基本事實與公理*

☉內(nèi)江師范學院數(shù)學與信息科學學院 趙思林

☉內(nèi)江師范學院數(shù)學與信息科學學院 黃成世

一、基本事實、公理化思想與公理的含義

1.基本事實的含義

辭海對“基本”的解釋是：根本，根本的；對“事實”的解釋是：事情的真實情況.由此推之，基本事實是指基本的事實，或者說是指根本的事實.顯然，基本事實具有可感知性、真實性、基礎(chǔ)性等特點.基本事實的可感知性是指借助于人的眼、耳、手等感覺器官可以感知這個基本事實；基本事實的真實性表示可以驗證或證明；基本事實的基礎(chǔ)性是指能反映數(shù)學某個子系統(tǒng)最基本的規(guī)律或特點.數(shù)學基本事實是數(shù)學研究中獲得的相對獨立的程式化的思考模式［1］.把數(shù)學基本事實直接看成“思考模式”未必會被學界普遍接受.研究者認為，數(shù)學基本事實是指能反映數(shù)學某個子系統(tǒng)最基本的規(guī)律或特點的事實，數(shù)學基本事實需得到數(shù)學界的普遍認可.

2.公理化思想方法的含義

公理化思想方法（又稱公理化方法）最早出現(xiàn)在歐幾里得的《幾何原本》.歐幾里得選取了幾個不加定義的原始概念（或稱基本概念）和一組不需證明的幾何命題作為公理（或公設(shè)），使它們成為全部歐幾里得幾何的出發(fā)點和邏輯推理的前提，然后應(yīng)用亞里士多德提出的三段論推理，推演出一系列幾何定理，從而把關(guān)于幾何的知識整理為一個（比較）嚴謹?shù)膸缀螌W理論體系，這就形成了《幾何原本》.公理系統(tǒng)中的基本概念和公理（或公設(shè)），必須反映該學科中基本對象最簡單、最本質(zhì)的內(nèi)部關(guān)系，它并非是人們憑自己的主觀意志或愿望而隨意創(chuàng)造的.在歷史上，公理化思想方法的發(fā)展經(jīng)過了4個時期：一是歐幾里得的直觀性公理化時期；二是非歐幾何的思辨性公理化時期；三是希爾伯特的形式主義公理化時期；四是法國的布爾巴基的結(jié)構(gòu)主義公理化時期［2］.中學幾何包括平面幾何和立體幾何，屬于直觀性公理化時期的歐幾里得幾何.中學幾何知識可以借助于人的眼、耳、手等感覺器官去感知并輔助學習，可以動手做幾何模型，但非歐幾何更多的是靠思辨、想象、推理等方式去學習或理解.

3.公理的含義

很顯然，公理（或公設(shè)）是《幾何原本》最具有原創(chuàng)性的核心概念，也是公理化思想方法精髓的基本概念.辭海對“公理”的解釋是：“在一個系統(tǒng)中已為反復的實踐所證實而被認為不需要證明的真理.”這里所說的真理是相對真理而非絕對真理.這個解釋適合于歐幾里得幾何，但對非歐幾何中的一些公理未必適合，例如，非歐幾何中的平行公理就沒法被“反復的實踐所證實”.公理一般需要數(shù)學中的一些基本概念來表達，而數(shù)學基本概念是理性思維的產(chǎn)物，因此，公理也是理性思維的產(chǎn)物.從嚴格意義上講，公理一般不能證明，它是不證自明的，它可以作為數(shù)學證明中的論據(jù).但考慮到中學生的認知水平，為了降低教學的難度，節(jié)省教學時間，在中學教材里把一些重要的但其證明的難度較大的定理也作為公理，即中學幾何的公理體系是擴大了的公理體系，也就是說，中學幾何的公理體系中的一些公理實質(zhì)上是定理，這些定理是可以證明的，但其證明的難度較大或較為麻煩.在中學，把一些難以證明的定理當作公理，體現(xiàn)了“教育數(shù)學”理念，從教學實踐來看是可行的、成功的.

