江蘇省太倉市雙鳳中心小學(xué) 岳 靜

“算理”是指四則計(jì)算的理論依據(jù)，它是由數(shù)學(xué)概念、性質(zhì)、定律等內(nèi)容構(gòu)成的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)理論知識。如果說算法是解決“怎樣計(jì)算”的問題，那么算理則是說明“為什么這樣算”的數(shù)學(xué)原理。從數(shù)學(xué)建模的角度來講，“算理”認(rèn)知的過程是“材料感知、提出問題——探究感悟，理解算理——聚類抽象，形成算法——相互轉(zhuǎn)化，意義內(nèi)化”過程的重要一環(huán)。所以對“算理”的理解與表述，除了作用于具體計(jì)算“算法”的形成與提升，更是學(xué)生數(shù)學(xué)思維活動的外顯形式，是學(xué)生提升數(shù)學(xué)思維方式的有效平臺。

從“算理”的引導(dǎo)發(fā)現(xiàn)方式上看，低年段整數(shù)加、減法計(jì)算，主要借助于學(xué)生生活經(jīng)驗(yàn)的再現(xiàn)與應(yīng)用，借助操作活動，引導(dǎo)學(xué)生將生活化經(jīng)驗(yàn)提煉成數(shù)學(xué)化的表達(dá)與應(yīng)用，幫助學(xué)生在建立“位值制”原則的基礎(chǔ)上進(jìn)行引導(dǎo)發(fā)現(xiàn)。中年段整數(shù)乘除法的學(xué)習(xí)主要以具體的簡單實(shí)際問題為載體，引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合豎式的抽象產(chǎn)生過程，形成基于“算理”認(rèn)識上的“算法”構(gòu)造與應(yīng)用。高年段“小數(shù)、分?jǐn)?shù)（百分?jǐn)?shù)）”計(jì)算中則圍繞數(shù)學(xué)思想及基本原理的應(yīng)用，側(cè)重于借助知識的有效遷移與類比，注重“算理”的“形”與“質(zhì)”的溝聯(lián)式理解，即從計(jì)算過程的具體形象思維逐步過渡到抽象思維。

一、學(xué)情要了解

本節(jié)課教學(xué)前，在第一學(xué)段，學(xué)生已經(jīng)掌握了整數(shù)的計(jì)算方法，學(xué)習(xí)了一位小數(shù)的加減法及小數(shù)的意義和性質(zhì)。在上本節(jié)課前，筆者做了兩次前測，都是調(diào)查整班46名學(xué)生，第一次是在學(xué)習(xí)小數(shù)的意義之前，一半學(xué)生計(jì)算正確；第二次是在學(xué)習(xí)了小數(shù)的意義和性質(zhì)之后，有9位學(xué)生做錯。學(xué)生在計(jì)算時出現(xiàn)三種問題，第一種是模仿整數(shù)加減法的算法，將末位對齊，有6位同學(xué)；第二種是小數(shù)點(diǎn)對齊，整數(shù)部分相同數(shù)位對齊，而小數(shù)部分相同數(shù)位沒有對齊，有2位同學(xué)；第三種是小數(shù)點(diǎn)和相同數(shù)位都對齊了，但是計(jì)算時有問題，有1位同學(xué)沒有將相同計(jì)數(shù)單位的數(shù)相加，而是個位和個位上的數(shù)相加，小數(shù)部分末位和末位相加，也就是1.45百分位上的5和5.9十分位上的9相加。由于小數(shù)的意義比較抽象，學(xué)生對于小數(shù)部分?jǐn)?shù)位不同的小數(shù)加減法計(jì)算，在推導(dǎo)計(jì)算方法時還是有一定的困難?；谶@三種情況，筆者將算理探究部分分為三個層次：第一層次引導(dǎo)學(xué)生舉例驗(yàn)證說明為什么小數(shù)點(diǎn)要對齊；第二層次引導(dǎo)學(xué)生舉例驗(yàn)證說明不僅小數(shù)點(diǎn)要對齊，整數(shù)部分和小數(shù)部分的相同數(shù)位都要對齊；第三層次引導(dǎo)學(xué)生說明相同數(shù)位對齊后怎樣算的問題。通過這三個層次引導(dǎo)學(xué)生理解小數(shù)加法的算理。

