夏銘 湖南師范大學(xué)附屬中學(xué)

1 導(dǎo)數(shù)在高中函數(shù)中的應(yīng)用

1.1 在函數(shù)極值中的應(yīng)用

使用導(dǎo)數(shù)對(duì)函數(shù)的極值進(jìn)行研究是導(dǎo)數(shù)應(yīng)用廣泛的一個(gè)方式，同時(shí)也是高中數(shù)學(xué)中的一個(gè)重點(diǎn)考察內(nèi)容。通過(guò)對(duì)導(dǎo)數(shù)的使用，可以讓函數(shù)極值求解的問(wèn)題更加簡(jiǎn)單，有利于我們更好的掌握一些解答技巧，進(jìn)而提升自己的知識(shí)運(yùn)用能力和解題能力。就以下面這道問(wèn)題為例子：

例題1：已知ax2-1nx-1=0有兩個(gè)解，根據(jù)題目求出a的取值范圍。

解析：這道題可以用三種方式進(jìn)行解答，首先可以將參數(shù)分離，在原式上得到a=，其中的x＞0,。然后再設(shè)f（x）=，并且求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，以此得到 (x）=-，在此基礎(chǔ)上讓2lnx+1=0，得到x=e-。在0＜x＜e- 的時(shí)候， (x）＞0；在x＞e- 的時(shí)候, (x）＜0.因此，在x=e-的時(shí)候， (x）的最大值是。求出最大值之后，可畫(huà)出 (x）草圖，這樣可以知道在a和f（x）有兩個(gè)交點(diǎn)的時(shí)候，存在著0＜a＜，這樣就可以得到a的取值范圍是（0,）還有一種方式是把原始式子變形，得出lnx=ax2-1，然后設(shè)y1=lnx，y2=ax2-1，這樣ax2-lnx-1=0就有兩個(gè)解，進(jìn)而轉(zhuǎn)換成y1、y2有兩個(gè)交點(diǎn)，在這些條件基礎(chǔ)上畫(huà)出相關(guān)的圖形就可以知道在y1和y2有兩個(gè)交點(diǎn)的時(shí)候，a＞0，如果兩個(gè)曲線相切，則就可以設(shè)切點(diǎn)是P（x0，y0），在這其中 y0=a-1，y0=lnx0,2ax0=。在得出這個(gè)式子之后對(duì)式子；兩邊進(jìn)行求導(dǎo)，這樣可以得到2ax0=，進(jìn)而求解得出a=。在我們所學(xué)的定義中，二次函數(shù)二次項(xiàng)系數(shù)越小，則開(kāi)口就越大，因此y1和y2有兩個(gè)交點(diǎn)的時(shí)候，0＜a＜，所以a的取值范圍是（0,）。

1.2 在函數(shù)單調(diào)性中的應(yīng)用

函數(shù)單調(diào)性是函數(shù)的一個(gè)重要性質(zhì)，是研究函數(shù)的一個(gè)重要關(guān)鍵點(diǎn)。所以函數(shù)單調(diào)性一直是高中數(shù)學(xué)和高考中的重點(diǎn)。在對(duì)函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行研究的時(shí)候，導(dǎo)數(shù)是一個(gè)有效的方式方法，通過(guò)對(duì)導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用能夠把原函數(shù)單調(diào)性問(wèn)題進(jìn)行轉(zhuǎn)換，將其轉(zhuǎn)化為判斷函數(shù)符號(hào)的相關(guān)問(wèn)題。就以下這道題為例：

解析：利用導(dǎo)數(shù)對(duì)函數(shù)的單調(diào)性步驟是：先求出原函數(shù)定義域，然后再求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，求出自變量取值范圍，讓導(dǎo)數(shù)函數(shù)大于零，然后寫(xiě)出單調(diào)區(qū)間。由題可知f（x）的定義域是。由于x＞0,2x+1＞0。然后設(shè)(x）-ax-1，進(jìn)而得出 (x）=0，從而得到x=。通過(guò)這樣依次計(jì)算的方式來(lái)判斷出函數(shù)的單調(diào)性。