二、基本事實是公理嗎？公理是基本事實嗎？

基本事實和公理是兩個不同概念，它們既有聯(lián)系又有區(qū)別.在《義務(wù)教育數(shù)學課程標準（2011年版）》［3］（以下簡稱《課標2011版》）的第31、32、33、37頁提出了要求學生掌握的關(guān)于“圖形與幾何”的基本事實共9個，如“基本事實：兩點之間線段最短”.［3］這9個基本事實在課改之前都叫作公理.《普通高中數(shù)學課程標準（2017年版）》［4］（以下簡稱《課標2017版》）也把課改之前的公理全改為基本事實.有意思的是，《課標2017版》在第28頁的腳注中指出“基本事實1-4也稱公理”，《課標2017版》顯然把“基本事實”和“公理”當成了同一個概念.既然“基本事實”和“公理”是同一概念，那么就沒有必要用4個字的“基本事實”去替換僅有2個字的“公理”.

1.幾何中的“點”是基本事實嗎？

幾何圖形一般可以看成“點”的集合.“點”是幾何中最基本的概念，“點”是基本事實嗎？著名數(shù)學家龐加萊說：“許多人都認為空間中的點的概念是人們熟知的，沒有必要給出什么定義.但是在我看來，像數(shù)學中的點那樣沒有長短、大小、厚薄之分的微妙概念，并不是世人想象的那樣直觀明了，而是需要作完整說明的東西.然而，我們并不打算在這里給‘點’下個定義，因為如果把定義按順序追序上去，就會到達不能給出定義的地步，到了那時就不得不停下定義了.那么，我們應(yīng)該在什么時候停下來呢？大體是到達我們的感官能感覺到的程度，或者到達我們能夠產(chǎn)生影像的地步時就停止.到這時，定義就失去了作用.”［5］龐加萊對“點”這個概念，想下一個定義但最終沒有給出定義，想把它說清楚但他又感到說不清楚.他認為，“點”是個微妙概念，意味著口欲言而不能；“點”不是世人想象的那樣直觀明了，“不直觀”意味著不能被看見或者難以被看見，進一步講，“點”是不能或難以被感知的.事實上，不能給“點”下一個定義，這是因為“點”作為原始（基本）概念是沒有定義的.大家知道，幾何中的基本概念如“點”“直線”“平面”等是沒有任何物質(zhì)屬性的.由于“點”沒有大小，“直線”沒有粗細，“平面”沒有厚薄，因此“點”“直線”“平面”這些基本的幾何研究對象，用人的眼睛是看不見的，用手也是摸不到的.再有，“直線”“平面”都具有無限延伸或無限延展的特點，人用有限的眼光（人眼的視力總是有限的）是不可能看到無限遠的，這也決定了“直線”和“平面”是永遠看不到盡頭的，這是因為它們本身就沒有盡頭.“點”“直線”“平面”等這些基本的幾何研究對象，都不會發(fā)出任何聲音，用人的耳朵去聽是聽不出任何聲音的.因此，幾何中的“點”“直線”“平面”等基本概念靠眼、耳、手等感覺器官是無法感知或難以感知的.即“點”“直線”“平面”等幾何研究對象都不是基本事實.由此從嚴密邏輯性的角度講，“兩點之間線段最短”不是人們能夠感知到的基本事實，而是人類在感性認識的基礎(chǔ)上理性思維的結(jié)果.

可能有人會說，“點”“直線”“平面”我們可以畫出來.但應(yīng)注意的是，“點”沒有大小、“直線”沒有粗細、“平面”沒有厚薄，“直線”和“平面”還具有無限性的特點，它們能真實地畫出來嗎？回答是否定的.我們能夠畫出來的只是“點”“直線”“平面”的示意圖而非其本身.

2.基本事實是公理嗎？

基本事實未必是公理.由于公理是描述基本概念之間內(nèi)在基本關(guān)系的真命題，因此，刻畫“點”“直線”“平面”等幾何對象的關(guān)系的一些公理被直接認定為真命題.

