鄒兆貴
(長沙市長郡濱江中學 湖南 長沙 410013)
高中物理教學當中,經常會遇到求物塊沿斜面下滑所用時間的問題.通常斜面固定不動,由牛頓運動定律能夠快速求解物塊沿斜面下滑的加速度,從而求出下滑所用時間.鮮見針對斜面不固定時(斜面與水平面存在摩擦)物塊沿斜面下滑所用時間的問題,本文就此做一般論述.
如圖1所示,一質量為M的斜面靜止在水平面上,斜面傾角為θ,斜面總長為L,M與水平面之間的動摩擦因數為μ.把一質量為m的物塊從斜面頂端無初速度釋放(物塊與斜面之間接觸面光滑),求物塊經過多長時間t滑到斜面底端.(假設斜面與水平面之間的最大靜摩擦力等于滑動摩擦力)
圖1 題圖
如圖2所示,設物塊從斜面頂端下滑到圖2所示位置時刻,斜面的水平加速度大小為a1,斜面對物塊的支持力為Fn.物塊對斜面的壓力為Fn1,水平地面對斜面的滑動摩擦力為Ff.地面對斜面的支持力為Fn2.以水平面作參考的慣性系中,對斜面,水平方向上有
Fn1sinθ-Ff=Ma1
(1)
豎直方向上有
Fn1cosθ+Mg=Fn2
(2)
由滑動摩擦力公式知
Ff=μFn2
(3)
圖2 分析圖
對物塊,以斜面作參考的非慣性系中,物塊相對于斜面的加速度方向沿斜面向下,用a2表示物塊相對于斜面的加速度,引入慣性力-ma1,對物塊,沿斜面方向
mgsinθ+ma1cosθ=ma2
(4)
垂直斜面方向
ma1sinθ+Fn-mgcosθ=0
(5)
由牛頓第三定律知
Fn=Fn1
(6)
由式(5)得
Fn=mgcosθ-ma1sinθ
(7)
把式(6)、式(7)代入式(2)得
Fn2=mgcos2θ-ma1sinθcosθ+Mg
(8)
把式(3)、(6)、(7)、(8)代入式(1)得
mgcosθsinθ-ma1sin2θ-
μ(mgcos2θ-ma1sinθcosθ+Mg)=Ma1
(9)
由式(9)得
(10)
把式(10)代入式(4)得
(11)
當μ,g,θ,m,M均為定值時,由式(11)易知a2為定值,故物塊相對斜面沿斜面向下做初速度為零的勻加速直線運動.在以斜面作參考的非慣性系中,對物塊,由運動學公式知
(12)
聯立式(11)、式(12)得
(13)
設斜面與水平面之間的動摩擦因數為μ0時,斜面相對于水平面剛好要滑動.此時a1=0,代入式(10)得
a1=0
斜面保持靜止,把a1=0代入式(4)得
a2=gsinθ
把a2=gsinθ代入式(12)得
物塊相對斜面下滑的加速度為
物塊下滑至斜面底端用時
特別地,當μ=0時
計算結果與文獻[1~6]一致.
此時
物塊沿斜面下滑所用時間問題,關鍵在于求解物塊相對于斜面的加速度.斜面不固定時(斜面與水平地面存在摩擦),對物塊取非慣性系斜面作參考系,引入慣性力能夠方便求解物塊相對于斜面的加速度大?。祟悊栴}綜合涉及了受力分析、牛頓運動定律、慣性系與非慣性系,可以作為一個很好的研究非慣性系中物體相對運動的實例.