江蘇省太倉市實驗中學(xué) 江美紅

數(shù)學(xué)是一門美妙的學(xué)科，在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)過程中，教師如何展現(xiàn)數(shù)學(xué)美，使學(xué)生能夠感受和欣賞數(shù)學(xué)美，值得我們一線教師深思。筆者在一次教學(xué)研討活動中執(zhí)教一節(jié)“分式方程”新授課，本節(jié)課著眼于把數(shù)學(xué)的美學(xué)價值和美育功能落實到數(shù)學(xué)課堂上，以此提高學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)造能力。

一、情況分析

1.學(xué)情分析

此教學(xué)設(shè)計面對的學(xué)生是本校初二學(xué)生，我校學(xué)生的基礎(chǔ)知識非常扎實，數(shù)學(xué)能力較好，學(xué)習(xí)積極性較高，具有一定探索解決問題的能力。

2.教材分析

（1）教材地位：《分式方程》是蘇科版第八章《分式》的主要內(nèi)容之一，是分式的基本概念、基本性質(zhì)、運算之后的重點內(nèi)容，也是為后面列分式方程解應(yīng)用題打下基礎(chǔ)。

（2）教學(xué)目標(biāo)：

①知識與技能：理解分式方程的概念、解法、增根的概念及增根產(chǎn)生的原因。

②過程與方法：通過學(xué)生親歷知識探索、形成過程，讓學(xué)生感受方程是描述現(xiàn)實世界的模型，同時發(fā)展學(xué)生能力。

③情感、態(tài)度與價值觀：學(xué)生在數(shù)學(xué)活動中運用知識解決問題，通過合作學(xué)習(xí)增進同學(xué)之間的合作，通過體驗成功，樹立學(xué)好數(shù)學(xué)的自信心。

（3）教學(xué)重點：探索解分式方程的基本思路和分式方程的解法。

（4）教學(xué)難點：理解分式方程可能產(chǎn)生增根的原因。

二、教學(xué)簡錄

1.創(chuàng)設(shè)情境，引入課題

師：同學(xué)們，最近天氣時陰時雨，大家到校非常辛苦，老師想知道大家早上是怎么到校的？（生答）

師：你們知道老師是怎么到校的嗎？（生答）

師：對。老師平時是乘車到校，但今天由于某種原因，老師步行到校。老師的家到學(xué)校有2km的路程，老師每天早晨都是7：00從家里出發(fā)，今天步行到校比平時乘汽車到校晚了18分鐘，通過老師估測，汽車速度是步行速度的10倍，同學(xué)們，你能幫老師求出步行的速度嗎？（思考片刻）

生：我是用方程思想解決的。設(shè)步行的速度為xkm/h，則汽車的速度為10xkm/h，根據(jù)步行到校比平時乘汽車到校晚了18分鐘，可列出方程：

【設(shè)計意圖：本節(jié)課從實際問題開始，選取簡單的生活實例，讓學(xué)生從實際問題數(shù)量關(guān)系的探索中，發(fā)現(xiàn)一類未知數(shù)出現(xiàn)在分母中的新方程——分式方程。學(xué)生在欣賞這些問題情境的同時，一方面從中可提煉出數(shù)學(xué)問題，說明引入分式方程的必要性，另一方面可激發(fā)學(xué)習(xí)興致，提升學(xué)習(xí)動力】

2.類比歸納，探究新知

師：我們以前學(xué)過哪些方程？

生：學(xué)過一元一次方程、二元一次方程。

師：請在黑板上列舉一元一次方程和二元一次方程。

生：分母中出現(xiàn)了字母，也就是方程的左邊是一個分式，所以它不是整式方程，應(yīng)該叫分式方程。

師：怎樣的方程叫分式方程？

生：分母中含有未知數(shù)的方程叫作分式方程。

師：你能再舉些分式方程的例子嗎？（生答）

師：任意寫出幾個方程，與同桌合作，找出其中的分式方程。

【設(shè)計意圖：引導(dǎo)學(xué)生分析所列方程的特征，類比一元一次方程、二元一次方程，找出它們的區(qū)別與聯(lián)系，建立分式方程的概念。學(xué)生通過嘗試、辨析、修正、總結(jié)，對分式方程概念的體會更深刻】

