洪運(yùn)琴

摘 要：數(shù)學(xué)教材為學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)提供了學(xué)習(xí)主題、基本線索和知識(shí)結(jié)構(gòu)，是實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)課程目標(biāo)、實(shí)施數(shù)學(xué)教學(xué)的重要資源。作為新時(shí)期的教師要學(xué)會(huì)利用好教材的資源，理解其本質(zhì)，并對(duì)資源進(jìn)行適當(dāng)?shù)母木帲园l(fā)揮其“再生”的作用。本文通過(guò)對(duì)浙教版九上教材中的一道習(xí)題的解答以及思考，借助習(xí)題改編的方法，通過(guò)將條件和結(jié)論互換、增加條件、減少條件、改變圖形等一系列改編，進(jìn)行橫向的拓展和縱向延伸，使其散發(fā)新的活力，進(jìn)一步凸顯習(xí)題的數(shù)學(xué)本質(zhì).

關(guān)鍵詞：教材資源 習(xí)題改編 數(shù)學(xué)本質(zhì)

中圖分類(lèi)號(hào)：G633.6 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1003-9082（2019）02-0-03

一、問(wèn)題的提出

《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011版）》指出：“數(shù)學(xué)教材為學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)提供了學(xué)習(xí)主題、基本線索和知識(shí)結(jié)構(gòu)，是實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)課程目標(biāo)、實(shí)施數(shù)學(xué)教學(xué)的重要資源?！蓖瑫r(shí)又強(qiáng)調(diào)“在數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)中，教師要把基本理念轉(zhuǎn)化為自己的教學(xué)行為，創(chuàng)造性地使用教材，積極開(kāi)發(fā)、利用各種教學(xué)資源，為學(xué)生提供豐富多彩的學(xué)習(xí)素材……”。要深化落實(shí)新課程的標(biāo)準(zhǔn)，作為新時(shí)期的教師要學(xué)會(huì)利用好教材的資源，理解其本質(zhì)，并對(duì)資源進(jìn)行適當(dāng)?shù)母木帲酝癸@其數(shù)學(xué)本質(zhì)。

初中數(shù)學(xué)中，研究線段之間的數(shù)量關(guān)系往往要借助全等三角形或相似三角形來(lái)進(jìn)行，而全等三角形的構(gòu)建往往是借助圖形的變換而得來(lái)，其中包括旋轉(zhuǎn)變換、平移變換、軸對(duì)稱(chēng)變換等等，本文就借教材中的一道習(xí)題通過(guò)適當(dāng)?shù)母木?，凸顯旋轉(zhuǎn)變換在探究線段之間的關(guān)系，圖形之間關(guān)系中的數(shù)學(xué)本質(zhì)。

【原題呈現(xiàn)】（來(lái)自浙教版九上P75頁(yè)作業(yè)題第5題）

如圖，E是正方形ABCD的AD邊上一點(diǎn)，延長(zhǎng)BA至點(diǎn)F，使BF=DE，連結(jié)CE，CF.能通過(guò)旋轉(zhuǎn)△DEC得到△FBC嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由。

本題的意圖是通過(guò)在正方形這一背景中能夠發(fā)現(xiàn)三角形的旋轉(zhuǎn)，并學(xué)會(huì)旋轉(zhuǎn)的判定和說(shuō)理，事實(shí)上這道題目學(xué)生在做的時(shí)候說(shuō)理并不清晰，因?yàn)樽C明邊相等角相等好入手，但是證明這是一個(gè)旋轉(zhuǎn)變換是頭一次，因此問(wèn)題也比較多。具體解答過(guò)程如下：

解答：能.理由：由已知，BC=CD， BF=DE，∴Rt△FBC≌Rt△EDC.∴∠DCE=∠BCF.∴∠FCE=∠DCB，CF=CE.所以把△DEC繞點(diǎn)C按順時(shí)方向旋轉(zhuǎn)90°時(shí)，CE與CF重合，DC與BC重合，也就是得△FBC.

