杜新偉

（吉林大學(xué)，吉林 長春 130012）

眾所周知,高等學(xué)校中的大學(xué)生對其所要學(xué)習(xí)的專業(yè)課程,不管其對這門課程了解多少,他們都會主動(dòng)地好好學(xué)習(xí)這門課程,因?yàn)樗麄冎缹韽氖滤麄儽緦I(yè)領(lǐng)域的工作時(shí),會用到這門課程中的理論。但對于非數(shù)學(xué)專業(yè)的學(xué)生來說,絕大多數(shù)高校的理工科專業(yè),學(xué)校都會開設(shè)線性代數(shù)這門課程,多數(shù)同學(xué)往往都是被動(dòng)地學(xué)習(xí),不知學(xué)習(xí)這門課程有什么用,尤其是對他自身專業(yè)來說有什么用。以至于對非數(shù)學(xué)專業(yè)的學(xué)生來說,學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)課程都是一件苦惱的事情。

俗話說,萬事開頭難,如何上好第一節(jié)課尤為重要。結(jié)合本人的多年教學(xué)經(jīng)驗(yàn),本文主要討論教師應(yīng)如何講解好第一節(jié)課。多年來，筆者在正式講授線性代數(shù)這門課程的書本內(nèi)容之前,往往用近一個(gè)學(xué)時(shí)的時(shí)間向同學(xué)們介紹，我們?yōu)槭裁磳W(xué)習(xí)線性代數(shù)這門課程,如何才能學(xué)好這們課程,多年的教學(xué)效果表明,這是有必要的。

如何培養(yǎng)學(xué)生們學(xué)習(xí)線性代數(shù)這門課程的興趣，使學(xué)生們以飽滿的熱情投入到這門課程的學(xué)習(xí)中呢？我們從以下幾個(gè)方面來討論教師應(yīng)如何講好第一節(jié)課。

一、簡單介紹線性代數(shù)這門課程的發(fā)展史

大量的科學(xué)技術(shù)問題，最終往往歸結(jié)為解線性方程組。歷史上線性代數(shù)的第一個(gè)問題就是關(guān)于解線性方程組的問題。線性代數(shù)有三個(gè)基本計(jì)算單元：向量、矩陣和行列式。我們可以簡單地介紹一下線性代數(shù)的發(fā)展史，行列式這個(gè)概念出現(xiàn)于線性方程組的求解中，它是一種速記的表達(dá)式，行列式是由萊布尼茲和日本數(shù)學(xué)家關(guān)孝和發(fā)明的。1750 年，瑞士數(shù)學(xué)家克萊姆在其著作《線性代數(shù)分析導(dǎo)論》中，對行列式的定義和展開法則給出了比較完整、明確的闡述，并給出了我們后面會學(xué)到的解線性方程組的克萊姆法則。在行列式的發(fā)展史中，第一個(gè)對行列式理論做出連貫的、邏輯的、闡述的是法國數(shù)學(xué)家范德蒙。

矩陣是數(shù)學(xué)中一個(gè)重要的基本概念，是代數(shù)學(xué)的一個(gè)主要研究對象。矩陣這個(gè)詞是由希爾維斯特首先使用的，它是為了將數(shù)字的矩形陣列區(qū)別與行列式而發(fā)明了這個(gè)術(shù)語。一般公認(rèn)矩陣論的創(chuàng)立者是英國數(shù)學(xué)家凱萊。

更多的關(guān)于線性代數(shù)的發(fā)展史，同學(xué)們可以上百度上搜索。通過簡單介紹線性代數(shù)這門課程的發(fā)展史，可以使學(xué)生們對這門學(xué)科的產(chǎn)生和發(fā)展有初步的了解。此外，我還會附加一些這些科學(xué)家的奇聞異事，也可以舒緩緊張的課堂氣氛，使我們以更輕松的心情來學(xué)習(xí)這門課程。

二、激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)線性代數(shù)這門課程的興趣

著名教育學(xué)家郭沫若曾說過：“教學(xué)的目的是培養(yǎng)學(xué)生自己學(xué)習(xí)、自己研究、用自己的頭腦來想、用自己的眼睛看、用自己的手來做這種精神”。我認(rèn)為要想達(dá)到這個(gè)目地,對于線性代數(shù)這門課程的教學(xué)來說,首先要培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)這門課程的興趣。人們?nèi)绻麑δ臣挛锘蚰稠?xiàng)活動(dòng)感到需要,他就會熱心于接觸,觀察這件事物,積極從事這項(xiàng)活動(dòng),并注意探索其奧妙。每個(gè)人都會對他感興趣的事物給予優(yōu)先注意和積極地探索,并表現(xiàn)出心馳神往。

