江蘇江陰市英橋國際學(xué)校 王宜琴

學(xué)生的學(xué)習(xí)是連續(xù)的，從課內(nèi)到課外，從學(xué)校到家庭。蘇霍姆林斯基也曾說過這樣一段話：“不要把課外作業(yè)當成課內(nèi)作業(yè)的量的追加。課外作業(yè)應(yīng)當是知識的發(fā)展與深化，是學(xué)習(xí)能力的改善，是掌握課堂知識的準備，應(yīng)當讓學(xué)生在課外發(fā)展個人的愛好和需要，滿足和發(fā)展個人的多方面的智力需求。”當前的小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)，課內(nèi)學(xué)習(xí)側(cè)重于規(guī)范性系統(tǒng)知識的學(xué)習(xí)，幫助學(xué)生構(gòu)建知識體系；而課外拓展則著眼于拓展，學(xué)習(xí)的范圍可以拓廣一些，學(xué)習(xí)要求也可以提高一些。高質(zhì)量的課外拓展題，必須能反映出學(xué)生對知識的彈性遷移、靈活的思考和應(yīng)用所學(xué)知識的能力，它直接影響著教師的教學(xué)效果和學(xué)生的學(xué)習(xí)效果。怎樣有效地設(shè)計小學(xué)數(shù)學(xué)課外拓展題呢？這是一個值得研究的話題。

一、目標要明確——為了理解而去設(shè)計

數(shù)學(xué)理解包含兩層意思。一是“對數(shù)學(xué)對象的理解”。學(xué)生理解數(shù)學(xué)的知識內(nèi)容、方法技巧、思想策略等；二是“從數(shù)學(xué)的角度去理解現(xiàn)實”。理解是多維的和復(fù)雜的，有不同的類型和不同的方法。數(shù)學(xué)理解的測評，不僅要了解學(xué)生是否能通過背景知識回答問題，還要測評學(xué)生在多大程度上能將自己掌握的數(shù)學(xué)知識和技能遷移到新環(huán)境中去?？梢詮囊韵聨c進行判斷：（1）是否有利于對所學(xué)知識的完善與優(yōu)化；（2）是否有利于學(xué)習(xí)能力的提高；（3）是否有利于形成對數(shù)學(xué)新的看法、積極的感受；等等。因此，在設(shè)計課外拓展題時，首先要思考這兩個問題：（1）設(shè)計的目標是什么；（2）這個目標要帶我們?nèi)ツ睦铩?/p>

例如，在四年級下冊學(xué)習(xí)完第七單元《三角形、平行四邊形和梯形》后，單元復(fù)習(xí)時，給學(xué)生們設(shè)計了這樣一道拓展題：從數(shù)學(xué)的角度考慮，下面哪一個圖形與其他兩個不同？請找出這個圖形，并說一說你的理由（寫出一種即可）。

（1）這個與眾不同的圖形名稱是___________。

（2）你下結(jié)論的理由是什么？（在答題卡對應(yīng)的位置上寫出你的思考過程）

概念的發(fā)展，需要學(xué)生將數(shù)學(xué)語言轉(zhuǎn)化成相對應(yīng)的生活語言，將符合還原為具象、形象的背景，然后通過實物、圖形、操作過渡到符號、語言表征。在四年級下冊學(xué)習(xí)完《三角形、平行四邊形和梯形》單元后，就知識基礎(chǔ)而言，學(xué)生已經(jīng)掌握了這幾個圖形的基本特征，并且也有了一定的知識經(jīng)驗和基礎(chǔ)。本題答案不唯一，這幾個圖形都可以作為標準答案之一。從邊的數(shù)量或從邊的相互位置關(guān)系去看，答案就是三角形；從圖形的自身結(jié)構(gòu)來看，這里只有梯形是軸對稱圖形，所以答案可以是梯形；從面積大小看，學(xué)生在三年級下學(xué)期已經(jīng)有了數(shù)方格可以確定平面圖形的面積的數(shù)學(xué)經(jīng)驗，答案又可以是平行四邊形。設(shè)計這道拓展題時，每一步都有其設(shè)計目的，比如：選擇怎樣的三角形、怎樣的平行四邊形和梯形，是否要把這些圖形放置在方格紙上等，都是經(jīng)過慎重思考后修改的，最終才確定以這樣的方式和表述形式呈現(xiàn)。這樣的設(shè)計，其目標除了考查學(xué)生是否熟練掌握這幾個平面圖形的基本特征外，還要檢測學(xué)生是否有能力從多個維度去思考、去分析、去解決問題、去進行語言表述。正如史寧中教授所說的那樣，是否能用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界，用數(shù)學(xué)的思維分析世界，用數(shù)學(xué)的語言去表達世界。

