高中初等函數(shù)學習難點思考

程卓然

初等函數(shù)是高中階段數(shù)學學習中的重要內(nèi)容，也是同學們在解題過程中最常使用到的一類函數(shù).它包括常函數(shù)、冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)、反三角函數(shù)、對數(shù)函數(shù)，以及這些函數(shù)與常數(shù)經(jīng)過有限次的四則運算所得到的新的復合函數(shù)，在分析學領域中有著十分廣泛的應用.作為高考數(shù)學重點考查的知識點之一，學好初等函數(shù)知識的重要性不言而喻.為此，本文對高中初等函數(shù)學習中的一些難點問題進行了詳細分析，并結(jié)合自身學習體會，給出了相應的學習對策，以期能夠有效幫助同學們切實提高自身的數(shù)學學習成績.

一、初等函數(shù)的概念定義

根據(jù)我們所接觸到的高中數(shù)學不同版本的教材及教輔書籍中的相關(guān)內(nèi)容，關(guān)于初等函數(shù)概念的定義目前主要有以下三種闡述：

（1）初等函數(shù)指由基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次的四則運算及復合所得到的函數(shù)；

（2）初等函數(shù)指由基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次的四則運算及復合，并且是用一個新的解析式所表達出來的函數(shù)；

（3）初等函數(shù)指由基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次的四則運算及復合，并且能夠用一個新的解析式所表達出來的函數(shù).

由以上定義來看，初等函數(shù)的滿足條件之一是基本初等函數(shù)要經(jīng)過有限次數(shù)的運算和復合，其中定義（1）并沒有對初等函數(shù)的形式作出要求，而定義（2）、定義（3）則是對初等函數(shù)表達形式的要求程度不同，定義（2）要求必須用解析式表達，而定義（3）則是說可用解析式表達，可見兩個定義并非是等價的.在我們實際學習過程中，經(jīng)常會遇到一些函數(shù)的初等性不容易判定的情況，繼而在解題時產(chǎn)生困惑.因此，要想徹底掌握初等函數(shù)的性質(zhì)和具體應用，我認為，理清教材中關(guān)于初等函數(shù)的定義是關(guān)鍵，只有這樣才能靈活運用初等函數(shù)知識來進行解題.

二、高中數(shù)學初等函數(shù)學習中的難點分析與對

策建議

1.基本概念意義混淆不清.

在高中階段的數(shù)學學習中，函數(shù)f（x）中的自變量和方程式中的未知數(shù)均用x表達，不少同學在學習這部分內(nèi)容時常常容易將這兩個概念混淆不清，解題時感到無從下手.究其原因主要是對于“變量”這一概念的理解還停留在初中時期的“未知數(shù)”階段，所以在解題時仍然習慣于用等量代換的方式來解決問題.針對這一問題，在學習初等函數(shù)這部分知識時，可以有意識地將函數(shù)與方程實例進行對比，在老師的幫助下理清自變量與未知數(shù)這兩個概念之間的區(qū)別.

2.忽視定義域.

許多同學在解題時常常只關(guān)注解析式本身，卻忽略了定義域的重要性，導致求出錯誤的結(jié)果.這一問題出現(xiàn)的原因一方面與平時缺乏嚴謹?shù)慕忸}習慣有關(guān)，另一方面則是由于對函數(shù)基本概念定義的理解不透徹.事實上，在初中階段的函數(shù)學習中，就已經(jīng)提出了函數(shù)的三要素，分別為定義域、對應法則和值域.因此，高中階段在重視初等函數(shù)的解析式同時，還應充分考慮函數(shù)本身的定義域問題，養(yǎng)成“定義域優(yōu)先”的良好解題意識.

3.將函數(shù)圖像的對稱性與對稱變換混為一談.

例：（1）若對于任意x∈R，有f（x+5）=f（9-x），則求函數(shù)f（x）圖像的對稱軸.

（2）求函數(shù)y=f（5+x）與函數(shù)y=f（9-x）的圖像的對稱軸.

解：（1）根據(jù)題目中給出的條件可知，函數(shù)f（x）圖像本身關(guān)于某一條對稱軸對稱，且該對稱軸上所有點的橫坐標必然為點（x+5，0）和（9-x，0）的重點，所以不難求出對稱軸為：x=（x+5）+（9-x）2=7.

（2）不難看出，函數(shù)y=f（5+x）是函數(shù)y=f（x）向左平移五個單位得到的，而函數(shù)y=f（9-x）則是由函數(shù)y=f（-x）向右平移九個單位得到的，所以這兩個函數(shù)圖像的對稱軸為：x=9-52=2.

在解該題時，同學們經(jīng)常會分不清（1）是函數(shù)自身關(guān)于某一個軸對稱，而（2）是兩個函數(shù)關(guān)于一條軸對稱，所以在解題時很容易混淆兩種解題方法，盲目答題，求出錯誤的答案.為此，在學習這部分內(nèi)容時一定要從根本上理解透徹函數(shù)圖像的性質(zhì)和變換特點，然后再進行解題.

綜上所述，初等函數(shù)知識在我們高中數(shù)學學習中占有十分重要的地位，需要我們高度重視.一方面，要認真解讀課本上關(guān)于初等函數(shù)形式的表述要求，準確判定函數(shù)的初等性，理清變量與未知數(shù)概念定義的區(qū)別.另一方面，還應注重培養(yǎng)自己形成良好的解題習慣和嚴謹?shù)倪壿嬎伎寄芰Γ喂陶莆粘醯群瘮?shù)的解題技巧，不斷提高自身的數(shù)學綜合能力水平.