等分法
———求勻強電場的E 和φ 的“金鑰匙”

■江蘇省六合高級中學(xué) 傅明峰

在與電場相關(guān)的高考試題中,經(jīng)常出現(xiàn)要求求解電場中某點的電勢或電場強度的問題。這類問題雖然是常見的,但往往會因為設(shè)置的情景較新,所要求解的問題距離給出的信息較大,而使不少同學(xué)在解答時感到茫然。下面我們介紹一種方法,簡稱“等分法”。這種方法通過捕捉信息和幾何作圖,先找出電場中關(guān)鍵點的電勢,再確定等勢線或等勢面,最后根據(jù)電場線垂直于等勢面的特點,以及電場強度和電勢差的關(guān)系來求解。

例題(2017·全國Ⅲ卷)一勻強電場的方向平行于x O y平面,平面內(nèi)a、b、c三點的位置如圖1所示,三點的電勢分別為10V、17V、26V。下列說法中正確的是( )。

圖1

A.電場強度的大小為2.5V/cm

B.坐標原點O處的電勢為1V

C.電子在a點的電勢能比在b點的低7e V

D.電子從b點運動到c點,靜電力做功為9e V

審題：在勻強電場中將某一線段等分的同時就將該線段兩端的電勢差等分。在勻強電場中,因為電場線平行且均勻分布,所以等勢線平行且均勻分布。以上兩點是解決此類問題的“金鑰匙”。

解析：由題意知φa=10V,φb=17V,φc=26V,則a b連線與O c連線交點的電勢滿足,故φO=φa+φb-φc=1V,選項B正確。從a點到b點移動電子,靜電力做功W=-e Ua b=7e V,靜電力做正功,電勢能減小,故電子在a點的電勢能比在b點的高7e V,選項C錯誤。從b點到c點移動電子,靜電力做功W'=-e Ub c=9e V,選項D正確。如圖2所示,過b點作b d垂直于O c,由幾何關(guān)系得xc d=故解得d點的電勢φd=17V,即b d為等勢線,從而得電場線沿c O方向,電場強度2.5V/cm,選項A正確。

答案：A B D

圖2

(1)等分法的兩個有用的推論：①在勻強電場中,沿任意一條直線電勢降落都是均勻的；②在勻強電場中,相互平行且相等的線段兩端點的電勢差相等。

(2)運用等分法解題的步驟：①確定所給點中電勢最高點和最低點,用直線連接；②根據(jù)第三點的電勢值,將①中的直線平分為等距離的n段；③找到直線上與第三點電勢相同的第四點,連接第三和第四點所得直線即為等勢線；④作出垂直于等勢線的直線,并根據(jù)電勢降落的方向在新作的直線上加上箭頭,畫出電場線,再根據(jù)E=求出電場強度的大小。

1.運用等分法確定勻強電場的方向和場強E。

變式1：A、B、C是勻強電場中的三個點,各點電勢分別為φA=10V、φB=2V、φC=6V,A、B、C三點在同一平面上。如圖3所示的四幅關(guān)于A、B、C三點的位置及電場強度的方向表示正確的是( )。

圖3

審題：在勻強電場中,電場強度大小處處相等,方向處處相同,則電場線是平行且等間距的,電勢沿著電場線逐漸降低,電場線與等勢面垂直。

解析：根據(jù)φA=10V、φB=2V、φC=6V可知,AB連線的中點M的電勢為6V,因此M點與C點的連線為等勢面,與MC連線垂直的線即為電場線。又因為電勢沿著電場線逐漸降低,所以D圖正確。

答案：D

變式2：A、B、C是勻強電場中平行于電場線的某一平面上的三個點,各點的電勢分別為φA=5V,φB=2V,φC=3V,H、F三等分A B連線,G為A C連線的中點。如圖4所示的四幅示意圖中,能正確表示電場強度方向的是( )。

圖4

審題：根據(jù)勻強電場中電勢、電場線、等勢線和電場強度的特點,在A B連線上找出電勢與C點電勢相等的點,即可得到一條等勢線,進而可以作出電場線。

解析：把A B連線三等分,因為UA B=3V,所以每等份兩端的電勢差為1V,即φH=4V,φF=3V,則直線F C為等勢線,電場線應(yīng)垂直于F C,且從電勢高處指向電勢低處,C圖正確。把AC連線兩等分,因為UAC=2V,所以每等份兩端的電勢差為1V,即φG=4V,則直線GH為等勢線,電場線應(yīng)垂直于HG,且從電勢高處指向電勢低處,B圖正確。

