☉江蘇省梁豐高級(jí)中學(xué) 朱 麗

數(shù)學(xué)概念是思維形式的一種，主要是人腦對(duì)于現(xiàn)實(shí)中事物的數(shù)量關(guān)系與空間形式的本質(zhì)特征的一種反映.在概念教學(xué)中，要積極引導(dǎo)學(xué)生理解概念的形成過(guò)程.筆者將從高中數(shù)學(xué)案例出發(fā)，淺談對(duì)高中數(shù)學(xué)概念教學(xué)的思考.

一、對(duì)概念教學(xué)的認(rèn)識(shí)

在高中數(shù)學(xué)的概念教學(xué)中，理解概念的形成過(guò)程十分重要，教師要積極引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)了解和體驗(yàn)概念的形成過(guò)程.數(shù)學(xué)概念能夠幫助學(xué)生提高數(shù)學(xué)思維能力，也能幫助培養(yǎng)其核心素養(yǎng)，它是基礎(chǔ)之所在，并且在高中數(shù)學(xué)的教學(xué)中得到了廣泛的應(yīng)用.由于學(xué)生的理解能力有限，對(duì)于具體的、特殊的概念理解起來(lái)要相對(duì)的容易，因此，在教學(xué)的過(guò)程中，教師不但要讓學(xué)生理解概念是如何形成的，也要注重對(duì)概念的定性把握、量化描述、抽象概括以及準(zhǔn)確的表達(dá)，這樣才能精確地了解概念.

數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)來(lái)源于生活，并最終實(shí)現(xiàn)對(duì)生活的反饋.想要實(shí)現(xiàn)概念教學(xué)，教師就應(yīng)當(dāng)指導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)用概念來(lái)解題.在學(xué)生對(duì)概念進(jìn)行理解時(shí)，教師應(yīng)該將生活中的實(shí)例引入到課堂中來(lái)，然后再進(jìn)行概念的解釋.這樣一來(lái)，不僅能夠使學(xué)生在理解概念的時(shí)候更加輕松、容易，同時(shí)也能夠使其思維能力得到發(fā)展.

二、案例分析

案例1：“任意角的三角函數(shù)的概念”的教學(xué)內(nèi)容.

（1）創(chuàng)設(shè)情境，啟發(fā)思考.

三角函數(shù)是一種數(shù)學(xué)模型，主要描繪了物體的周期運(yùn)動(dòng)，在我們的生活中，比較常見(jiàn)的一種具有典型周期性運(yùn)動(dòng)的物體就是摩天輪.周末下午，小明和弟弟乘坐摩天輪玩耍……

Q1：當(dāng)?shù)艿茏谀μ燧喩?，并且隨著摩天輪的轉(zhuǎn)動(dòng)而升高時(shí)，小明此刻最關(guān)注的是什么？

A1：弟弟的位置隨著摩天輪的旋轉(zhuǎn)而旋轉(zhuǎn).

設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生觀察到，弟弟的位置隨著摩天輪的轉(zhuǎn)動(dòng)而在不斷地發(fā)生著改變.然后我們將具體的事物想象成數(shù)學(xué)問(wèn)題，將摩天輪看作一個(gè)圓形，弟弟是其中的一個(gè)點(diǎn).因此，隨著摩天輪的轉(zhuǎn)動(dòng)，弟弟這個(gè)質(zhì)點(diǎn)就在圓周上不斷地運(yùn)動(dòng).弟弟在摩天輪中的位置，就是圓周上點(diǎn)P的相應(yīng)位置.此外，通過(guò)探究，學(xué)生會(huì)發(fā)現(xiàn)想要表示點(diǎn)P，可以使用兩種方式，一種是有序數(shù)對(duì)（r，α），另一種是有序數(shù)對(duì)（x，y）.

Q2：隨著摩天輪的不斷轉(zhuǎn)動(dòng)，r，α，x，y四個(gè)量將會(huì)發(fā)生哪些變化？

A2：得到y(tǒng)=rsinα，x=rcosα的圖像.

設(shè)計(jì)意圖：為了對(duì)問(wèn)題1進(jìn)行深入的思考，于是設(shè)計(jì)了問(wèn)題2，可以讓學(xué)生直接觀察到點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)軌跡，思考并想象r，α，x，y中的發(fā)生變化的量有哪些，可以培養(yǎng)學(xué)生的直觀想象能力.