二、主題要豐厚——提升數(shù)學(xué)文化素養(yǎng)

數(shù)學(xué)是人類文化的重要組成部分，數(shù)學(xué)教學(xué)傳承著人類文明。教材中的知識往往遵循自身的邏輯體系，科學(xué)又嚴謹。但不難發(fā)現(xiàn)，有些數(shù)學(xué)知識恰恰和數(shù)學(xué)史上的一些趣味名題有著或多或少的聯(lián)系，這樣聯(lián)系有時在課內(nèi)教學(xué)并不方便開展，因此可以設(shè)計成延伸性問題。試想一下，在課外拓展題的設(shè)計中，如果能夠在超越教材之外，將數(shù)學(xué)史料巧妙地帶給學(xué)生，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)文化素養(yǎng)，這是一件多么有意義的事。

例如，在學(xué)習(xí)完五年級下冊第三單元《因數(shù)與倍數(shù)》后，筆者設(shè)計了這樣一道課外拓展題：

閱讀下面材料：

其中1、2、3是6的因數(shù)，并且還是自然數(shù)6除了它本身以外的所有因數(shù)。你知道嗎？在數(shù)學(xué)上，像6這樣的自然數(shù)——除了它本身以外的所有因數(shù)的和等于它本身，我們把這一類數(shù)稱為“完全數(shù)”。問題：除了自然數(shù)6是完全數(shù)以外，你還能再找出一個完全數(shù)嗎？

這是一個蘊含著深刻數(shù)學(xué)教育理念并極具創(chuàng)新的課外拓展題，它是數(shù)學(xué)史上最美妙的一類數(shù)——完全數(shù)。所謂完全數(shù)，是指一個數(shù)除了它本身以外的所有因數(shù)的和等于它本身。學(xué)生通過材料閱讀，結(jié)合《因數(shù)與倍數(shù)》這個單元所學(xué)的知識經(jīng)驗，嘗試著去尋找另一個完全數(shù)，對于五年級學(xué)生而言，的確是可行的可操作。當然學(xué)生練習(xí)前，教師可以做一些鋪墊：先排除質(zhì)數(shù)。因為質(zhì)數(shù)的因數(shù)除了1就是它本身，按照規(guī)則，不能構(gòu)成加法運算，所以一定不符合。再引導(dǎo)學(xué)生從最小的合數(shù)4開始有序思考，一一列舉，逐一排除。4、8、9、10、12、14、15、16、18、20、21、22、24、25、26、27、28……找出第2個自然數(shù)28，28=1+2+4+7+14。這樣一個探究過程，既鞏固了找一個自然數(shù)的因數(shù)的方法，又培養(yǎng)了學(xué)生的抽象思維、逆向思維和探究意識。教師甚至還可以給學(xué)生補充：“在數(shù)學(xué)史上，6是一個完全數(shù)，也是最小的完全數(shù)，28是第二個被發(fā)現(xiàn)的完全數(shù)。目前人類利用計算機等工具高速運算，也才發(fā)現(xiàn)了38個完全數(shù)。在探索完全數(shù)的歷程中，留下了很多大數(shù)學(xué)家的足跡，如歐拉、畢達哥拉斯等，你們啊和大數(shù)學(xué)家一樣厲害?！蓖ㄟ^這樣的課外拓展，讓學(xué)生把數(shù)學(xué)的史料進行了恰當?shù)霓D(zhuǎn)化和有效的對話，給學(xué)生提供了體驗數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的歷程，彰顯了數(shù)學(xué)史料的文化價值和教育價值。

再如，教學(xué)《比的意義》之后，可以讓學(xué)生收集有關(guān)“黃金比”的實例及其在生活中的應(yīng)用實例，拓展學(xué)生的認知視野。教學(xué)蘇教版數(shù)學(xué)六年級下冊《解決問題的策略——假設(shè)》后，可以讓學(xué)生通過網(wǎng)絡(luò)等途徑查閱我國古代算術(shù)名著《孫子算經(jīng)》，閱讀關(guān)于“雞兔同籠”問題的相關(guān)資料。蘇教版教材中也常常出現(xiàn)“你知道嗎？”這樣的欄目，其中很多就是古今中外的數(shù)學(xué)史料，為學(xué)生的課外拓展學(xué)習(xí)提供了很好的素材。翻開歷史的長卷，像這樣的數(shù)學(xué)史料舉不勝舉，它們是人類文明史上的寶貴財富，理應(yīng)成為我們的教學(xué)資源，雕刻于學(xué)生的記憶深處，成為他們數(shù)學(xué)文化素養(yǎng)中不可或缺的一部分。因此，在設(shè)計課外拓展題時，要合理地開發(fā)和使用課程資源，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)文化素養(yǎng)，使得數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)變得豐厚起來。