在人們的實踐和生活中，有很多基本事實都不能作為數(shù)學中的公理，比如，“熟了的梨子是甜的”，這顯然是一個基本事實，但它永遠不能作為一條數(shù)學公理.非數(shù)學的其他科學中的基本事實也不能直接作為數(shù)學中的公理，如“硫酸具有腐蝕性”是化學中的基本事實，但此性質(zhì)永遠都不能作為數(shù)學中的公理.這是因為數(shù)學不會直接研究梨子、硫酸等，也不能用數(shù)學的方法去證明梨子是甜的、硫酸具有腐蝕性.

3.公理是基本事實嗎？

張楚廷教授認為，“歐幾里得的《幾何原本》所體現(xiàn)的公理化思想，不是來自于任何自然現(xiàn)象，而是來自于古希臘圣哲們的邏輯思想，并非來自于自然和社會.而邏輯思想來自人的思想本身，來自人的心靈”.“是人締造了數(shù)學”.［6］既然歐幾里得幾何不是直接來自于任何自然現(xiàn)象，也不是直接來自于人類生活，那么歐幾里得幾何中的基本概念和公理（公設(shè)）也不是直接來自于任何自然現(xiàn)象和人類生活.也就是說，歐幾里得幾何中的基本概念和公理（公設(shè)）不是自然現(xiàn)象和人類生活中的基本事實.因此，歐幾里得幾何中的公理（公設(shè)）未必都是基本事實.

當然，有的基本事實可以看成公理，有的公理可以看成基本事實.以《課標2011版》的第31頁的“基本事實：兩點之間線段最短”［3］為例，人們普遍能夠接受“兩點之間線段最短”這個結(jié)論，因此，把“兩點之間線段最短”看成基本事實或者看成公理，都不會有異議.但也有一些基本事實不能看成公理，也有一些公理不能看成基本事實.以《課標2011版》的第32頁的“基本事實：過直線外一點有且只有一條直線與這條直線平行”［2］為例，這實質(zhì)上是歐幾里得的《幾何原本》中的平行公理（又叫第五公設(shè)）.在數(shù)學發(fā)展的歷史中，很多數(shù)學家認為這不是一條獨立的公理，總是想盡辦法試圖去證明它，但均以失敗告終.羅巴切夫斯基、鮑耶、高斯、黎曼等數(shù)學家研究了失敗的原因，對“《幾何原本》中的平行公理可以證明”開始是質(zhì)疑（懷疑），接著他們認為《幾何原本》中的平行公理不能證明，于是就創(chuàng)造性地提出了非歐幾何中的平行公理，由此就創(chuàng)立了非歐幾何.因此，數(shù)學中的一些公理一般不能看成人們的實踐和生活中的基本事實.

三、幾點思考

1.公理化思想方法具有較高的教育價值

在數(shù)學學科中，某一個分支成熟的標志是該分支建構(gòu)了（比較）嚴格的公理系統(tǒng).運用公理化思想方法建立起來的系統(tǒng)的知識體系稱為公理系統(tǒng).一門科學在其發(fā)展的初期和中期，必然會積累大量經(jīng)驗數(shù)據(jù)和不少理論知識，也就是當人們對一門科學認知了一定數(shù)量的概念（原理）、規(guī)律、法則（準則）和算法等之后，就可以運用公理化方法對該門科學進行系統(tǒng)的、嚴密的邏輯整理，使該門科學能夠構(gòu)成一個（比較）嚴格的公理系統(tǒng)，這時就可以說該門科學嚴密化了、成熟了.

在科學史上，牛頓是運用公理化方法的天才，他在《自然哲學的數(shù)學原理》一書中，第一次系統(tǒng)地運用公理化方法演繹了經(jīng)典力學的理論體系，成為科學史上第一個把公理化方法運用于物理學的典范.