Q3：具體是哪個(gè)量引起了本質(zhì)上的改變？

A3：α.

設(shè)計(jì)意圖：?jiǎn)栴}3的提出是為了找出那個(gè)在變化中起著關(guān)鍵作用的量，也就是α.在確定α就是那個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)以后，學(xué)生可以在此基礎(chǔ)上，繼續(xù)推理出它自變量的身份.通過(guò)這種方式的教學(xué)，學(xué)生的邏輯推理能力將得到很大的發(fā)展.

（2）協(xié)作探究，合作交流.

Q4：α改變以后，r，x，y與α之間形成了什么關(guān)系？

A4：見(jiàn)A2.

設(shè)計(jì)意圖：?jiǎn)栴}4的提出是本課程的重點(diǎn)，即引導(dǎo)學(xué)生找到四個(gè)量之間的關(guān)系，從而使學(xué)生在尋找答案的同時(shí)不斷地開(kāi)發(fā)自身的潛能.這樣一個(gè)個(gè)問(wèn)題從提出到解決的過(guò)程，既是一個(gè)層層遞進(jìn)的過(guò)程，也是一個(gè)引導(dǎo)學(xué)生逐步深入的過(guò)程.

案例2：“直線與平面垂直的定義”的教學(xué)內(nèi)容.

（1）直觀觀察，理解概念.

展示圖片：①比薩斜塔；②學(xué)校操場(chǎng)的國(guó)旗；③聯(lián)合國(guó)一根根旗桿與廣場(chǎng).

Q1：這里都是一些直線與平面的展示，給你的感覺(jué)是怎樣的？在你身邊還有類(lèi)似的例子嗎？

A1：學(xué)生自由發(fā)揮

設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)觀察圖片，學(xué)生能夠在腦海中形成具體的認(rèn)知沖突，可以對(duì)斜交和垂直產(chǎn)生具體的感知，為之后發(fā)現(xiàn)更多的特征、定義起到鋪墊的作用.教師將生活中的實(shí)例引入到課堂概念教學(xué)中來(lái)，不僅體現(xiàn)了數(shù)學(xué)源于生活的本質(zhì)，更有助于幫助學(xué)生養(yǎng)成數(shù)學(xué)思維，并用其來(lái)解決現(xiàn)實(shí)中的問(wèn)題.

（2）提出問(wèn)題，共同求解.從數(shù)學(xué)的角度出發(fā)，如何定義一條直線與一個(gè)平面垂直？

Q2：圓錐的底面是什么？

A2：圓錐的底面是一個(gè)圓.

Q3：圓錐的軸與底面半徑之間是什么關(guān)系？

A3：垂直.

Q4：圓錐底面過(guò)中心的任一條線與軸是什么關(guān)系？

A4：垂直且相交.

Q5：圓錐底面不過(guò)中心的任一條線與軸是什么關(guān)系？

A5：垂直但不相交.

設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)具體的實(shí)驗(yàn)操作，學(xué)生可以找出直線與平面垂直的本質(zhì)特征.通過(guò)直觀感受可以將抽象的問(wèn)題具體化，從而深入的了解數(shù)學(xué)概念，建立起抽象的思維能力.

（3）觀察總結(jié)，建構(gòu)概念.

歸納：圓錐的軸與底面任一直線垂直.

建構(gòu)數(shù)學(xué)：如果一條直線與平面內(nèi)的任意一條直線都垂直，則稱(chēng)這條直線與這個(gè)平面垂直.

Q6：定義中的關(guān)鍵詞是什么？

A6：任意.

Q7：任意與所有是一樣的含義嗎？與無(wú)數(shù)含義是一樣的嗎？

A7：直線在平面內(nèi)任意等價(jià)于所有但不等價(jià)于無(wú)數(shù).

Q8：定義中蘊(yùn)含著怎樣的轉(zhuǎn)化關(guān)系？

A8：直線與平面內(nèi)任意直線垂直可轉(zhuǎn)化為直線與平面垂直.

設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)提問(wèn)，讓學(xué)生找出其中的本質(zhì)，自主尋求概念的定義，這樣一來(lái)，學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言解決現(xiàn)實(shí)問(wèn)題的能力也能夠得以提高.

案例3：“直線的斜率”的教學(xué)內(nèi)容.