通過(guò)解答讓學(xué)生明確三角形旋轉(zhuǎn)變換的條件：一是有旋轉(zhuǎn)中心，二是各部分按同一方向轉(zhuǎn)動(dòng)同一角度。但是如果這道題目就到這里為止，顯然沒(méi)有發(fā)揮出它應(yīng)有的價(jià)值，特別是發(fā)揮旋轉(zhuǎn)變換在解決三角形和四邊形中線段之間關(guān)系中的作用，筆者根據(jù)有關(guān)習(xí)題改編的方法，通過(guò)通過(guò)將條件和結(jié)論互換、增加條件、減少條件、改變圖形等一系列改編，進(jìn)行橫向的拓展和縱向延伸.

二、對(duì)該題的改編

1.結(jié)論和條件互換——用好旋轉(zhuǎn)三角形的性質(zhì)

【改編1】

如圖1，將Rt△DEC旋轉(zhuǎn)繞著點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90度，得到 Rt△FBC，延長(zhǎng)DE和FB交于點(diǎn)A，你能發(fā)現(xiàn)四邊形ABCD是什么特殊的四邊形？請(qǐng)說(shuō)明理由.

解題分析：在圖形沒(méi)有改變的條件下，顯然學(xué)生能夠猜想到這是一個(gè)正方形，而且根據(jù)正方形的判定方法，顯然只要先證明它是矩形再根據(jù)鄰邊相等，就可以得出。而這些結(jié)論的得出都需要利用好旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì).（具體證明過(guò)程略）

改編意圖：

這個(gè)改編主要是讓學(xué)生理解當(dāng)條件和結(jié)論互換之后，所用的知識(shí)就相應(yīng)的會(huì)發(fā)生改變，原題主要是理解旋轉(zhuǎn)的條件，而此題主要是用好旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，并將正方形的性質(zhì)和判定也融入其中.

2.增加條件——抓準(zhǔn)旋轉(zhuǎn)的三角形

【改編2】

如圖2，在正方形ABCD中，點(diǎn)E，G分別在邊DA、BA上，且∠ECG=45°.

（1）將△CDE繞著點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到△CBF，試分析BG與DE的和與EG有什么數(shù)量關(guān)系？

（2）如圖3，若點(diǎn)E在AD的延長(zhǎng)線上，G在BA的延長(zhǎng)線上，∠ECG=45°，則BG、DE、EG三條線段還有原先的數(shù)量關(guān)系嗎？如果有加以說(shuō)明，如果沒(méi)有，請(qǐng)寫(xiě)出新的數(shù)量關(guān)系.

解題分析：第（1）小題由∠ECG=45°可知△FCG≌△ECG，從而得到EG=FG，而FG=BG+BF=BG+ED，因此BG+ED=EG .

第（2）小題，只是點(diǎn)E的位置改變到AD的延長(zhǎng)線上，仍可以將△CDE繞著點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到△CBF，由∠ECG=45°可知△FCG≌△ECG，仍可得到EG=FG，而此時(shí)FG=BG-BF=BG-ED，即EG= BG-ED.

引申1：在圖2中，若已知BG=3，DE=2，根據(jù)△AEG為直角三角形你可以求出正方形的邊長(zhǎng)嗎？（設(shè)邊長(zhǎng)為x，由題意得（x-3）2+（x-2）2=25，解得x=6）

引申2：若已知正方形的邊長(zhǎng)為6，設(shè)BG=x，DE=y，當(dāng)點(diǎn)G在線段BA上運(yùn)動(dòng)時(shí)（不包括點(diǎn)B、A），試求出y關(guān)于x的函數(shù)解析式及x的取值范圍。（由（1-y）2+（1-x）2=（x+y）2，化簡(jiǎn)得）

【改編3】

如圖4，在正方形ABCD中，點(diǎn)E，G分別在邊DA、BA上，且∠ECG=45°。

連接BD，交CG、CE于M、N。

求證：BM2+ND2=MN2

解題分析：要證BM2+ND2=MN2，可將三條線段通過(guò)旋轉(zhuǎn)變換轉(zhuǎn)化到同一個(gè)Rt△中，依此可將△CDN繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得△CDN′，如圖5，由∠CDN=∠CBM=45°可知△BMN′為Rt△，只要再證明MN=MN′即可，而由∠ECG=45°及旋轉(zhuǎn)變換可得∠MC N′=45°可得△MCN≌△MCN′，故MN=MN′，原命題得證.