2 導(dǎo)數(shù)應(yīng)用在高中函數(shù)中的體會(huì)

在教學(xué)體制不斷變革之下，我們所學(xué)習(xí)的高中數(shù)學(xué)知識(shí)也發(fā)生了很大的變化。數(shù)學(xué)本身就是一門(mén)和生活實(shí)際相聯(lián)系的科目，在生活中有很多問(wèn)題都可以通過(guò)數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行解答。尤其是導(dǎo)數(shù)相關(guān)的知識(shí)，如果我們使用導(dǎo)數(shù)去解決相關(guān)的問(wèn)題，則就能讓很多生活和工作上的事情更加簡(jiǎn)單。通過(guò)對(duì)導(dǎo)數(shù)特點(diǎn)的研究發(fā)現(xiàn)，將導(dǎo)數(shù)使用在生活中的一些物體移動(dòng)速度和商業(yè)方面的利潤(rùn)最大化都有很大的作用。通過(guò)對(duì)導(dǎo)數(shù)的使用，可以對(duì)我們?nèi)粘Ｉ钪械囊恍﹩?wèn)題進(jìn)行有效地解決。比如已知某個(gè)產(chǎn)品生產(chǎn)成本和產(chǎn)量之間的函數(shù)關(guān)系，知道價(jià)格和產(chǎn)量的函數(shù)關(guān)系，通過(guò)這兩方面的關(guān)系求出價(jià)格基礎(chǔ)上利潤(rùn)最大值。在對(duì)這種問(wèn)題進(jìn)行解答的時(shí)候，我們需要知道的是利潤(rùn)是收入減去成本，而收入是產(chǎn)量與價(jià)格的相乘，這樣就能夠得出產(chǎn)量與利潤(rùn)之間的函數(shù)關(guān)系式，進(jìn)而使用導(dǎo)數(shù)來(lái)求出最大的利潤(rùn)。這是我們將導(dǎo)數(shù)使用在函數(shù)中的一個(gè)生活性質(zhì)的體驗(yàn)。在對(duì)導(dǎo)數(shù)進(jìn)行學(xué)習(xí)的時(shí)候，需要對(duì)其中的重難點(diǎn)進(jìn)行把握。我們首先要做的是對(duì)導(dǎo)數(shù)的定義進(jìn)行一定程度的了解，要清楚的知道導(dǎo)數(shù)的含義。接著就是學(xué)習(xí)導(dǎo)數(shù)的各種性質(zhì)，導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用主要是對(duì)導(dǎo)數(shù)的相關(guān)性質(zhì)進(jìn)行運(yùn)用，以此來(lái)解答相關(guān)的問(wèn)題。因此，掌握導(dǎo)數(shù)的相關(guān)性質(zhì)是我們應(yīng)用導(dǎo)數(shù)解答函數(shù)的關(guān)鍵所在。使用導(dǎo)數(shù)解題本身是一個(gè)較為固化和傳統(tǒng)的方式，但是在實(shí)際運(yùn)用過(guò)程中還需要將問(wèn)題簡(jiǎn)單化，這樣才能夠真正的掌握導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用技巧，進(jìn)而提升自己的解題能力。

3 結(jié)束語(yǔ)

導(dǎo)數(shù)知識(shí)是高中數(shù)學(xué)中的重要構(gòu)成部分，在學(xué)習(xí)的時(shí)候我們要清楚導(dǎo)數(shù)的相關(guān)概念，并且要對(duì)其中的性質(zhì)進(jìn)行正確的把握。在深入理解導(dǎo)數(shù)的基礎(chǔ)上將其應(yīng)用在函數(shù)的解答中，對(duì)函數(shù)的極值以及單調(diào)性等相關(guān)問(wèn)題進(jìn)行解析，以此來(lái)提升自己對(duì)函數(shù)和導(dǎo)數(shù)的理解能力，在問(wèn)題解答過(guò)程中加強(qiáng)自己的知識(shí)運(yùn)用能力。