3.合作交流，類比探究

師：老師今天步行的速度是多少呢？

生：左邊利用通分化為同分母分式，再利用分式減法把原方程化為：利用分式的性質(zhì)得：10x=60，解得x=6。

生：先去分母，方程兩邊同時乘以60x得：120-12=18x，解得x=6。

師：你是怎樣想到去分母的？

生：去分母可把原方程化為一元一次方程。

師：剛才三種解法有什么共同點嗎？

生：都是把分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程。

師：解出的x的值，是原方程的解嗎？（生答）

師：對比上面三種方法，哪種更簡便？（生答）

師：請同學(xué)們歸納解法。

生：去分母將分式方程轉(zhuǎn)化為一元一次方程。

【設(shè)計意圖：給學(xué)生充分的探索與交流時間，讓學(xué)生動手操作、自主探索和合作交流，學(xué)生欣賞分式方程的不同解法，發(fā)展創(chuàng)造性思維能力，對知識的理解會更加深刻】

4.層層深入，揭示區(qū)別

生：我解出方程的解是x=3，但發(fā)現(xiàn)當(dāng)x=3時，原方程的分母為0，無意義了。所以原方程應(yīng)該是無解的。

生：x=3是去分母后整式方程的解，但它卻不是原分式方程的解。

師：對！這樣的解叫作原方程的增根。

師：為什么會產(chǎn)生增根呢？解方程時哪個步驟出錯了？（思考片刻后）

生：去分母步驟出錯，方程兩邊同乘以x=3，而x=3使得x=3的值為0，即方程兩邊同時乘以0，所以x=3適合化簡后的整式方程，而不適合原方程。

師：對！方程兩邊同時乘以0，擴大了原方程解的范圍，因此會產(chǎn)生增根。所以，解分式方程時，要注意些什么呢？

生：把解得的x的值代入分母的最簡公分母中進行檢驗。

師：對！如果最簡公分母的值為0，那么解是原方程的增根，原方程無解；如果最簡公分母的值不為0，那么解就是原方程的根。

【設(shè)計意圖：這是本節(jié)課的重要環(huán)節(jié)，增根是重點，也是難點，在教學(xué)時給足學(xué)生思考的時間，讓學(xué)生體會增根產(chǎn)生的原因以及解分式方程檢驗的必要性】

三、教學(xué)反思

1.欣賞數(shù)學(xué)知識奇異之美

數(shù)學(xué)中的奇異之美主要是指結(jié)果新穎獨特、出人意料，引起學(xué)生強烈的驚詫。按學(xué)生以往的學(xué)習(xí)習(xí)慣，學(xué)生很難理解解出的方程的解居然不是原分式方程的解，這個結(jié)果是學(xué)生意料之外的，增根對學(xué)生來說更是新奇的知識，這種數(shù)學(xué)知識的奇異性很容易激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)造欲望，促使學(xué)生進一步思考產(chǎn)生增根的原因以及理解解分式方程的步驟中檢驗的必要性。探究新知識、新方法、新規(guī)律，總能讓學(xué)生感到奇異的美感，產(chǎn)生驚奇的快感，從而激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，令學(xué)生興奮，受到吸引。

2.欣賞同伴創(chuàng)造之美

在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，教師要充分相信學(xué)生、依靠學(xué)生。案例中，教師不直接給出結(jié)果，而是給學(xué)生一個想象的空間。學(xué)生類比聯(lián)想一元一次方程的解法，嘗試去分母將方程轉(zhuǎn)化為整式方程。但由于方程的特殊性，學(xué)生想到利用分式的基本性質(zhì)轉(zhuǎn)化、通過分式的通分或直接去分母等方法，通過多種方法的交流，拓寬了學(xué)生的思維。對于分式方程增根問題，教師更是大膽放手，把時間讓給學(xué)生，通過小組合作討論等形式進行合作學(xué)習(xí)，從而悟出產(chǎn)生增根的原因，突破難點。以探究任務(wù)引導(dǎo)學(xué)生自學(xué)自悟，提供給學(xué)生自主合作探究的舞臺，在交流中增加學(xué)生之間的信任，欣賞同伴意想不到的精彩。