引申3：在圖4中，若已知BM=4，DN=3，你能求出正方形的邊長(zhǎng)嗎？（邊長(zhǎng)為 ）

引申4：在圖4中，你能發(fā)現(xiàn)有哪些全等三角形和相似三角形？請(qǐng)一一寫(xiě)出.（略）

改編意圖：

改編3通過(guò)增加條件∠ECG=45°，使得整個(gè)圖形立即復(fù)雜了，但是其中的旋轉(zhuǎn)變換并沒(méi)有改變，只是增加一對(duì)全等三角形出來(lái)，從而發(fā)現(xiàn)三條線段之間的關(guān)系。目的是將旋轉(zhuǎn)變換和圖形的全等進(jìn)一步的結(jié)合，并且化靜為動(dòng)，能夠在運(yùn)動(dòng)后還能找到全等.

改編4在改編3的基礎(chǔ)上并沒(méi)有增加條件，只是連結(jié)了BD 這一條對(duì)角線，而求證的三邊關(guān)系卻和勾股定理是一樣的，因此需要構(gòu)造直角三角形來(lái)解決.

引申1、2在改編3的基礎(chǔ)上進(jìn)一步將方程思想和函數(shù)思想引入此題，實(shí)現(xiàn)了“數(shù)”與“形”的結(jié)合.引申3、4則在改編4的基礎(chǔ)上讓學(xué)生自己去利用結(jié)論進(jìn)行計(jì)算，同時(shí)通過(guò)對(duì)全等三角形和相似三角形的尋找從總體上把握全圖.

3.減少條件——構(gòu)造旋轉(zhuǎn)三角形

若把圖1中的正方形部分隱藏掉.將原本三角形的旋轉(zhuǎn)變成了一條線段的旋轉(zhuǎn)，這樣雖然從圖形上看是簡(jiǎn)單了，但對(duì)于線段之間數(shù)量關(guān)系的發(fā)現(xiàn)卻增加了很大的難度，因此在解題中可以通過(guò)旋轉(zhuǎn)將原圖形補(bǔ)全來(lái)解.

【改編4】

如圖6，在四邊形ABCD中，AB=AD，BC+CD=10，∠A=∠C= 90°，求四邊形ABCD的面積.

【改編4】

如圖7，在圓內(nèi)接四邊形ABCD中，AB=AD，AC=1，∠ACD=60°，求四邊形ABCD的面積.

解題分析：引申3可以過(guò)點(diǎn)A作BC及CD所在的直線的垂線，垂足為E、F（如圖8），由AB=AD，∠A=∠C= 90°可以證明△ABE≌△ADF，因此四邊形的面積轉(zhuǎn)化為正方形AECF的面積，再根據(jù)BC+CD=10，可得正方形的邊長(zhǎng)為5，面積為25.

引申4可以延長(zhǎng)CD至B′使得DB′=BC連結(jié)AB′（如圖9），顯然△ABC≌△ADB，所以AC=AB′，由∠ACD=60°可得△A B′C為等邊三角形，從而把四邊形ABCD的面積轉(zhuǎn)化為△A B′C的面積，由AC=1，可以求出△A B′C的面積為 .

改編意圖：

這兩個(gè)改編題，條件中只有一對(duì)線段相等，粗略一看好像不具備旋轉(zhuǎn)圖形的條件，但是可以通過(guò)添加輔助線的方法構(gòu)造直角三角形的旋轉(zhuǎn)將原先不規(guī)則的圖形面積轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形的面積。一方面體現(xiàn)了旋轉(zhuǎn)變換的在改變線段位置的作用，另一方面將研究的內(nèi)容擴(kuò)充到面積的計(jì)算.同樣這兩該改編題可以進(jìn)一步引申和拓展，你可以發(fā)現(xiàn)圖6中你能發(fā)現(xiàn)BC、CD、AD之間的數(shù)量關(guān)系嗎？（2AD2=BC2+DC2 ）在圖7中你能發(fā)現(xiàn)AC、BC、CD之間的關(guān)系嗎？（AC=BC+CD ）

4.改變圖形——重構(gòu)旋轉(zhuǎn)三角形

通過(guò)改編5已經(jīng)發(fā)現(xiàn)，旋轉(zhuǎn)不一定要在正方形中進(jìn)行，正三角形中也經(jīng)常可以借助旋轉(zhuǎn)來(lái)解決，進(jìn)一步可以探究出只要符合一定的條件均可以借助旋轉(zhuǎn)來(lái)分析線段之間的數(shù)量及位置關(guān)系.

