高中數(shù)學(xué)建模的思考

王院

[摘 要] 從多層次多角度對(duì)問(wèn)題進(jìn)行思考并利用數(shù)學(xué)建模解決實(shí)際問(wèn)題能夠更好地培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維能力，教師在實(shí)際教學(xué)中應(yīng)結(jié)合教學(xué)內(nèi)容對(duì)數(shù)學(xué)模型進(jìn)行學(xué)習(xí)與研究并幫助學(xué)生展開(kāi)數(shù)學(xué)建模與應(yīng)用的探索.

[關(guān)鍵詞] 高中數(shù)學(xué)；數(shù)學(xué)建模；含義；阻礙；途徑

高中學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的動(dòng)機(jī)基本都是為了應(yīng)付高考，因此，學(xué)生從內(nèi)心渴求數(shù)學(xué)思維的發(fā)展這種心理需要是極其少見(jiàn)的，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的主動(dòng)創(chuàng)新意識(shí)更是微乎其微，如何激發(fā)學(xué)生內(nèi)心渴求并形成思維與創(chuàng)新意識(shí)發(fā)展成為廣大高中數(shù)學(xué)教師需要解決的重要問(wèn)題，數(shù)學(xué)建模教學(xué)正是這一教學(xué)需要下所提出的有效方法.

我國(guó)高中數(shù)學(xué)教學(xué)大綱要求廣大高中數(shù)學(xué)教師在教學(xué)中應(yīng)切實(shí)培養(yǎng)學(xué)生解決實(shí)際問(wèn)題的能力與數(shù)學(xué)應(yīng)用的意識(shí)，使學(xué)生能夠在解決實(shí)際問(wèn)題中樹(shù)立建模意識(shí)并學(xué)會(huì)靈活運(yùn)用. 事實(shí)上，高中數(shù)學(xué)必修與選修教材對(duì)于數(shù)學(xué)建模都進(jìn)行了各種不同形式的滲透，因此，高中數(shù)學(xué)教師應(yīng)積極探索數(shù)學(xué)建模的教學(xué)案例并使學(xué)生能夠在教師的引導(dǎo)與培養(yǎng)中獲得更加廣闊的思考空間與豐富體驗(yàn).

數(shù)學(xué)建模的含義

著名數(shù)學(xué)家懷特海曾經(jīng)說(shuō)過(guò)數(shù)學(xué)就是對(duì)于模式的研究這樣的話. 數(shù)學(xué)建模包含了函數(shù)模型、方程模型、不等式模型、數(shù)列模型、三角模型、幾何模型這幾種常見(jiàn)的類型，面對(duì)如此眾多的建模類型，學(xué)生在數(shù)學(xué)實(shí)際問(wèn)題的建模過(guò)程中應(yīng)該做出怎樣的選擇才會(huì)獲得最佳的效果是數(shù)學(xué)建模中的一個(gè)難點(diǎn)，這一難點(diǎn)的處理也是學(xué)生數(shù)學(xué)能力的反映和體現(xiàn). 高中數(shù)學(xué)教師在具體的教學(xué)中應(yīng)注重多種建模方式的滲透，高中各知識(shí)模塊中所涉及的內(nèi)容是多方面的，函數(shù)與導(dǎo)數(shù)、三角函數(shù)、立體幾何、解析幾何、數(shù)列、概率等諸多方面的內(nèi)容都可以在數(shù)學(xué)建模教學(xué)中得到有效的落實(shí).

數(shù)學(xué)建模的一般步驟（見(jiàn)圖1）：

從上述步驟中我們不難發(fā)現(xiàn)，將實(shí)際問(wèn)題正確抽象成數(shù)學(xué)問(wèn)題是數(shù)學(xué)建模解決實(shí)際問(wèn)題的關(guān)鍵所在，觀察分析實(shí)際問(wèn)題并從中提煉出正確的數(shù)學(xué)模型并將其納入應(yīng)有的知識(shí)系統(tǒng)中進(jìn)行處理是數(shù)學(xué)建模解決問(wèn)題的主要環(huán)節(jié).這對(duì)于學(xué)生的抽象能力、觀察能力、分析能力以及綜合類比能力來(lái)說(shuō)都是一種挑戰(zhàn). 教師應(yīng)將數(shù)學(xué)建模意識(shí)貫穿教學(xué)始終并不斷引導(dǎo)學(xué)生觀察、分析各種事物間的關(guān)系與信息，使學(xué)生能夠在不斷的分析與綜合中抽象出自己熟悉的數(shù)學(xué)模型，長(zhǎng)期的教學(xué)滲透與引導(dǎo)必然能使學(xué)生較好地養(yǎng)成數(shù)學(xué)建模的思考意識(shí)與習(xí)慣.

