云南省宜良縣第二中學(xué) 李春紅
小學(xué)學(xué)習(xí)正比例時(shí),通過(guò)測(cè)量的方式獲得“在同一時(shí)刻,同一地點(diǎn),物長(zhǎng)與影長(zhǎng)成正比”.我們把這一事實(shí)整理為圖1.圖1中的物長(zhǎng)A1C1和物長(zhǎng)A2C2所在的直線垂直于地平線l,線段C1B1和C2B2分別為物長(zhǎng)A1C1和物長(zhǎng)A2C2的影長(zhǎng),A1B1和A2B2為物長(zhǎng)頂端與影長(zhǎng)末端的連線段.
我們把圖1繞點(diǎn)B2旋轉(zhuǎn)到使A2B2與地平線重合再向右平移得到圖2.在圖2中,把Rt△A1B1C1平移到使點(diǎn)B1和點(diǎn)B2重合時(shí)得到圖3,在圖3中用一組平行于A2C2的光線照射物長(zhǎng)B1C1和物長(zhǎng)B2C2,此時(shí),Rt△A1B1C1和Rt△A2B2C2的對(duì)應(yīng)角是否相等?物長(zhǎng)與影長(zhǎng)是否成正比?由平移和旋轉(zhuǎn)是全等變換可知Rt△A1B1C1和Rt△A2B2C2的對(duì)應(yīng)角相等,物長(zhǎng)與影長(zhǎng)成正比.同樣,在圖2中,如果把Rt△A1B1C1平移到使點(diǎn)A1和點(diǎn)A2重合時(shí)得到圖4,在圖4中用一組平行于B2C2的光線照射物長(zhǎng)A1C1和物長(zhǎng)A2C2時(shí),由平移和旋轉(zhuǎn)是全等變換可知這兩個(gè)三角形的對(duì)應(yīng)角相等,物長(zhǎng)與影長(zhǎng)成正比.
如圖5中,當(dāng)物長(zhǎng)A1B1和物長(zhǎng)A2B2所在的直線不垂直于地平線l,用一平行光線照射物長(zhǎng)A1B1和物長(zhǎng)A2B2,由物長(zhǎng)、影長(zhǎng)和物長(zhǎng)頂端與影子末端的連線段組成兩個(gè)銳角三角形,它們分別是△A1B1C1和△A2B2C2.由A1C1∥A2C2和公共角相等可得這兩個(gè)銳角三角形的角對(duì)應(yīng)相等.過(guò)點(diǎn)B2作B2D2⊥A2C2,垂足為D2,交A1C1于點(diǎn)D1,這條垂線把圖5中的△A1B1C1和△A2B2C2都分成圖兩部份,一部份由Rt△B1C1D1和Rt△B2C2D2所組成,一部份由Rt△B1A1D1和Rt△B2A2D2所組成,可以看出圖5被這條垂線分割開(kāi)的每一部份都是圖3和圖4中的基本圖形,從而得到m,C2D2=mC1D1,D2A2=mD1A1.
總結(jié):平行于三角形一邊的直線截其它兩邊或兩邊的延長(zhǎng)線,所截得的三角形的三個(gè)角與原三角形的三個(gè)角對(duì)應(yīng)相等,所截得的三角形的三邊與原三角形的三邊對(duì)應(yīng)成比例(即所截得的三角形與原三角形相似).
第一方面:平行于三角形一邊的直線截其它兩邊或兩邊的延長(zhǎng)線,所截得的對(duì)應(yīng)線段成比例.此類(lèi)比例式中的線段與平行線上的線段無(wú)關(guān)。
第二方面:平行于三角形一邊的直線截其它兩邊或兩邊的延長(zhǎng)線,所截得的三角形與原三角形相似。