吳亞?wèn)|，程建榮

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Heron噴泉水柱高度模型及實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

吳亞?wèn)|，程建榮

（西北工業(yè)大學(xué) 理學(xué)院，陜西 西安 710072）

利用伯努利方程對(duì)噴泉噴水高度的影響因素進(jìn)行探究，得到最大噴泉高度與瓶中液面高度差的關(guān)系。通過(guò)實(shí)驗(yàn)對(duì)模型數(shù)據(jù)進(jìn)行了驗(yàn)證。結(jié)合影響實(shí)驗(yàn)的一些因素，解釋了模型假設(shè)的合理性。

Heron噴泉；伯努利方程；噴泉高度；準(zhǔn)靜態(tài)過(guò)程

早在古希臘時(shí)期，一位名叫希羅（Heron）的力學(xué)家，利用液體壓力作為動(dòng)力，發(fā)明了人類(lèi)早期的一種噴泉——希羅噴泉。這個(gè)相對(duì)簡(jiǎn)單的發(fā)明，在當(dāng)時(shí)受到了人們的廣泛關(guān)注[1]。Heron噴泉通過(guò)將重力勢(shì)能轉(zhuǎn)化為動(dòng)能從而達(dá)到將水從高處轉(zhuǎn)移到低處，而其不需要外加電能驅(qū)動(dòng)，其可以應(yīng)用場(chǎng)所包括室內(nèi)小型噴泉裝飾、物理演示實(shí)驗(yàn)[2]、計(jì)時(shí)裝置、化學(xué)反應(yīng)器等。

1 模型的建立

一般形式的Heron噴泉如圖1所示，符號(hào)說(shuō)明見(jiàn)表1。

根據(jù)伯努利原理[3-5]，同一條流線(xiàn)上各點(diǎn)符合如下關(guān)系

沿管1取一條流線(xiàn)，得如下方程：

如果當(dāng)R>>r時(shí)（即使用的瓶子半徑遠(yuǎn)大于管半徑），液面B的下降速度b≈0，可化簡(jiǎn)為：

將上式聯(lián)立，可解出3管中噴出水的初速度：

若不考慮水在空氣中的運(yùn)動(dòng)阻力，即可得到管中噴出水的最大高度：

故可得，=2。

因此，在瓶子半徑遠(yuǎn)大于管半徑，液面B的下降速度b≈0，無(wú)空氣阻力的情況下，Heron噴泉所能?chē)姵龅淖罡咚cB，C液面高度相等。

圖1 Heron噴泉示意圖

2 實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)及結(jié)果

為了驗(yàn)證所建立的模型準(zhǔn)確程度，進(jìn)行實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證，根據(jù)Heron的描述，使用熱熔膠、電鉆、飲料瓶等制作如圖2所示的實(shí)驗(yàn)裝置。

使用此裝置進(jìn)行反復(fù)實(shí)驗(yàn)，記錄下每次的液面高度差與噴泉高度，繪制水柱高度與液面差關(guān)系圖線(xiàn)，見(jiàn)圖3。由圖3所得擬合方程為：

線(xiàn)性相關(guān)系數(shù)為2=0.98。由此可見(jiàn)，水柱噴射的高度明顯與液面差相關(guān)，說(shuō)明建立的模型在一定的誤差范圍內(nèi)可以與實(shí)驗(yàn)結(jié)果相吻合。

圖2 實(shí)際裝置

圖3 實(shí)驗(yàn)與擬合結(jié)果

由于噴水過(guò)程中，水柱高度一直在變化，難于準(zhǔn)確地測(cè)量，因此對(duì)圖2實(shí)驗(yàn)裝置進(jìn)行了改進(jìn)。在1管子上增長(zhǎng)導(dǎo)管，使其內(nèi)水恰好不噴出，整體的液面處于平衡狀態(tài)。這樣的測(cè)量等價(jià)于水恰好從管1中噴出（其噴出速度為0時(shí)），所以得到較為準(zhǔn)確的數(shù)據(jù)。改進(jìn)后的裝置如圖4所示。根據(jù)此改進(jìn)后裝置測(cè)量結(jié)果如圖5所示。

圖4 準(zhǔn)靜態(tài)測(cè)量

圖5 改進(jìn)實(shí)驗(yàn)與擬合結(jié)果

由圖5得到擬合曲線(xiàn)方程為：

線(xiàn)性相關(guān)系數(shù)為2=0.98。結(jié)果進(jìn)一步證實(shí)了所建立模型的合理性。

實(shí)驗(yàn)裝置的密封性，導(dǎo)管，瓶子之間的連接縫隙都會(huì)對(duì)測(cè)量結(jié)果結(jié)果產(chǎn)生一定影響，可以使用均勻截面的容器提高實(shí)驗(yàn)結(jié)果的準(zhǔn)確度。

3 模型的數(shù)學(xué)證明

當(dāng)噴泉系統(tǒng)處于穩(wěn)定狀態(tài)下，一定時(shí)間內(nèi)從B中流入A在流入C的水的體積以及流經(jīng)1管中的水量相同，即通量一樣：

由

得

等式兩邊對(duì)進(jìn)行微分，有：

將此方程帶入之前所建立的方程組內(nèi)：

故

由于b>1，因此

4 結(jié)論

基于伯努利方程，建立了描述Heron噴泉噴水高度的數(shù)學(xué)模型，其水柱高度主要由兩液面差決定。通過(guò)實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了所建立模型的合理性，并通過(guò)數(shù)學(xué)推導(dǎo)，從理論上證明模型的合理性。模型的建立使實(shí)驗(yàn)過(guò)程中的測(cè)量更加方便。

[1] 吳家寬.希羅噴泉的制作和討論[J].物理實(shí)驗(yàn),2001, (8):31-31.

[2] 何建綱,馬濤.介紹一種“多級(jí)增壓式希羅噴泉”[J].物理教學(xué),1993,(12):33-34.

[3] 王旭,蘇新兵,胡孟權(quán),等.應(yīng)用流體力學(xué)[M].西安:西北工業(yè)大學(xué)出版社,2012.

[4] 張永祥.對(duì)非慣性系流體動(dòng)力學(xué)問(wèn)題的研究[J].唐山師范學(xué)院學(xué)報(bào),1995,(6):13-16.

[5] 鄭筱莉.應(yīng)用“伯努利方程”分析希羅噴泉的噴射高度[J].新疆職業(yè)教育研究,2002,10(3):69-70.

Model and Experimental Verification of the Height of the Water Jet in Heron Fountain

WU Ya-dong, CHENG Jian-rong

(School of Natural and Applied Science, Northwestern Polytechnical University, Xi’an 710072, China)

The Bernoulli equation was used to investigate the influencing factors of fountain height. It was deduced that the height of the water jet depends on the difference in liquid level in the bottle. On the basis of theory, massive experiments were designed and carried out, through them the model was in accordance with the experimental results. At the same time, some factors that influence the experiment are analyzed, and the rationality of the model assumption is also explained. Finally, on the basis of experiments and theories, several possible applications of the fountain are given, such as demonstration of physical experiments, interior decoration, timing, and chemical reactors.

heron fountain; ernoulli equation; water jet height; quasi-static process

O301

A

1009-9115(2018)06-0067-03

10.3969/j.issn.1009-9115.2018.06.015

2018-06-22

2018-09-12

吳亞?wèn)|（1997-），男，滿(mǎn)族，北京密云區(qū)人，本科生，研究方向?yàn)閿?shù)學(xué)建模與材料科學(xué)。

（責(zé)任編輯、校對(duì)：侯 宇）