三、內(nèi)容要實在——完善知識的整體結(jié)構(gòu)

數(shù)學(xué)教材為學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動提供了學(xué)習(xí)主題、基本線索和知識結(jié)構(gòu)，是實現(xiàn)課程目標、實現(xiàn)數(shù)學(xué)教學(xué)的重要資源。正是由于教材有一定的知識體系，因而客觀上也規(guī)定了學(xué)生的主要學(xué)習(xí)內(nèi)容。不難發(fā)現(xiàn)，在實際教學(xué)中，對于某些教學(xué)內(nèi)容，我們常常會感覺學(xué)生的知識經(jīng)驗和基礎(chǔ)差了那么一點，一些有經(jīng)驗的教師，會在不違背數(shù)學(xué)知識邏輯關(guān)系的基礎(chǔ)上，根據(jù)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)認知規(guī)律、知識背景和活動經(jīng)驗，適當整合補充一些教學(xué)內(nèi)容。實際上，學(xué)生有時完全可以超越教材，并且有能力去比較全面地了解或者學(xué)習(xí)某些相關(guān)內(nèi)容，從而初步建立有關(guān)知識的整體結(jié)構(gòu)。

比如，教學(xué)蘇教版數(shù)學(xué)五年級下冊第一單元《方程》時，教材中只安排教學(xué)未知數(shù)是一個加數(shù)或因數(shù)、被減數(shù)或被除數(shù)的方程，對于未知數(shù)是一個減數(shù)或者除數(shù)的方程并未呈現(xiàn)。新課程標準從學(xué)生的長遠發(fā)展和中小學(xué)教學(xué)的銜接出發(fā)，要求小學(xué)階段的學(xué)生也會利用等式的性質(zhì)來解方程。因此，本單元安排了等式的性質(zhì)的內(nèi)容，并且分兩段教學(xué)，每一段教學(xué)等式的性質(zhì)后，都及時讓學(xué)生運用等式的性質(zhì)解方程。對此，筆者認為蘇教版教材這樣安排非常合理，符合數(shù)學(xué)的學(xué)科特征和學(xué)生的認知規(guī)律。教材回避了未知數(shù)是一個減數(shù)或者除數(shù)的方程計算，但是在利用方程來解決實際問題，特別是用到稍復(fù)雜的方程來解決實際問題時，學(xué)生完全有可能列出未知量在減數(shù)或者除數(shù)位置的方程，此刻怎么辦？為此，學(xué)習(xí)完簡單的一步計算的方程后，設(shè)計了這樣的課外拓展題：

（1）填空：20-（ ）=5，35÷（ ）=7。

（2）運用已有的知識解方程：20-x=5，35÷x=7。

結(jié)合四則運算各部分之間的關(guān)系：減數(shù)=被減數(shù)-差；除數(shù)=被除數(shù)÷商，憑借數(shù)感，學(xué)生很容易解決出第一個問題。解決第二個問題時，學(xué)生結(jié)合上一題的解題經(jīng)驗，也能解出這種類型的一步計算方程。此刻很多教師，就會對學(xué)生說：“以后遇到這樣的方程，就用這樣的關(guān)系去解?。　闭\然，利用四則運算各部分之間的關(guān)系可以解決上述這一類方程，等式的性質(zhì)在這里真的毫無用武之地嗎？不，知識不是孤立的，它是有聯(lián)系的?！皵?shù)學(xué)理解的發(fā)展意味著，學(xué)生頭腦中建構(gòu)更加豐富、更加具有整合性的知識結(jié)構(gòu)，這種整合的知識結(jié)構(gòu)使得學(xué)生的數(shù)學(xué)理解更富有生成性。”聯(lián)系是數(shù)學(xué)理解的本質(zhì)。仔細分析教材上所呈現(xiàn)的方程式，其實它們都可以“看成”最基本的結(jié)構(gòu)關(guān)系——“加法”關(guān)系和“乘法”關(guān)系?！皽p法”關(guān)系和“除法”關(guān)系是它們的逆運算，是可以實現(xiàn)轉(zhuǎn)化的。以這里的方程“20-x=5，35÷x=7”為例，利用知識的遷移，可以帶領(lǐng)學(xué)生完善等式的性質(zhì)，明確：“等式的兩邊加上或減去同一個數(shù)，這里的同一個數(shù)可以是未知數(shù)x；等式的兩邊乘以或除以同一個數(shù)（0除外），這里的同一個數(shù)也可以是未知數(shù)x。 ”這樣方程“20-x=5，35÷x=7”就轉(zhuǎn)化成“20=5+x，35=7x”， 這就是學(xué)生最熟悉的 “加法”和“乘法”關(guān)系結(jié)構(gòu)的方程。設(shè)計這樣的拓展訓(xùn)練，既完善了學(xué)生的認知水平，也彌補了相關(guān)知識的缺陷，等學(xué)生到了中學(xué)階段，學(xué)習(xí)“合并同類項”和“移項”時，可以實現(xiàn)自然過渡，使得中小學(xué)階段關(guān)于方程的教學(xué)渾然一體，形成了完整的知識結(jié)構(gòu)。