【改編6】

如圖10，四邊形ABCD中，AC、BD是對(duì)角線，△ABC是正三角形，∠ADC=30°，AD=3，BD=5，求CD的長(zhǎng).

解法分析：此題的解法較多，但不管什么辦法都是借助三角形的旋轉(zhuǎn)將兩條已知線段和所要求的線段長(zhǎng)放在一個(gè)直角三角形中利用勾股定理來(lái)進(jìn)行計(jì)算，求得CD=4.現(xiàn)將幾種利用旋轉(zhuǎn)的解法圖形呈現(xiàn)如下（具體解題過(guò)程略）：

【改編7】

（1）如圖11，點(diǎn)M、N分別是等腰直角三角形ABD的邊BD上的點(diǎn)，∠MAN=45°，則MN、BM、DN滿(mǎn)足MN2=BM2+DN2，請(qǐng)證明這個(gè)等量關(guān)系；

（2）如圖12在△ABC中，AB=AC，∠BAC=60°，點(diǎn)D、E分別為BC邊上的兩點(diǎn).∠DAE=30°則BD、DE、EC應(yīng)滿(mǎn)足的等量關(guān)系是 ；

（3）在△ABC中，AB=AC，當(dāng)∠BAC=α，（0°<α<90°），點(diǎn)D、E分別為BC邊上的兩點(diǎn).且∠DAE=0.5α?xí)r，BD、DE、EC應(yīng)滿(mǎn)足的等量關(guān)系是 .

解法分析：

第（1）題，跟改編3一樣證明，第（2）題要將△ABD繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)60°至△ACF，連結(jié)EF，再證明△ADE≌△AFE，將BD、DE、EC放在一個(gè)三角形中，只是這時(shí)不是直角三角形，而是一個(gè)鈍角三角形，此時(shí)可以通過(guò)作垂線段建立三者之間的關(guān)系得到DE2=EF2= EG2+FG2=EC2+BD×

CE+BD2 .

而第（3）題，更加一般化，同（2）可得DE2=EF2= EG2+FG2=EC2+

2BD×CEcosα+BD2.

【改編8】

如圖13，在△ABC中，∠BAC=900，AB

解題分析：由于BP、PQ、CQ三者不在同一個(gè)直角三角形中，因此需要想辦法通過(guò)圖形的變換將三條線段轉(zhuǎn)化到同一個(gè)三角形中，結(jié)合條件M為BC的中點(diǎn)，∠ C+∠B=90°，可以延長(zhǎng)QM至Q′使得MQ′=MQ，連結(jié)BQ′和PQ′（如圖14），相當(dāng)于將△CQM繞點(diǎn)M旋轉(zhuǎn)180°至△BQ′M，再證明PQ= PQ′，就將原先的三條線段轉(zhuǎn)化到Rt△BPQ′中，從而得出BP2+CQ2 =PQ2.

改編意圖：

除了正方形外，正三角形、等腰直角三角形中由于已知多條邊相等和多個(gè)角相等，經(jīng)常會(huì)用旋轉(zhuǎn)變換進(jìn)行線段之間的轉(zhuǎn)化，同時(shí)有時(shí)條件中有中點(diǎn)時(shí)也可以構(gòu)造旋轉(zhuǎn)實(shí)現(xiàn)線段位置的轉(zhuǎn)化，重建幾條線段之間的關(guān)系.也就是說(shuō)只要題目條件中出現(xiàn)幾條邊相等和幾個(gè)角相等那么就可以考慮利用旋轉(zhuǎn)變換來(lái)進(jìn)行線段的移動(dòng)使得幾條不在一個(gè)三角形中的線段放到同一個(gè)三角形中，或者是幾條不在一條直線上的線段放到一條直線上來(lái)，簡(jiǎn)單的說(shuō)就是化“分散”為“集中”，化“折線”為“線段”。只要明確了這個(gè)目的，旋轉(zhuǎn)的作用就得到充分的體現(xiàn).至此關(guān)于此題的改編暫告一個(gè)段落。當(dāng)然此題的進(jìn)一步改編還有很多.先將有關(guān)的改編的主要圖形及關(guān)系呈現(xiàn)如下：