（1）創(chuàng)設(shè)情境.

Q1：畫(huà)出下列函數(shù)y=x+5，y=2x+5，y=-3x+5的圖像.

A1：略.

設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生從簡(jiǎn)單、熟悉的一次函數(shù)著手進(jìn)行學(xué)習(xí)，通過(guò)繪制圖像，確定直線的幾何要素——兩個(gè)點(diǎn).

（2）觀察對(duì)比.

Q2：確定直線的要素是什么？

A2：斜率與截距，兩點(diǎn)確定一條直線.

Q3：觀察上面的三條直線并談?wù)勊鼈兊南嗤c(diǎn)和不同點(diǎn)？

A3：截距相同，但斜率不同.

Q4：如果只給出一點(diǎn)，還需添加什么條件才能確定一條直線？

A4：斜率.

設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)對(duì)幾個(gè)問(wèn)題的探索，學(xué)生能夠明確直線的兩個(gè)要素.

三、基于核心素養(yǎng)的概念教學(xué)的思考

數(shù)學(xué)的概念教學(xué)是一個(gè)重新構(gòu)建的過(guò)程，教師要抓住關(guān)鍵，創(chuàng)設(shè)有利于培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力的教學(xué)情景，為學(xué)生還原數(shù)學(xué)家對(duì)概念的發(fā)現(xiàn)過(guò)程，尋找數(shù)學(xué)從概念到應(yīng)用的發(fā)展軌跡，激發(fā)學(xué)生一探究竟的好奇心，真正了解其中所包含的數(shù)學(xué)思想，讓學(xué)生學(xué)會(huì)進(jìn)行“數(shù)學(xué)式思考”，使學(xué)生能夠真正掌握數(shù)學(xué)概念的精髓之所在.具體來(lái)說(shuō)，想要實(shí)現(xiàn)概念教學(xué)，應(yīng)當(dāng)做到以下幾個(gè)方面：

1.創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境

Albert·Einstein曾經(jīng)說(shuō)過(guò)：“提出問(wèn)題比解決問(wèn)題更重要.”在數(shù)學(xué)概念的教學(xué)中，教師要了解不同學(xué)生的特點(diǎn)，根據(jù)他們的差異性來(lái)設(shè)置合適的問(wèn)題情境.在提出問(wèn)題的基礎(chǔ)上，鼓勵(lì)并引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行思考，從而實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)概念教學(xué)的建構(gòu).思考的源頭和探究的動(dòng)力都來(lái)源于問(wèn)題，為了解決問(wèn)題，學(xué)生就不得不進(jìn)行思考.教師在設(shè)計(jì)問(wèn)題的時(shí)候，一定要注重知識(shí)之間的內(nèi)在聯(lián)系，側(cè)重于概念的形成過(guò)程，要讓學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)概念從圖形到文字再到符號(hào)語(yǔ)言的神奇轉(zhuǎn)變，從而更加深刻地明白且學(xué)會(huì)運(yùn)用從具體到抽象、從特殊到一般、從定量到定性的數(shù)學(xué)研究方法.在這一系列過(guò)程中，學(xué)生能夠發(fā)揮自身的直觀想象以及數(shù)學(xué)抽象思維能力.

2.通過(guò)對(duì)問(wèn)題的探究和建構(gòu)，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力

課改后，新課標(biāo)提倡在教學(xué)中要運(yùn)用多種方式進(jìn)行教學(xué)，引導(dǎo)學(xué)生親自去體驗(yàn)并發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)問(wèn)題，在這個(gè)過(guò)程中逐漸培養(yǎng)和提升其獨(dú)立思考、深入探究、積極解決問(wèn)題的能力和習(xí)慣.在學(xué)生自主思考、深入探究、積極學(xué)習(xí)的過(guò)程中，教師不能過(guò)多干預(yù)，在適當(dāng)?shù)臅r(shí)候給予一定的提示，但要給學(xué)生足夠的思考時(shí)間與空間，讓學(xué)生能夠真正學(xué)會(huì)使用數(shù)學(xué)語(yǔ)言，自主去尋找概念，并了解概念的歷史由來(lái).這不僅能夠幫助學(xué)生獲得成就感，也能幫助學(xué)生發(fā)展自身的數(shù)學(xué)建模能力與數(shù)學(xué)思維方式.