四、形式要靈活——培養(yǎng)綜合應(yīng)用能力

數(shù)學(xué)源于生活。要認真挖掘?qū)W生所學(xué)的數(shù)學(xué)知識在社會生活、生產(chǎn)以及相關(guān)學(xué)科中的應(yīng)用，精心設(shè)計問題情境，創(chuàng)造條件讓學(xué)生運用所學(xué)知識解決相關(guān)實際問題，讓學(xué)生體驗數(shù)學(xué)的應(yīng)用價值。而培養(yǎng)小學(xué)生數(shù)學(xué)應(yīng)用意識最有效的辦法就是讓學(xué)生有機會親身實踐。因此，課外拓展題的設(shè)計，要突出綜合性、應(yīng)用型，形式更要靈活，以促進學(xué)生實踐能力的培養(yǎng)，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)綜合應(yīng)用能力。

例如：在五年級上冊《解決問題的策略——一一列舉》單元復(fù)習(xí)時，筆者設(shè)計了這樣一個拓展題：李伯伯有20米長的竹籬笆，請你幫他圍一個長方形的花圃（花圃的長和寬都是整米數(shù)）。李伯伯有個要求：他想讓花圃的一端靠著墻圍。你打算怎么設(shè)計？猜一猜：李伯伯會選擇哪一種方案，為什么？

本題是一道典型的開放題，和教材上的例題、習(xí)題最大的不同，就是多出“一端靠墻圍”這一條件。從課內(nèi)到課外，既要求學(xué)生掌握常規(guī)的思維過程，又要打破學(xué)生的定式思維?！耙繅趺纯?？哪條邊去靠？”學(xué)生要在頭腦中對已有知識進行“再加工”，并加以調(diào)整、改組和充實，創(chuàng)造性地尋找獨特的解法。學(xué)生可以借助生活中的材料，比如課本、文具盒充當那面墻，用小棒搭一搭；也可以數(shù)形結(jié)合，畫示意圖分析題意，再運用一一列舉的策略解決該題。本題的設(shè)計方案一共有9種，其中長10米、寬5米時，面積最大。有心的教師還會帶著學(xué)生發(fā)現(xiàn)規(guī)律：不靠墻圍時，長和寬越接近，圍成的面積越大；靠墻圍時，當寬恰好是長的一半時，圍成的長方形面積最大。這樣的一個探究過程，是一個發(fā)展思維的過程，有利于學(xué)生開拓思維，凸顯過程和方法，體現(xiàn)數(shù)學(xué)理解。

課外拓展題的形式可以多種多樣，除了上述對學(xué)生思維要求比較高的綜合性拓展題，還可以抓住兒童愛玩的心理，布置一些從學(xué)校到家庭的實踐性拓展題。如教學(xué)“認識鐘表”時，可以讓學(xué)生回家和父母一起制作一個鐘面；教學(xué)“升和毫升”時，提前讓學(xué)生去超市里調(diào)查哪些商品用升或毫升做單位；教學(xué)“四則混合運算”之后，讓學(xué)生回家后借助撲克牌和父母玩玩算24點游戲；等等。

總之，有價值的課外拓展題是對課堂學(xué)習(xí)的有效補充，期望以這樣的課外拓展題更好地診斷學(xué)生數(shù)學(xué)理解的落實情況，從而改進我們的日常教學(xué)，更好地提升教學(xué)質(zhì)量，促進學(xué)生核心素養(yǎng)的發(fā)展。?