刁海濤

（南京財(cái)經(jīng)大學(xué)，江蘇 南京 210023）

國內(nèi)外許多學(xué)者運(yùn)用不同方法對互聯(lián)網(wǎng)金融產(chǎn)品的收益率進(jìn)行了研究。Lance Baehmeier和Qi Li用美國利率期限結(jié)構(gòu)長期債券歷史數(shù)據(jù)來預(yù)測短期的收益率，并在模型中加入半?yún)?shù)進(jìn)行修正。通過對兩組數(shù)據(jù)的驗(yàn)證得到了較好的效果，這對利用非線性函數(shù)研究利率預(yù)測具有巨大的參考意義。劉冬青通過介紹余額寶的主體框架以及2013年余額寶的收益和費(fèi)用情況，建立線性回歸模型，定量分析了余額寶的收益。研究發(fā)現(xiàn)：可以懷疑在高額利益的背后余額寶公司可能存在前期的貼息問題以吸引客戶。蔣從商業(yè)銀行協(xié)議存款利率對余額寶收益的線性回歸研究了余額寶收益的影響因素，結(jié)果顯示余額寶收益受到上一期SHIBAO和上一期每七日年化收益率的影響。張馨予從外部監(jiān)管、內(nèi)部環(huán)境等方面提出相應(yīng)措施，研究了如何降低余額寶在發(fā)展中的風(fēng)險(xiǎn)，完善服務(wù)體系，爭取維持云商寶用戶收益的相對穩(wěn)定性。余額寶和云商寶都是阿里巴巴入股的天弘基金公司旗下針對不同目標(biāo)群體的產(chǎn)品，同屬于貨幣性基金，安全性強(qiáng)、流動(dòng)性強(qiáng)。余額寶主要針對個(gè)人，可在支付寶中直接交易，現(xiàn)已廣泛流傳；而云商寶針對小企業(yè)或經(jīng)營者，目前客戶群體相對較少。本文利用非參數(shù)核密度估計(jì)方法，根據(jù)天天基金網(wǎng)統(tǒng)計(jì)的兩款基金每七日年化收益率數(shù)據(jù)，對余額寶和云商寶的收益進(jìn)行了對比分析，為更好地認(rèn)識(shí)并運(yùn)用互聯(lián)網(wǎng)金融產(chǎn)品提供參考。

一、非參數(shù)估計(jì)方法—核密度估計(jì)方法

當(dāng)需要研究某類現(xiàn)象的規(guī)律時(shí)，學(xué)者通常的做法是利用從總體中隨機(jī)抽取的樣本數(shù)據(jù)去估計(jì)總體的概率密度函數(shù)，進(jìn)而對特定隨機(jī)變量進(jìn)行研究分析。密度函數(shù)的估計(jì)方法分為兩種：參數(shù)估計(jì)和非參數(shù)估計(jì)。參數(shù)估計(jì)的核心在于預(yù)先假定總體服從于某個(gè)己知的、只含有少數(shù)未知參數(shù)的數(shù)學(xué)分布，然后利用樣本數(shù)據(jù)去估計(jì)擬合這些參數(shù)，一般假設(shè)數(shù)據(jù)服從“中間大，兩頭小，左右對稱”的“正態(tài)類似型”分布，從而得到概率密度的估計(jì)。而對于時(shí)間序列的收益率來說，事先假設(shè)正態(tài)性可能會(huì)產(chǎn)生錯(cuò)誤的結(jié)論。非參數(shù)估計(jì)的基本思想是不預(yù)先設(shè)定總體分布，用從總體中抽取的樣本去估計(jì)總體的概率密度函數(shù)。下面介紹非參數(shù)密度估計(jì)的主要方法。直方圖是最原始的非參數(shù)方法，即將數(shù)據(jù)分為若干組，然后計(jì)算數(shù)據(jù)落入每組的頻率。用直方圖估計(jì)密度函數(shù)的缺點(diǎn)是：即使隨機(jī)變量是連續(xù)的，直方圖也始終是不連續(xù)的階梯函數(shù)。原因在于直方圖使用示性函數(shù)作為“權(quán)重函數(shù)”，且它的各組之間不允許出現(xiàn)交疊。而核密度估計(jì)法可得到密度函數(shù)的光滑估計(jì)。

核密度估計(jì)法是應(yīng)用最廣泛、最普遍的密度估計(jì)方法，1956 年由 Rosenblatt和 Parzen（1962）對直方圖推廣而提出，其步驟為：

1.選取核函數(shù)

核密度估計(jì)法使用更一般的權(quán)重函數(shù)，允許出現(xiàn)組間交疊，核密度估計(jì)量為：

其中，函數(shù)K（·）稱之為核函數(shù)，h稱為帶寬。滿足以下性質(zhì)：

①連續(xù)且關(guān)于原點(diǎn)對稱；

③或者(a)存在z0＞0當(dāng)時(shí)，K(z)=0，或者(b)當(dāng)