二、問題要精煉

【教學(xué)片段一】

1.嘗試計(jì)算小數(shù)加法

（1）出示問題：小明和小麗一共要用多少元?（黑板上出示問題）

提問：這個問題其實(shí)就是解決什么問題呢？（買一個講義夾和一本筆記本一共要用多少元？）

【反思：學(xué)生提問有必要嗎】

學(xué)生在低年級的時候就開始學(xué)習(xí)整數(shù)加減法，學(xué)生能夠根據(jù)情境圖中的信息熟練地提出用加法或減法計(jì)算的問題。今天這節(jié)課只是將情境圖中的整數(shù)改成了小數(shù)，所以學(xué)生提出一步計(jì)算的加法或減法問題是完全沒問題的。因此，筆者直接出示問題：小明和小麗一共要用多少元？但是根據(jù)學(xué)生的經(jīng)驗(yàn)，他們提出的問題通常會是這樣的：買一個講義夾和一本筆記本要用多少元？而不太會用人名去替代物品。因此，為了和學(xué)生的經(jīng)驗(yàn)聯(lián)系起來，這里我追問學(xué)生：“小明和小麗一共要用多少元？”這個問題其實(shí)就是解決什么問題呢？計(jì)算教學(xué)需要問題的引領(lǐng)，但問題不在于多而在于精。

三、探究要到位

【教學(xué)片段二】

（2）第一層次：小數(shù)點(diǎn)對齊

出示學(xué)生錯例1：模仿整數(shù)加法，將末位對齊。

提問：這樣的算法你同意嗎？

思考：為什么小數(shù)點(diǎn)要對齊？你能結(jié)合生活經(jīng)驗(yàn)說說你的理由嗎？

生1：估算的角度，4元多加3元多至少得7元多，得數(shù)是5.09的算式肯定是錯的。

生2：4.75元是4元7角5分，3.4元是3元4角，4.75+3.4的豎式應(yīng)該把“元、角、分”的數(shù)分別對齊著寫，才便于相加。

【教學(xué)片段三】

（3）第二層次：相同數(shù)位對齊（計(jì)數(shù)單位相同的兩個數(shù)才能直接相加）。

出示學(xué)生錯例2：小數(shù)點(diǎn)對齊，整數(shù)部分相同數(shù)位對齊，小數(shù)部分相同數(shù)位沒對齊。

提問：這位同學(xué)做得很認(rèn)真，小數(shù)點(diǎn)對齊了，這回該可以了吧？

生1：相同數(shù)位沒有對齊，4.75中的5在百分位上，3.4中的4在十分位上，5和4的數(shù)位不同，不能直接相加，3.4中的4應(yīng)該和4.75中的7相加才對。

【反思：直觀操作有必要嗎】

基于小數(shù)概念的抽象性和學(xué)生偏重于形象思維這一特點(diǎn)，充分利用直觀模型，從算法運(yùn)算過渡到直觀模型的驗(yàn)證，再由直觀模型回到算法運(yùn)算，逐步豐富學(xué)生的數(shù)學(xué)體驗(yàn)與思維經(jīng)驗(yàn)，學(xué)生的思維經(jīng)驗(yàn)必須依賴于豐富而有效的數(shù)學(xué)活動。表面上學(xué)生只是在借助直觀模型進(jìn)行擺一擺、畫一畫的活動，但實(shí)際上在擺與畫的過程中，學(xué)生卻體驗(yàn)到了小數(shù)加減法計(jì)算所蘊(yùn)含的道理，也能讓學(xué)生在操作中積累描述和表達(dá)分析問題的經(jīng)驗(yàn)。為了幫助學(xué)生加深對小數(shù)加減法的理解，本節(jié)課可以為學(xué)生提供實(shí)物人民幣、面積模型格子圖、計(jì)數(shù)器三種數(shù)學(xué)模型。通過擺人民幣，讓學(xué)生利用真實(shí)情境理解算理，并以“分”為單位溝通小數(shù)加減法與整數(shù)加減法計(jì)算的聯(lián)系；通過畫格子圖，利用格子不同的大小，讓學(xué)生清楚地看到只有相同計(jì)數(shù)單位的個數(shù)才能直接相加減的道理；再利用計(jì)數(shù)器上形狀、大小相同的珠子，由于畫在了不同的數(shù)位上，因此所表示的計(jì)數(shù)單位也不同，讓學(xué)生直觀看到相同數(shù)位上的數(shù)字相加減的過程，從而建立與豎式的溝通，幫助學(xué)生理解小數(shù)加減法的算理。

