對(duì)一道課本例題的逆向探究

孫承雄

1 原題呈現(xiàn)

人教A版《數(shù)學(xué)》（選修2-1）第70頁(yè)有這樣一道例題（例5）：過(guò)拋物線焦點(diǎn)F的直線交拋物線于A，B兩點(diǎn)，通過(guò)點(diǎn)A和拋物線頂點(diǎn)的直線交拋物線的準(zhǔn)線于點(diǎn)D，求證：直線BD平行于拋物線的對(duì)稱(chēng)軸.

2 逆向探究

如果把例題的條件、結(jié)論調(diào)換，那么得到它的逆命題是否仍為真命題呢？經(jīng)過(guò)仔細(xì)的探究，本文給出了肯定的回答，

性質(zhì)1 過(guò)拋物線焦點(diǎn)F的直線交拋物線于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)D在拋物線的準(zhǔn)線上，若直線BD平行于拋物線的對(duì)稱(chēng)軸，則直線AD經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O.

3 拓展延伸

圓錐曲線包括橢圓、雙曲線和拋物線，對(duì)拋物線成立的結(jié)論是否同樣適用于橢圓和雙曲線呢？經(jīng)過(guò)深入的研究，得到了下面的結(jié)果，

性質(zhì)2 過(guò)橢圓焦點(diǎn)F的直線交橢圓于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)D在焦點(diǎn)F對(duì)應(yīng)的準(zhǔn)線上，若直線BD平行于橢圓的對(duì)稱(chēng)軸，則直線AD經(jīng)過(guò)定點(diǎn)（該定點(diǎn)是準(zhǔn)線與對(duì)稱(chēng)軸的交點(diǎn)和焦點(diǎn)F的中點(diǎn)坐標(biāo)）.

當(dāng)曲線變?yōu)殡p曲線時(shí)，采用同樣的方法，也可以得到下面的結(jié)論：

性質(zhì)3 過(guò)雙曲線焦點(diǎn)F的直線交雙曲線于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)D在焦點(diǎn)F對(duì)應(yīng)的準(zhǔn)線上，若直線BD平行于雙曲線的對(duì)稱(chēng)軸，則直線AD經(jīng)過(guò)定點(diǎn)（該定點(diǎn)是準(zhǔn)線與對(duì)稱(chēng)軸的交點(diǎn)和焦點(diǎn)F的中點(diǎn)坐標(biāo)）.

4 一般性的結(jié)論

通過(guò)上面的討論，我們可以得出，圓錐曲線中與焦點(diǎn)、準(zhǔn)線有關(guān)的一般性的性質(zhì)：過(guò)圓錐曲線焦點(diǎn)F的直線交圓錐曲線于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)D在焦點(diǎn)F對(duì)應(yīng)的準(zhǔn)線上，若直線BD平行于圓錐曲線的對(duì)稱(chēng)軸，則直線AD經(jīng)過(guò)定點(diǎn)（該定點(diǎn)是準(zhǔn)線與對(duì)稱(chēng)軸的交點(diǎn)和焦點(diǎn)F的中點(diǎn)坐標(biāo)）.