條件②要求核函數(shù)的曲線下面積為1（將核函數(shù)標(biāo)準(zhǔn)化），并滿足一些有界條件。條件③下(a)比(b)更強(qiáng)，在實(shí)踐中常常采用條件(a)，即如果超出某個(gè)鄰域范圍[-z0,z0]，權(quán)重變?yōu)?，常將[-z0,z0]標(biāo)準(zhǔn)化為[-1,1]。條件④也是一個(gè)有界條件。

常見的核函數(shù)參見下表：它們的共同特點(diǎn)是離原點(diǎn)越近，則核函數(shù)數(shù)值越大，并在原點(diǎn)處達(dá)到最大值，即越近的點(diǎn)給予的權(quán)重越大，其中最為流行的核函數(shù)是二次核與高斯核。

表1常用的的核函數(shù)

2.確定最優(yōu)帶寬

相對于核函數(shù)，帶寬h的選擇對核密度估計(jì)的精度影響更大。帶寬越大，則x0附近的鄰域也越大；核密度估計(jì)量越光滑，即偏差增大，估計(jì)量方差減小，故稱帶寬h為光滑參數(shù)。但h過大會(huì)造成過度擬合，掩蓋數(shù)據(jù)的真實(shí)波動(dòng)，h過小會(huì)造成欠擬合，得到的密度函數(shù)不夠光滑。通常選取的最優(yōu)帶寬需滿足均方誤差（MSE）最小。

則最小均方誤差可以改寫成：

然而均方誤差依賴于每一個(gè)觀測值，若希望對x所有取值的均方誤差進(jìn)行整體度量，則可以最小化積分均方誤差（IMSE）

為求解 minIMSE(h)，Silverman（1986）證明最優(yōu)帶寬為：

從表達(dá)式可以看出，最優(yōu)帶寬h*依賴于δ從而依賴于核函數(shù)，還依賴于待估密度函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)f＂(x)。對于不同的核函數(shù)分別使用不同的δ。

若樣本來自于正態(tài)總體，則可以計(jì)算出：h*=1.3643δN-0..2s，其中s為樣本標(biāo)準(zhǔn)差。為了防止樣本標(biāo)準(zhǔn)差受極端值的影響，常使用Silverman嵌入估計(jì)，可得h*=1.3643δN-0.2min(s,ipr/1.349)。其中，ipr為樣本的四分位距。

在實(shí)際操作中，即使整體不服從正態(tài)分布，也可以使用嵌入估計(jì)來進(jìn)行帶寬的選擇。但為了保險(xiǎn)起見，可以比較兩倍嵌入估計(jì)與一半嵌入估計(jì)的效果。

3.估計(jì)核密度

以余額寶的七日年化收益率為例，進(jìn)行上述兩步驟。

（1）取相同帶寬 h*=1.3643δN-0.2min(s,ipr/1.349)，核函數(shù)分別選用均勻核、四次核、正態(tài)核與二次核函數(shù)，結(jié)果如圖1所示：當(dāng)帶寬相同時(shí)，密度估計(jì)函數(shù)大致相同，說明核函數(shù)的選取對密度估計(jì)影響不大。且當(dāng)選用均勻核時(shí)，相當(dāng)于每個(gè)點(diǎn)的權(quán)重相同，擬合效果較差。

圖1不同核下余額寶七日年化收益率的密度函數(shù)估計(jì)

（2）核函數(shù)均選取Epan核，帶寬分別取

h1=h*×1.7188，h2=h*×0.7764，h3=h*×2.0362，h4=h*×1.3510由圖2可得：當(dāng)選取相同的核函數(shù)、不同的帶寬時(shí)，密度函數(shù)的估計(jì)大不同，密度函數(shù)估計(jì)圖可能從單峰變?yōu)殡p峰，說明帶寬對密度函數(shù)的估計(jì)影響較大。

圖2余額寶七日年化收益率(核函數(shù)相同，窗寬不同)

二、余額寶和云商寶七日年化收益率密度的核密度估計(jì)和對比分析

（一）數(shù)據(jù)說明

本文選取的數(shù)據(jù)是由天天基金網(wǎng)統(tǒng)計(jì)而得。余額寶和云商寶分別于2013年和2015年產(chǎn)生，在進(jìn)行對比分析時(shí)，因同屬于貨幣型基金，在節(jié)假日和雙休日對七日年化收益計(jì)算方法相同。本文統(tǒng)一選取2015年10月7日截止到2017年9月30日的每七日年化收益率的數(shù)據(jù)進(jìn)行研究。

（二）檢驗(yàn)

首先對原始數(shù)據(jù)做初始統(tǒng)計(jì)，如表2所示。由表2可得，云商寶七日年化收益率均值稍高于余額寶。

1.平穩(wěn)性檢驗(yàn)

圖3顯示：余額寶七日年化收益率在2015-2016年度有所下降，在2016-2017年度增幅較大；云商寶七日年化收益率在2015-2016年度波動(dòng)較大，在2016-2017年度增幅較大，末期波動(dòng)較小，趨于穩(wěn)定，且后期云商寶七日年化收益率均值超過余額寶。