線性代數(shù)在數(shù)學(xué)、力學(xué)、物理學(xué)和技術(shù)學(xué)科中有各種重要應(yīng)用，在計(jì)算機(jī)廣泛應(yīng)用的今天，計(jì)算機(jī)圖形學(xué)、密碼學(xué)、虛擬現(xiàn)實(shí)等技術(shù)無不以線性代數(shù)為其理論和算法基礎(chǔ)的一部分。線性代數(shù)中所體現(xiàn)的幾何觀念和代數(shù)方法之間的聯(lián)系，從具體概念抽象出來的公理化方法以及嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬐谱C，巧妙的歸納綜合等，對于強(qiáng)化人們的數(shù)學(xué)訓(xùn)練，增益科學(xué)只能是非常有用的。

我們可以舉個(gè)兩個(gè)方程兩個(gè)未知量的線性方程組，讓同學(xué)們考慮如何求解，由于在高中階段已經(jīng)學(xué)過求解二元一次方程組，學(xué)生們很容易解出方程組的解。然后我們在寫出一個(gè)六個(gè)方程六個(gè)未知量的線性方程組，讓學(xué)生們求解，學(xué)生們自然感嘆，很難求解。我們可以在出一個(gè)m 個(gè)方程n 個(gè)未知量的方程組讓學(xué)生們求解。通過這樣一個(gè)例子，可以激發(fā)學(xué)生們的興趣,由于同學(xué)們非常關(guān)心這個(gè)問題,但不知如何求解,所以好奇心會驅(qū)使學(xué)生們想要解決這個(gè)問題。最后告訴學(xué)生們，如果我們學(xué)習(xí)了線性代數(shù)課程中的一些知識，我們就可以解決這個(gè)問題，從而調(diào)動(dòng)起學(xué)生們主觀想學(xué)習(xí)的熱情。

三、為什么要開設(shè)線性代數(shù)這門課程

在第一節(jié)課中，筆者會介紹為什么要開設(shè)和學(xué)好這門課程。首先它是我們理工科學(xué)生大學(xué)階段的三門必修的數(shù)學(xué)課程之一,所以我們要好好學(xué),修過這門課,你修不過，就得不到畢業(yè)證，這是重要性之一。

然后,介紹線性代數(shù)的應(yīng)用范圍非常廣泛,在我們后續(xù)課程的學(xué)習(xí)中,可能會用到線性代數(shù)這門課程中介紹的一些方法,結(jié)合我們所面對的不同專業(yè)的學(xué)生,我會舉出一些在他們專業(yè)中常常遇見的且比較簡單的例子。使學(xué)生認(rèn)識到學(xué)習(xí)線性代數(shù)這門課程的另一個(gè)重要性。

比如，當(dāng)筆者給電子、計(jì)算機(jī)等相關(guān)專業(yè)的學(xué)生上課時(shí),我會和他們談?wù)勊麄儗I(yè)所涉及到的一些問題。同學(xué)們你們將來如果想從事電路分析、線性信號系統(tǒng)分析、數(shù)字濾波器分析設(shè)計(jì)等工作，你就需要學(xué)好線性代數(shù)這門課，因?yàn)榫€性代數(shù)就是研究線性網(wǎng)絡(luò)的主要工具。如果你想搞IC 集成電路設(shè)計(jì)，對付數(shù)百萬個(gè)集體管的仿真軟件就需要依賴線性方程組的方法。當(dāng)然，如果你想從事光電及射頻工程，比如光調(diào)制器分析研制需要張量矩陣，手機(jī)信號處理等等也離不開矩陣運(yùn)算。如果你想搞軟件工程，3D 游戲的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)就是以圖形的矩陣運(yùn)算為基礎(chǔ)。如果你想搞圖像處理，大量的圖像數(shù)據(jù)處理更離不開矩陣這個(gè)強(qiáng)大的工具，你們知道么，電影《阿凡達(dá)》中大量的后期電腦制作沒有線性代數(shù)的數(shù)學(xué)工具簡直難以想象。