答案：B C

變式3：如圖5所示,勻強電場的方向平行于xOy坐標系平面,坐標原點O處的電勢為2V,a點的坐標為(0cm,4cm),電勢為8V,b點的坐標為(3cm,0cm),電勢為8V,則電場強度大小為( )。

圖5

A.250V/m

B.200V/m

C.150V/m

D.120V/m

審題：根據(jù)題中數(shù)據(jù)可知,a、b兩點的電勢相等,先運用幾何關(guān)系求出O點到a b連線的距離,再由勻強電場中電勢差與電場強度的關(guān)系U=E d,即可得出電場強度的大小。

解析：由題意可知,a、b兩點的電勢相等,則a b連線為一條等勢線,又有O點電勢為2V,則勻強電場的場強方向垂直于a b連線指向左下方。過O點作a b連線的垂線交a b于c點,如圖6所示,由幾何關(guān)系得t a n則∠b=53°。O c=O b·sin ∠b=0.03m×sin53°=2.4×10-2m。c、O兩點間的電勢差U=8V-2V=6V,因此電場強度大小

圖6

答案：A

2.運用等分法求勻強電場中各點的電勢大小。

變式4：a、b、c、d是勻強電場中的四個點,它們正好是一個矩形的四個頂點。電場線與矩形所在平面平行。已知a點的電勢為20V,b點的電勢為24V,d點的電勢為4V,如圖7所示。由此可知c點的電勢為( )。

A.4V B.8V

C.12V D.24 V

審題：依據(jù)在勻強電場中將某一線段等分的同時就將該線段兩端的電勢差等分,將b d五等分,找到與a點電勢相等的點e,連接a e,由c f∥a e,找到與c點電勢相等的點f,即可求得φc。

圖7

圖8

解法一：(推論①)連接對角線a c和b d相交于O點,如圖8所示。由勻強電場的性質(zhì)得φO=解得φc=8V。

解法二：(推論②)因為a b=c d且a b∥c d,所以φb-φa=φc-φd,解得φc=8V。

答案：B

圖9

變式5：如圖9所示,在x O y坐標系中有以O(shè)點為中心、邊長為0.2m的正方形,頂點A、B、C、D分別在坐標軸上。在該平面內(nèi)有一勻強電場(圖中未畫出),已知A、B、C三點的電勢分別為3V、-V、-3V。則下列說法中正確的是( )。

A.D點的電勢為V

B.該電場的場強大小E=10V/m

C.該電場的場強大小E=10V/m

D.電場方向與x軸正方向間的夾角為30°

審題：依據(jù)勻強電場的特點,運用對稱思想可求得D點的電勢。依據(jù)U=E d可求解場強問題。

解析：根據(jù)A、C兩點的電勢分別為3V、-3V可知,O點的電勢為零,由對稱性可知D點的電勢為V,選項A正確。設(shè)過O點的等勢線與x軸間的夾角為α,則E解得α=60°,E=10V/m,選項B錯誤,C正確。因為電場線與等勢線互相垂直,所以電場方向與x軸正方向間的夾角為30°,選項D正確。

答案：A C D

1.如圖10所示,在平面直角坐標系中,有方向平行于坐標平面的勻強電場,坐標原點O處的電勢為0V,點A處的電勢為6V,點B處的電勢為3V,則電場強度的大小為( )。

圖10

2.如圖11所示,以O(shè)點為圓心,以R=0.20m為半徑的圓與坐標軸交點分別為a、b、c、d,該圓所在平面內(nèi)有一勻強電場,場強方向與x軸正方向間的夾角θ=60°,已知a、b、c三點的電勢分別為4V、4V、-4V,則下列說法中正確的是( )。

圖11

A.該勻強電場的場強E=40V/m

B.該勻強電場的場強E=80V/m

C.d點的電勢為-2V

D.d點的電勢為-4V

3.如圖12所示,水平面內(nèi)有A、B、C、D、E、F六個點,它們均勻分布在圓心為O、半徑R=2 cm的同一圓周上,空間有一方向與圓平面平行的勻強電場。已知A、C、E三點的電勢分別為φA=(2-)V、φC=2 V,φE=(2+)V,則下列判斷中正確的是( )。

圖12

A.電場的方向由A點指向D點

B.電場強度的大小為100V/m

C.該圓周上的點電勢最高為4V

D.將電子沿圓弧從D點移到F點,靜電力始終做負功

參考答案：1.A 2.D 3.B C