對“公理”的處理，《課標2011版》及配套教材的做法是淡化“公理”的概念，甚至在《課標2011版》根本就看不到“公理”二字.這種做法的本意是想降低初中學生學習平面幾何的難度，其初心是好的，但這樣做的本質(zhì)是淡化公理化思想方法，進一步講，淡化“公理”概念的必然結(jié)果是淡化演繹推理及數(shù)學證明的邏輯起點.淡化“公理”的概念和淡化公理化思想方法，容易形成“輕發(fā)現(xiàn)”“輕科學”“輕理性”“輕理論”等不良局面，正如張楚廷先生的憂慮：“在我們的文化傳統(tǒng)里，重發(fā)明，輕發(fā)現(xiàn)；重技術(shù)，輕科學；重感性，輕理性；重實用，輕理論.”［7］

2.基本事實與公理是兩個容易混淆的概念

有的基本事實可以看成公理，有的公理可以看成基本事實.比如，“兩點之間線段最短”，既可以看成數(shù)學中的基本事實，也是一條公理.

由于“基本事實”與“公理”屬于交叉概念，因此這兩個概念是容易混淆的.

3.基本事實與公理的認知邏輯不相同

基本事實是需要驗證或證明的.基本事實的認知邏輯主要是人們用眼、耳、手等去感知事物的本質(zhì)屬性，其感知的結(jié)果能夠得到主流學術(shù)界的認可.在實踐、生活、非數(shù)學的學科中，有很多基本事實不能作為數(shù)學中的公理.數(shù)學中的很多基本事實也不能作為公理.

公理一般是無需驗證的.一個嚴謹?shù)墓眢w系中的公理一般是不能證明的.公理是描述概念或概念之間關(guān)系的真命題.公理是建立在數(shù)學基本概念之上的.公理（或公理體系）的認知邏輯是，通過對現(xiàn)實世界中事物的本質(zhì)、結(jié)構(gòu)、關(guān)系、規(guī)律和信息等的抽象概括而得到數(shù)學基本概念，接著通過對基本概念之間的內(nèi)在關(guān)系的探索與發(fā)現(xiàn)得到公理，最后運用邏輯規(guī)則優(yōu)選出一些基本概念和一些公理就構(gòu)成公理體系.由此可以歸結(jié)出建構(gòu)公理體系的一般模式，即“客觀事物→基本事實→基本概念→公理→公理體系”.從而可以看到，基本概念是連接客觀事物和公理的橋梁，公理是連接數(shù)學基本概念和公理體系的橋梁，數(shù)學教學的核心任務(wù)在于幫助學生認識并建立這兩座橋梁.這個一般模式，體現(xiàn)了發(fā)現(xiàn)數(shù)學的理念與方法.如果把建構(gòu)公理體系的一般模式再往前延伸，就能得到完整的數(shù)學認知模式，即“客觀事物→基本事實→基本概念→公理→公理體系→定理（公式）→應(yīng)用（用數(shù)學）”.

4.建議把中學數(shù)學教材中的基本事實全部改為公理

把數(shù)學教材中的“基本事實”改為“公理”有幾大好處：一是“公理”能準確地體現(xiàn)公理化思想方法，而“基本事實”不一定能體現(xiàn)公理化思想方法；二是學生通過對“公理”的學習，可以了解公理化思想方法；三是學生通過對“公理”的學習，可以認識數(shù)學理性思維的意義和價值；四是在中學滲透公理化思想，對學生學習高等數(shù)學有益；五是中學數(shù)學教師都對“公理”很熟悉，在教學時不會產(chǎn)生知識理解上的偏差；六是“公理”比“基本事實”既簡單、又“節(jié)約”、還準確，“公理”比“基本事實”少寫、少讀兩個字，其表達和書寫都更簡潔.研究者認為，數(shù)學課程標準和中學教材都刻意回避“公理”的概念，是不夠嚴謹、不夠穩(wěn)妥的，并且對培養(yǎng)學生的理性思維是不利的.基于此，我們建議把數(shù)學課程標準和數(shù)學教材中的基本事實全部改為公理.