當(dāng)我給商學(xué)、經(jīng)濟(jì)等相關(guān)專業(yè)的學(xué)生上課時(shí),筆者會向他們介紹這樣一些問題。同學(xué)們你們知道列昂惕夫（Wassily Leontief）嗎？哈佛大學(xué)教授，1949 年用計(jì)算機(jī)計(jì)算出了由美國統(tǒng)計(jì)局的25 萬條經(jīng)濟(jì)數(shù)據(jù)所組成的42 個(gè)未知數(shù)的42 個(gè)方程的方程組，他打開了研究經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)模型的新時(shí)代的大門。這些模型通常都是線性的，也就是說，它們是用線性方程組來描述的，被稱為列昂惕夫“投入-產(chǎn)出”模型。列昂惕夫因此獲得了1973 年的諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎(jiǎng)。因此，我們也需要學(xué)好線性代數(shù)這門課。

對于其他工程領(lǐng)域，基本沒有用不上線性代數(shù)理論的地方，在搞建筑工程上，例如奧運(yùn)場館鳥巢的受力分析需要線性代數(shù)的工具；在石油勘探方面，勘探設(shè)備獲得的大量數(shù)據(jù)所滿足的幾千個(gè)方程組也需要我們用線性代數(shù)的知識來解決；在飛行器設(shè)計(jì)上，需要研究飛機(jī)表面的氣流的過程包含反復(fù)求解大型的線性方程組；同學(xué)們知道馬爾科夫鏈嗎？這個(gè)“鏈子”神通廣大，在許多學(xué)科如生物學(xué)、商業(yè)、化學(xué)、工程學(xué)及物理學(xué)等領(lǐng)域中被用來做數(shù)學(xué)模型，實(shí)際上馬爾科夫鏈?zhǔn)怯梢粋€(gè)隨機(jī)變量矩陣所決定的一個(gè)概率向量序列，大家看看，矩陣、向量又出現(xiàn)了。

此外，我們陸續(xù)會介紹到矩陣的特征值和特征向量，特征值和特征向量理論可以用在研究物理、化學(xué)領(lǐng)域的微分方程、連續(xù)的或離散的動(dòng)力系統(tǒng)中；我們還會講二次型，二次型常常出現(xiàn)在工程和信號處理的應(yīng)用中，他們也常常出現(xiàn)在物理學(xué)（例如勢能和動(dòng)能）、微分幾何（例如曲面的法曲率）、經(jīng)濟(jì)學(xué)（例如效用函數(shù)）和統(tǒng)計(jì)學(xué)（例如置信橢圓體）中，某些這類應(yīng)用實(shí)例的數(shù)學(xué)背景很容易轉(zhuǎn)化為對對稱矩陣的研究。

我們通過舉出一些不同專業(yè)學(xué)生所關(guān)心的問題，這可以使得學(xué)生初步了解線性代數(shù)這門課程在他們自己專業(yè)領(lǐng)域中的具體應(yīng)用，出幾個(gè)同學(xué)非常關(guān)心的問題,激發(fā)學(xué)生的好奇心,然后我們帶著這些問題進(jìn)入我們教學(xué)中,告訴同學(xué)我們將來會一一解答這些問題。從而使得學(xué)生不會被動(dòng)，盲目地學(xué)習(xí)這門課程。

最后,同學(xué)們?nèi)绻肜^續(xù)深造,比如考研究生,對于理工科學(xué)生來說線性代數(shù)這門課程也是一門必考課程。近十年來，每年考研的報(bào)名人數(shù)均在120 萬以上，中國教育在線統(tǒng)計(jì)顯示，多數(shù)本科生感覺就業(yè)壓力大，需提升就業(yè)競爭力，因而他們選擇繼續(xù)深造，提高學(xué)術(shù)研究能力。即使是將來參加工作,我們也會用到線性代數(shù)這么課程的理論。

四、結(jié)束語

本文主要討論了教師應(yīng)該如何講好第一節(jié)線性代數(shù)課程。教師通過介紹線性代數(shù)這門課程的發(fā)展史，使學(xué)生們初步了解這門學(xué)科的歷史，同時(shí)激發(fā)學(xué)生們的學(xué)習(xí)興趣，以及說明學(xué)習(xí)這門課程的重要性。通過以上幾個(gè)方面的介紹，會使學(xué)生們清醒地認(rèn)識到我們?yōu)槭裁匆獙W(xué)好這門課程，而不是被動(dòng)地開什么課，我就學(xué)什么，以至于沒有興趣和方向。多年的教學(xué)效果表明，講好第一節(jié)課尤為重要。