四、交流要充分

【教學(xué)片段四】

2.鞏固練習(xí)（豎式計(jì)算）

8+4.75= 4.75+2.65=

做好后同桌相互檢查，有問題的提出來。

集體交流：第1題有沒有問題，第2題有沒有問題？

討論：得數(shù)末位是0是否需要化簡？

【教學(xué)片段五】

3.探究小數(shù)減法

談話：學(xué)會了小數(shù)加法，想不想挑戰(zhàn)下小數(shù)的減法呢？

出示問題：小芳比小明少用多少元？

提問：誰來說說這個問題其實(shí)就是解決什么問題呢？

學(xué)生嘗試計(jì)算，同桌說說你是怎么算的、怎么想的？

【反思：同桌交流有必要嗎】

片段四通過同桌之間的檢查，學(xué)生發(fā)現(xiàn)兩種答案的不同點(diǎn)，引發(fā)矛盾沖突，使學(xué)生主動質(zhì)疑，在交流的過程中自己發(fā)現(xiàn)問題，尋找解決的辦法。抓住課堂生成的問題，點(diǎn)撥學(xué)生存在的主要問題，讓課堂更高效。片段五學(xué)生已有將整數(shù)加法的算法遷移到整數(shù)減法的算法中去的經(jīng)驗(yàn)，將整數(shù)加法的算法遷移到小數(shù)加法的算法中去的經(jīng)驗(yàn)，因此，學(xué)生將小數(shù)加法的算法遷移到小數(shù)減法的算法中去是沒問題的。一方面，沒有像探究小數(shù)加法的算法一樣再重復(fù)一遍類似的活動，可以減少學(xué)生的無趣感；另一方面，學(xué)生通過同桌合作交流自主探究出小數(shù)減法的計(jì)算方法，可以讓學(xué)生體驗(yàn)到成功的樂趣，激發(fā)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，增強(qiáng)學(xué)好數(shù)學(xué)的信心。

五、溝通要恰當(dāng)

【教學(xué)片段六】

（4）第三層次：相同數(shù)位對齊（計(jì)數(shù)單位相同的兩個數(shù)才能直接相加）。

出示學(xué)生錯例2：小數(shù)點(diǎn)對齊，整數(shù)部分相同數(shù)位對齊，小數(shù)部分相同數(shù)位沒對齊。

提問：這位同學(xué)做得很認(rèn)真，小數(shù)點(diǎn)對齊了，這回該可以了吧？

生1：相同數(shù)位沒有對齊，4.75中的5在百分位上，3.4中的4在十分位上，5和4的數(shù)位不同，不能直接相加，3.4中的4應(yīng)該和4.75中的7相加才對。

生2：假設(shè)把小數(shù)點(diǎn)隱藏起來，可以把4.75 想成475，3.4想成340，475的5應(yīng)該和340的0對齊。

【教學(xué)片段七】

提問：同學(xué)們通過自己的探索學(xué)會了小數(shù)加、減法的計(jì)算方法。你能說一說小數(shù)加減法和整數(shù)加減法在計(jì)算時有什么相同的地方嗎？計(jì)算小數(shù)加減法時要注意什么？

引導(dǎo)歸納：都要把相同數(shù)位對齊、從低位算起，其實(shí)小數(shù)加減法小數(shù)點(diǎn)對齊、整數(shù)加減法末位對齊，都是為了確保相同數(shù)位對齊。

【反思：溝通聯(lián)系有必要嗎】

在掌握小數(shù)加減法算法的基礎(chǔ)上，組織學(xué)生交流、總結(jié)，有利于將經(jīng)驗(yàn)提煉、歸納到比較容易操作的層次上，有利于培養(yǎng)學(xué)生初步的抽象、概括能力，提升對小數(shù)加、減法計(jì)算方法的認(rèn)識水平。同時，通過讓學(xué)生思考整數(shù)加減法和小數(shù)加減法之間的聯(lián)系，為什么整數(shù)加減法要末位對齊，小數(shù)加減法要小數(shù)點(diǎn)對齊？引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合之前探究小數(shù)加減法算法時的經(jīng)驗(yàn)，自主探究出來因?yàn)橹挥杏?jì)數(shù)單位相同的兩個數(shù)才能直接相加減，所以計(jì)算時要相同數(shù)位對齊，而整數(shù)加減法末位對齊、小數(shù)加減法小數(shù)點(diǎn)對齊后，就能保證相同數(shù)位對齊，將兩者的算法勾連起來，更利于學(xué)生理解小數(shù)加減法的算理。

學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是不斷探究、不斷提高思維能力的過程，對“算理”的理解與表述，除了作用于具體計(jì)算“算法”的形成與提升，更是學(xué)生提升數(shù)學(xué)思維方式的有效平臺。在教學(xué)過程中，教師應(yīng)重視學(xué)生在多種方式的發(fā)現(xiàn)、探究與歸納，使學(xué)生知其然，更知其所以然。