通過學(xué)生的觀察、操作、歸納等具體的活動，發(fā)現(xiàn)多邊形內(nèi)角和的計算方法，培養(yǎng)學(xué)生動手操作能力和發(fā)展學(xué)生的空間觀念，為中學(xué)幾何知識學(xué)習(xí)作鋪墊；三是培養(yǎng)學(xué)生的好奇心，感受數(shù)學(xué)活動的挑戰(zhàn)性。筆者多次聽這一節(jié)公開課，困惑很多，首先困惑的是為什么這一節(jié)課會成為公開課的“寵兒”，是本身的內(nèi)容有價值魅力，還是能體現(xiàn)數(shù)學(xué)的特點，或者是因為學(xué)生容易掌握，便于踐行當(dāng)下新課程理念？筆者至今也沒弄清楚，搞明白。筆者還困惑在為什么蘇教版教材把這一內(nèi)容放到小學(xué)四年級來教學(xué)，筆者認(rèn)為中學(xué)只要幾分鐘就能搞清楚的，在小學(xué)四年級來教，教師要花一節(jié)課，費九牛二虎之力，有的學(xué)生還沒完全掌握，其意義又何在，作用又有多大呢！公開課上教師大多想滲透三個方面的主要目標(biāo)：一是多邊形的內(nèi)角和可以根據(jù)三角形的內(nèi)角和推算出來；二是從簡單問題想起，有序思考是探索規(guī)律的有效方法；三是可以把新問題轉(zhuǎn)化成能夠解決的問題。這樣的課堂看上去符合新課程標(biāo)準(zhǔn)倡導(dǎo)的動手實踐、自主探索、合作交流這樣的理念，但筆者總感覺到這樣的數(shù)學(xué)課缺點什么。形式的東西多，實質(zhì)性的少。筆者深深感到當(dāng)下《多邊形內(nèi)角和》一課的教學(xué)未能從數(shù)學(xué)素養(yǎng)視角出發(fā)，缺乏數(shù)學(xué)味，不能深度挖掘數(shù)學(xué)的本質(zhì)，沒有把學(xué)生的好奇心通過這一內(nèi)容激發(fā)出來，也沒有看到學(xué)生課堂上表現(xiàn)出對數(shù)學(xué)知識挑戰(zhàn)的欲望，與蘇教版教材編者意圖是否完全吻合，值得我們推敲。為了不讓疑惑飄忽而過，筆者做了一份調(diào)查：某縣城實驗小學(xué)四年級全班52名學(xué)生，在已經(jīng)學(xué)習(xí)了“三角形內(nèi)角和是180°”這一內(nèi)容的基礎(chǔ)上，設(shè)計了一份《多邊形內(nèi)角和》一課的自學(xué)單。

《多邊形內(nèi)角和》自學(xué)單

調(diào)查結(jié)果：

第一題，47名學(xué)生都能填寫正確，三角形180°，四邊形360°，五邊形540°，六邊形720°，只有3名學(xué)生在五邊形和六邊形兩道題上出了差錯，另有2名學(xué)生在四邊形這道題上出了差錯，但教師稍加點撥，他們也就豁然開朗了。

第二題，有一半以上的學(xué)生能表達(dá)出：只要將多邊形分成三角形，就能推出內(nèi)角和。還有學(xué)生用公式（n-2）×180°表示結(jié)果。

調(diào)查結(jié)果讓筆者非常詫異，這一內(nèi)容對學(xué)生并不是想象中的那么難，公開課中需要費神費力地去研究嗎？筆者進(jìn)一步了解發(fā)現(xiàn)，該班學(xué)生有的已經(jīng)看了教材了；有的已經(jīng)與家長、同學(xué)交流了；有的在培訓(xùn)班里已經(jīng)提前學(xué)過了；還有少數(shù)學(xué)生的學(xué)習(xí)力較強(qiáng)，稍加思考也就解決了。原因是這部分內(nèi)容學(xué)生是有基礎(chǔ)的，在推導(dǎo)三角形內(nèi)角和是180°時，很多方法已經(jīng)滲透了。

如①折紙法

（有平角是180°可推導(dǎo)出三角形內(nèi)角和是180°）

②劃分法

（長方形、正方形四個直角和是360°，一個直角三角形的內(nèi)角和是360°÷2＝180°）

有這樣一些方法的鋪墊，“多邊形內(nèi)角和”只要將多邊形分成若干三角形，得出內(nèi)角和就不是難事了，原因就在此。

教師可以嘗試讓學(xué)生探討四邊形的內(nèi)角和，學(xué)生的方法很多。

生1：我用量角器分別量了一下4個角的度數(shù)，加起來就能知道和是360°。

師：用量的方法準(zhǔn)確嗎？

生1：不知道。但正方形和長方形是準(zhǔn)確的，一定是360°。

生2：我把四個角撕下來拼到一起，發(fā)現(xiàn)剛好拼成一個周角，我確認(rèn)四邊形內(nèi)角和是360°。

生3：我只要加一條輔助線把四邊形分成兩個三角形，再用180°×2就得出這個四邊形的內(nèi)角和是360°。

生4：由此類推，五邊形加兩條輔助線，把五邊形分成三個三角形，五邊形的內(nèi)角和是180°×3＝540°；六邊形加三條輔助線，把六邊形分成四個三角形，六邊形的內(nèi)角和是180°×4＝720°。因此，多邊形內(nèi)角和的度數(shù)，只要將它分成若干個三角形，就能知道多邊形內(nèi)角和的度數(shù)。