圖3 余額寶、云商寶七日年化收益率的時(shí)間序列圖

首先，對原始時(shí)間序列數(shù)據(jù)進(jìn)行檢驗(yàn)得到每七日年化收益率的T統(tǒng)計(jì)量為1.972，P值為0.0491，在顯著性水平為0.05的情況下不是很顯著，所以進(jìn)行一階差分后再檢驗(yàn)，T統(tǒng)計(jì)量為6.45，P值為0.0000，在顯著性水平為0.05的情況下結(jié)果顯著。其次，云商寶數(shù)據(jù)同樣在一階差分后檢驗(yàn)結(jié)果顯著。所以拒絕原假設(shè)，余額寶和云商寶每七日年化收益率為一階差分后的平穩(wěn)序列。

2.正態(tài)性檢驗(yàn)

對余額寶和云商寶的收益率分別做Shapiro-Wilk檢驗(yàn)并畫QQ圖，結(jié)果如圖4：

圖4余額寶和云商寶收益率的QQ圖

由圖4結(jié)果可得：余額寶和云商寶的七日年化收益率的統(tǒng)計(jì)量均較低，且Shapiro-Wilk檢驗(yàn)的值均小于0.05，不能接受原假設(shè)，故余額寶和云商寶的七日年化收益率都不服從正態(tài)分布，說明在做研究前對其進(jìn)行非參數(shù)密度估計(jì)是必要的。

表2余額寶和云商寶七日年化收益率分位數(shù)

表3 ADF檢驗(yàn)結(jié)果

表4Shapiro-Wilk檢驗(yàn)

（三）核密度估計(jì)及分析

通過R軟件操作，得到2015.10-2017.10內(nèi)余額寶和云商寶的收益率的核密度估計(jì)結(jié)果，如圖5所示：1）左圖顯示余額寶在2015.10-2016.9的七日年化收益率普遍高于2016.10-2017.9的收益率，峰值分別分布在0.04和0.025附近；2）右圖顯示云商寶在2016.10-2017.9的收益普遍高于2015.10-2016.9的收益，峰值分別分布在0.042和0.025附近；3）云商寶在2016-2017年度的收益率的峰值在其密度曲線的尾部出現(xiàn)，說明云商寶日益成熟，收益率不斷增大。

圖5余額寶和云商寶收益密度曲線的核密度估計(jì)圖

圖6不同年度余額寶和云商寶收益率的核密度估計(jì)圖

由圖6中2015-2016圖可得：（1）2015-2016年度內(nèi)，云商寶七日年化收益率的峰值稍低于余額寶收益率的峰值；（2）余額寶收益率的密度曲線分布較集中，主要在0.024-0.03之間，云商寶的收益率密度曲線分布相對較分散，集中在0.02-0.03之間；（3）云商寶的收益率的密度曲線的核密度估計(jì)在尾部加厚，說明其收益在漸漸增加。在2016-2017圖中：2016-2017年度內(nèi)，兩收益率均出現(xiàn)雙峰形態(tài)，云商寶收益率的峰值普遍稍高于余額寶收益率的峰值。

三、結(jié)論與分析

前期余額寶七日年化收益率高于云商寶七日年化收益率，但后期云商寶七日年化收益率增大，高于余額寶。

余額寶和云商寶兩個(gè)產(chǎn)品都是阿里巴巴旗下與天弘基金合作的金融產(chǎn)品，銷售服務(wù)費(fèi)均為0.25%/年，同支持支付寶余額轉(zhuǎn)入，都無需線下開戶，支持線上一鍵式操作，均有自動(dòng)轉(zhuǎn)入功能，可實(shí)現(xiàn)預(yù)留資金外的自動(dòng)理財(cái)。

余額寶是支付寶中內(nèi)置的一個(gè)投資理財(cái)工具，目前七天年化在3.1%左右，是目前最簡便快捷的理財(cái)方式，但余額寶對轉(zhuǎn)入資金限額10萬元，即在余額寶里最多支持投資10萬元，年利息3千-4千元左右。此外，余額寶管理費(fèi)為0.3%/年，托管費(fèi)為0.08%/年,且當(dāng)余額提現(xiàn)超過2萬時(shí)，收取0.1%手續(xù)費(fèi)

云商寶是網(wǎng)商銀行軟件內(nèi)置的理財(cái)工具，功能類同于支付寶中的余額寶。云商寶目前七日年利率大約在3.2%左右，稍高于余額寶，但云商寶支持1000萬大額轉(zhuǎn)入，100萬實(shí)時(shí)轉(zhuǎn)出。與余額寶相比，同樣是實(shí)時(shí)轉(zhuǎn)出到賬，利率略高，不受額度限制，且云商寶管理費(fèi)0.25%/年，托管費(fèi)0.05%/年，低于余額寶。

綜上，云商寶在管理費(fèi)用和年化收益方面更勝一籌，而余額寶更為靈活便捷，消費(fèi)者可根據(jù)自身?xiàng)l件進(jìn)行選擇。