三、對(duì)改編題教學(xué)思考

1.轉(zhuǎn)化和化歸是初中幾何中的重要思想方法，一般來(lái)說(shuō)三條線段之間的關(guān)系主要有和差關(guān)系（a+b=c）及平方關(guān)系（a2+b2=c2），不論哪種關(guān)系的獲得都需把三條線段轉(zhuǎn)化至一個(gè)特殊三角形或一對(duì)全等三角形中。在整個(gè)轉(zhuǎn)化過(guò)程中，需要發(fā)揮圖形變換的作用，這個(gè)包括平移、軸對(duì)稱(chēng)、旋轉(zhuǎn)、相似等變換，在本文中還僅僅是巧妙的運(yùn)用旋轉(zhuǎn)變換來(lái)找到線段之間的數(shù)量關(guān)系。雖然通過(guò)了對(duì)原題的七次改編，如交換問(wèn)題的結(jié)論和條件，增加、減少條件，變換問(wèn)題條件等，但問(wèn)題的本質(zhì)仍然是沒(méi)有變----通過(guò)旋轉(zhuǎn)變換將三條線段變換到一個(gè)或一對(duì)特殊三角形中去.這樣的改編訓(xùn)練，使學(xué)生更容易找到問(wèn)題的本質(zhì)，而不是迷戀于事物的表象，同時(shí)能讓學(xué)生越來(lái)越全面地去看待問(wèn)題。這將會(huì)培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀以及推理能力，這也是課程標(biāo)準(zhǔn)注重發(fā)展的兩大核心能力。

2.通過(guò)本題的改編，告訴老師在實(shí)踐教學(xué)中，要學(xué)會(huì)“借題發(fā)揮”，充分利用教材現(xiàn)有的資源進(jìn)行挖掘改編，發(fā)揮教材資源的“再生”作用，這是教師發(fā)揮自己創(chuàng)造力提高教學(xué)活動(dòng)質(zhì)量的一個(gè)重要方面。教材的資源學(xué)生熟悉，也更貼近學(xué)生的實(shí)際，從教材出發(fā)進(jìn)行引申和挖掘可以提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，從而引導(dǎo)學(xué)生要重視對(duì)教材的再認(rèn)識(shí)和再構(gòu)建。另一方面也能讓學(xué)生學(xué)會(huì)讀題，通過(guò)聯(lián)想書(shū)本中常用圖形去尋找解題的策略，體會(huì)方法中的差異和聯(lián)系，以達(dá)到“觸類(lèi)旁通”的教學(xué)效果。

3.老師在平常上課的時(shí)候，一定要讓學(xué)生在解完一道書(shū)本習(xí)題之后去進(jìn)行進(jìn)一步的思考和改編。因?yàn)槌醪浇馕鲱}目，只是讓信息線性的輸入了大腦，這時(shí)候還只是為進(jìn)一步的網(wǎng)絡(luò)化、結(jié)構(gòu)化和豐富聯(lián)系準(zhǔn)備了基本的素材。事實(shí)上，真正能體現(xiàn)學(xué)習(xí)者主動(dòng)創(chuàng)造性的是：將歷時(shí)性的線性材料組織為一個(gè)共時(shí)性的立體結(jié)構(gòu)。如果說(shuō)，探索活動(dòng)的思維過(guò)程常常帶有自發(fā)的、實(shí)驗(yàn)嘗試性特征的話，那么繼續(xù)進(jìn)行解題編題的思維活動(dòng)就帶有較多自覺(jué)的、理論提煉性的特征了.誰(shuí)也無(wú)法教會(huì)我們解所有的題目，重要的是，通過(guò)有限道題的學(xué)習(xí)去領(lǐng)悟那種解無(wú)限道題的數(shù)學(xué)機(jī)智。

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