祝麗萍 崔朝劍雄 張 勝 羅夢迪

（昌吉學院數(shù)學系 新疆 昌吉 831100）

1 引言

冪期權是金融市場中一類變異期權,區(qū)別于一般期權的特點在于，其持有人在到期日行權條件不是簡單地用標的資產(chǎn)的價格與執(zhí)行價格相比較,而是用標的資產(chǎn)的某個指數(shù)冪與執(zhí)行價格相對比,因而冪期權能夠放大風險,且具有一定的靈活性,能滿足不同風險偏好的投資者的需要[1]。為了簡化，傳統(tǒng)的金融產(chǎn)品定價理論往往假設金融市場是無套利、均衡和完備的市場,然后就可以得到相應的定價公式[2]。然而實際市場總是有套利、非均衡、不完備的,因而傳統(tǒng)的期權定價模型往往不太適合真實市場。注意到保險產(chǎn)品和期權在性質上的類似，1998年,Bladt和Rydberg首次將保險精算方法運用在期權定價中,稱為保險期權定價法[3]，該方法對金融市場并沒有特別的假設,適應性也比較廣泛。但是，2005年Schmitz用反例說明Bladt和Rydberg基本結論是錯誤的,關鍵就是Bladt和Rydberg的行權條件會導致套利機會[4]。2008年,鄭紅等人在利用保險精算方法上進一步修正了Bladt和Rydberg的精算公式，得到新的歐式期權保險精算定價公式[5]。其次,傳統(tǒng)的模型往往都是基于正態(tài)分布的模型假設,但實際數(shù)據(jù)往往都具有尖峰厚尾的特點，與正態(tài)分布有差異。分形布朗運動可以描述這種非正態(tài)的特性,于是1997年Roger將分形布朗運動引入期權定價公式[6]。由于現(xiàn)存的文獻中基于分形布朗運動用保險精算定價法研究冪期權還不多,因此本文試圖討論保險精算方法在股票價格服從分形布朗運動條件下冪期權定價問題中,導出其定價公式,進一步推廣鄭紅等人的成果。

2 冪期權的保險精算定價模型

由于冪期權也分為看漲和看跌兩種。本文以看漲冪期權為例來研究。

假定金融市場由兩種資產(chǎn)來組成，一種是無風險資產(chǎn)，另一種是風險資產(chǎn)（例如股票）。假設在t時刻，無風險資產(chǎn)瞬時收益率為r(t),其價格過程為Q(t):t≥0,風險資產(chǎn)的價格過程為S(t):t≥0，是定義在給出的濾子化完備概率空間(Q ,F,F(t)t≥0,P)上的隨機過程,F(t):t≥0是由S(t)所產(chǎn)生的自然濾子，討論時間區(qū)間為[0,T],0表示為初始時刻,T表示為到期日，假設S(0)=S為大于零的常數(shù)。

定義1假設S(t):t≥0是某個隨機的過程,S(0)=S,β(t):t≥0是某一函數(shù)。如果在區(qū)間[0 ,t]上有

假設C(K,T)表示以股票的價格S(t)作為標的資產(chǎn),執(zhí)行價格為K,到期日為T的看漲冪期權的保險精算定價。

定義2稱當期權在到期日被執(zhí)行時，股票在到期日股價S(T)α折現(xiàn)值與其執(zhí)行價K之間的差額在股票價格實際分布下的數(shù)學期望為分形布朗運動驅動下冪期權保險精算的價值。一般情況下無風險資產(chǎn)按照無風險利率折現(xiàn)，而風險資產(chǎn)按其期望收益率折現(xiàn)，即

其中,E表示T時刻實際概率測度下的數(shù)學期望。

相比于傳統(tǒng)期權保險精算定價法，此精算定價法嚴格按照期權的定義和保險精算的思想來給出期權的定價模型。最關鍵的區(qū)別是期權所執(zhí)行的條件,即上式中的示性函數(shù)。

3 冪期權的精算定價公式

為求解公式（1）,我們進一步假設股票的飄移項和波動項以及利率都是常值，并且假設股票價格服從分形布朗運動。

其中，H:0≤H≤1是赫斯特指數(shù),BH()t代表參數(shù)為H的分形布朗運動.u,σ,r都是常數(shù)。下面僅給出看漲冪期權在分形布朗運動驅動下的保險精算定價公式。

因為分形布朗運動不再是半鞅,故不能用Ito?引理來求解，就需要以下得引理

引理1[7]對于0≤t≤T隨機微分方程（2）的解是

定理1在基本的假設下,分形布朗運動驅動下冪期權的保險精算定價公式應為

其中，

證明：由引理1,

特別地有,

注意到σBH(t)～N( )0,σ2T2H,從而有

注意到,定義2中執(zhí)行期權的條件S(T)α＞K的等價條件是：

現(xiàn)將式（5）（6）帶入式（1）即得公式（4）。證畢。

4 結論

從公式（4）我們可以看出,在風險為中性的條件下,公式（4）與何成潔等和周圣武文等文中通過風險中性原理推導的結果一致[8,9],而且與唐奎等人研究的結論一致,并且我們在唐奎等人文章證明過程中發(fā)現(xiàn)其結論只能在風險中性情況下才成立【10】,這一點說明我們方法的優(yōu)勢。當α=1時,冪期權就轉變?yōu)橐话闫跈?結論與鄭紅文中的結果一致。因此，本文的確是上述文章的推廣。但是由于我們的研究僅僅是在漂移項、波動項都為常數(shù)，也不帶分紅的情況下進行的，具有一定的局限性，今后我們要對冪期權在具有時間依賴的漂移項、波動項和利率以及帶有紅利分配的保險精算定價問題進一步討論。