其中，一名學(xué)生問了一個看起來“怪”的問題，讓很多教師都大跌眼鏡，傻了眼。生問:（n-2）×180°這一公式中，n是多邊形邊數(shù)，180°是一個三角形的內(nèi)角和的度數(shù)，而減2這里的“2”表示什么？為什么要減去2，而不是減3、減4……呢？筆者帶著這一問題問過多位小學(xué)數(shù)學(xué)教師，也請教過中學(xué)數(shù)學(xué)教師，答案均不能讓人滿意。這一看起來“怪”的問題一直困擾著筆者！基于以上困惑，筆者產(chǎn)生了如下深度思考：

【深度思考一】根據(jù)三角形內(nèi)角和是180°，通過找規(guī)律可以推算出多邊形內(nèi)角和的計算公式：多邊形內(nèi)角和=（n-2）×180°。這里的180°是一個三角形的內(nèi)角和，n為多邊形的邊數(shù)，公式里的減2,2是什么意思？為什么減2，而不是減1減3呢？這一問題有挑戰(zhàn)性，有思維的深度。最簡單的回答是：多邊形的邊數(shù)與三角形個數(shù)的關(guān)系是相差2,但為什么相差2呢？深層次的原因在哪里呢？究其原因，分析如下表

這樣學(xué)生就不會對公式中為什么減2產(chǎn)生疑問，確實是多邊形的邊數(shù)與三角形個數(shù)的關(guān)系是相差2，相差2的原因也就能搞清楚，弄明白，學(xué)生不僅知其然，而且知其所以然。

【深度思考二】以上兩種教法是從教材視角來教，是不是還有不一樣的教法呢？

【深度思考三】從多邊形的任一邊上的任一點出發(fā)，分成若干個三角形，推導(dǎo)出多邊形的內(nèi)角和。

【深度思維四】從多邊形內(nèi)任意一點0將多邊形分解成若干個三角形，推導(dǎo)出多邊形的內(nèi)角和。

綜上所述，教材所給的教例，僅是一種教學(xué)方式，從數(shù)學(xué)理性精神角度去思考，為什么是n-2，這里的“2”是怎么回事？追根溯源就產(chǎn)生了從新的教學(xué)角度來推導(dǎo)180°×（n-2）這一公式，如果學(xué)生在學(xué)習(xí)中能夠充分感悟到數(shù)學(xué)的理性精神，就能體會到理性精神的價值，這樣學(xué)生的思維品質(zhì)就會得到提升，學(xué)生思維的深刻性、靈活性、敏捷性、批判性、創(chuàng)造性就得到了培養(yǎng)，進(jìn)而學(xué)生能產(chǎn)生對數(shù)學(xué)的好奇心、積極探索數(shù)學(xué)領(lǐng)域奧秘的愿望，這才真正說明學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)得到了升華。

《多邊形內(nèi)角和》這一內(nèi)容到底如何來教學(xué)呢？筆者認(rèn)為：基于教材的邏輯視角，基于數(shù)學(xué)素養(yǎng)的視角，即用數(shù)學(xué)的眼光觀察，用數(shù)學(xué)的思維分析，用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)。用數(shù)學(xué)的眼光就是強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)的抽象，用數(shù)學(xué)的思維分析就是強(qiáng)調(diào)邏輯推理，用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)就是強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)模型。從更為簡明的角度，我們應(yīng)把理性的思維置于數(shù)學(xué)素養(yǎng)的核心，將數(shù)學(xué)思維的學(xué)習(xí)與具體知識內(nèi)容有機(jī)結(jié)合，用思維方法的分析去帶動具體知識內(nèi)容的學(xué)習(xí)。這樣教學(xué)不僅能深度挖掘數(shù)學(xué)的本質(zhì)，而且能使這節(jié)平淡的課變得回味無窮、妙趣橫生，同時還能把數(shù)學(xué)的感覺交給學(xué)生，使數(shù)學(xué)具有數(shù)學(xué)味，最后達(dá)到從數(shù)學(xué)材料中抽取其直觀意義的高層次思維，這是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)所追求的一種境界。?

【深度思考一】

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【深度思考二】

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【深度思考三】

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【深度思考四】

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