李桂娟

解析幾何的學(xué)科特征是“算”，題目一般計(jì)算量較大且有一定的技巧性，對(duì)學(xué)生的意志品質(zhì)和數(shù)學(xué)機(jī)智都是一種考驗(yàn)和檢測(cè)，需要學(xué)生的“精打細(xì)算”，品出其中的“幾何味”來，它的第一步是把幾何條件轉(zhuǎn)化為代數(shù)語言，其中的橋梁是三個(gè)公式：與線段有關(guān)的，用距離公式;與線段比有關(guān)的，考慮定比分點(diǎn)的坐標(biāo)公式;與角有關(guān)的，嘗試斜率和夾角公式，這是基本點(diǎn)，一經(jīng)轉(zhuǎn)化，解析幾何問題就成了方程或者函數(shù)問題，譬如，討論一元二次方程根的情況，解二元二次方程組，求代數(shù)式的最大值或最小值，等等，而解析幾何的解題機(jī)智，主要表現(xiàn)在如何選擇合理的運(yùn)算路徑上，也就是坐標(biāo)法、向量法和綜合運(yùn)用幾何性質(zhì)推演這三種運(yùn)算的選擇上.

1 問題的呈現(xiàn)

這是過焦點(diǎn)的直線被圓錐曲線截得的弦被焦點(diǎn)分成線段比，同時(shí)已知直線的傾斜角，求圓錐曲線的離心率問題，本題可寫出直線方程，通過聯(lián)立橢圓和直線方程，采用三個(gè)公式解答，這是通性通法，但運(yùn)算量較大，讓不少學(xué)生望而卻步;也可利用橢圓的第二定義將問題轉(zhuǎn)化為平面幾何圖形的性質(zhì)進(jìn)行探究，但是現(xiàn)行人教A版教材只把橢圓的第二定義當(dāng)作例題處理，明顯淡化了橢圓的第二定義及其應(yīng)用，難道就拿此題束手無策了嗎？能否找到解決此類問題的捷徑？因此解析幾何的解題機(jī)智該派上用場(chǎng)了，需要尋求有效的解題策略.

2 問題的解決

3 問題的拓展

從母題的求解過程來看，融入了解決三角形問題的基本策略：第一步，引入變量，設(shè)邊設(shè)角;第二步，利用正弦定理、余弦定理、面積公式建立起待求值關(guān)于所設(shè)變量的函數(shù)，或待求值關(guān)于所設(shè)變量的方程;第三步，基于函數(shù)與方程思想解決問題，母題利用了兩次余弦定理，根據(jù)兩個(gè)角互補(bǔ)，則這兩個(gè)角的余弦值互為相反數(shù)來建立等量關(guān)系，通過解方程獲解，眾所周知，解析幾何的基本思想，是用代數(shù)方法研究幾何問題，但是，事物都是一分為二的，如果過分強(qiáng)調(diào)某一種方法，必然會(huì)使學(xué)生形成思維定勢(shì)，

從方法論的角度來講，就是轉(zhuǎn)換視角，常態(tài)方案不行，換一個(gè)方案就行了;這種說法與思路不通，換一個(gè)說法就通了;在一個(gè)領(lǐng)域內(nèi)繁雜的問題，換一個(gè)領(lǐng)域就簡(jiǎn)單了，如若不是這樣，靠什么考查能力？所謂試題的創(chuàng)新，本質(zhì)上是視角的轉(zhuǎn)換，我們的解題教學(xué)，就是要用創(chuàng)新應(yīng)對(duì)創(chuàng)新，用轉(zhuǎn)換應(yīng)對(duì)轉(zhuǎn)換，

從類比所得的結(jié)論來看，橢圓和雙曲線的離心率只差一個(gè)符號(hào)，形式上非常對(duì)稱，而拋物線的離心率等于1，只需令雙曲線的離心率等于1，即得拋物線的結(jié)論，就如同把拋物線看成雙曲線的一支，非常奇妙，這不得不讓人感嘆數(shù)學(xué)之奇，數(shù)學(xué)之美，

需要指出的是，直線必須要過圓錐曲線的焦點(diǎn)，也就是線段AB必須是焦點(diǎn)弦，事實(shí)上，結(jié)論中出現(xiàn)了三個(gè)量：直線的傾斜角a、焦點(diǎn)分弦AB所成的比λ以及圓錐曲線的離心率e，根據(jù)方程的思想，只要已知其中任意兩個(gè)量，就能求第三個(gè)量.

4 結(jié)論的應(yīng)用

5 策略的反思

怎樣思維比思維什么更重要，利用其它領(lǐng)域的方法來解決這個(gè)領(lǐng)域的問題，利用解三角形的眼光看待解析幾何問題，對(duì)學(xué)生的思維產(chǎn)生的是一種良性刺激，母題的解法抓住了形的特征，在充分分析圖形特征的基礎(chǔ)上，引入了邊變量，借助余弦定理的兩次運(yùn)用，建立起關(guān)于邊變量的方程，采用“設(shè)而不求法”，通過解方程輕松獲得問題的答案，此解法體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想、函數(shù)與方程思想，避開了解析幾何中的坐標(biāo)與方程的繁瑣運(yùn)算，減少了運(yùn)算量，而且思路清晰，過程優(yōu)美，同時(shí)，靈活應(yīng)用解三角形的策略推出圓錐曲線離心率的統(tǒng)一公式，不僅有效地鞏固了知識(shí)，而且使學(xué)生感慨公式的強(qiáng)大致簡(jiǎn)功能，數(shù)學(xué)理性精神給以數(shù)學(xué)結(jié)論探尋的動(dòng)力，數(shù)學(xué)結(jié)論是數(shù)學(xué)理性精神的結(jié)晶，數(shù)學(xué)結(jié)論的應(yīng)用更是數(shù)學(xué)理性精神的魅力和威力所在，精彩結(jié)論來自不斷的探索與反思，學(xué)會(huì)思考、善于變式，使自己的思維處于一個(gè)“流動(dòng)”的狀態(tài)，能從一個(gè)問題的“生長(zhǎng)點(diǎn)”、一個(gè)“母題”、一個(gè)“題根”出發(fā)，通過不斷地感悟與聯(lián)想、反思與提煉，調(diào)整與優(yōu)化，自動(dòng)自發(fā)地拓展出更多的新穎結(jié)論來，是教師帶領(lǐng)學(xué)生一起打造智慧課堂的有效途徑.