數(shù)學(xué)建模教學(xué)受到的阻礙

1. 知識(shí)點(diǎn)分散

高中數(shù)學(xué)教材在數(shù)學(xué)建模內(nèi)容的編寫上并不集中，分散在各個(gè)教學(xué)單元中的很多內(nèi)容之間無(wú)法建立直接的聯(lián)系，學(xué)生在解決具體問(wèn)題時(shí)較難綜合運(yùn)用各部分知識(shí)，數(shù)學(xué)建模教學(xué)也就失去了應(yīng)有的優(yōu)勢(shì)與目的.

2. 學(xué)生洞察能力欠缺

很多學(xué)生在生活方面的知識(shí)與經(jīng)驗(yàn)欠缺直接導(dǎo)致其數(shù)學(xué)生活化應(yīng)用的困難，再加上地區(qū)、學(xué)習(xí)能力等因素，學(xué)生在現(xiàn)實(shí)問(wèn)題的洞察中表現(xiàn)出的能力往往差強(qiáng)人意，很多學(xué)生即使能夠獲得比較準(zhǔn)確的數(shù)據(jù)信息也沒(méi)有能力進(jìn)行很好的處理，種種原因?qū)е逻@部分學(xué)生在具體問(wèn)題的建模過(guò)程中往往感覺(jué)無(wú)從下手.

3. 教師教育理念的偏差

很多教師在數(shù)學(xué)教學(xué)中只看重學(xué)生解題的結(jié)果，解題之前的方法選擇與思考都不甚關(guān)注，所以在解題方法的選擇上更加沒(méi)有對(duì)學(xué)生進(jìn)行引導(dǎo)與培養(yǎng)，這種不重視數(shù)學(xué)建模的教學(xué)理念直接導(dǎo)致學(xué)生建模意識(shí)的欠缺，學(xué)生數(shù)學(xué)建模能力的欠缺往往導(dǎo)致其學(xué)習(xí)效果一落千丈.

數(shù)學(xué)建模教學(xué)的途徑

1. 教師本身提高建模意識(shí)

教師建模意識(shí)的提升意味著教育思想與教學(xué)觀念的更新以及教學(xué)內(nèi)容與要求上的變化. 因此，教師在具體教學(xué)中首先應(yīng)對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)科的發(fā)展歷史與動(dòng)態(tài)進(jìn)行了解與研究，不斷學(xué)習(xí)新的數(shù)學(xué)建模理論并鉆研數(shù)學(xué)知識(shí)在現(xiàn)實(shí)生活中的實(shí)際應(yīng)用與發(fā)展. 北京大學(xué)附中的張思明老師對(duì)于生活中的數(shù)學(xué)往往能夠做到觀察入微，張老師曾經(jīng)在大街上看到一則“本店承接A1型號(hào)影印”的廣告并對(duì)A1型號(hào)是什么產(chǎn)生了好奇，他在搞清各種型號(hào)比例關(guān)系以后便將這一生活素材引進(jìn)了課堂教學(xué)中，很多人不以為意的小小事例對(duì)于數(shù)學(xué)教師建模教學(xué)的滲透來(lái)說(shuō)卻是極有意義的.

2. 結(jié)合現(xiàn)行教材進(jìn)行滲透

教師在具體教學(xué)中首先應(yīng)根據(jù)各章教學(xué)內(nèi)容來(lái)確定可以引入的模型問(wèn)題并進(jìn)行研究. 比如，正方體或長(zhǎng)方體模型可以引入立體幾何的教學(xué)和具體的問(wèn)題解決中；兩點(diǎn)間的距離模型可以引入解析幾何兩點(diǎn)間距離的相關(guān)問(wèn)題中；還有一些儲(chǔ)蓄、信用貸款的問(wèn)題可以結(jié)合數(shù)列的相關(guān)內(nèi)容進(jìn)行教學(xué). 教師對(duì)各章節(jié)內(nèi)容建模的研究會(huì)潛移默化地影響到學(xué)生，學(xué)生在數(shù)學(xué)建模的滲透、應(yīng)用之中對(duì)研究數(shù)學(xué)建模也會(huì)產(chǎn)生極大的興趣，運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行數(shù)學(xué)建模的能力也會(huì)在長(zhǎng)期的積累與練習(xí)中大大提升.

3. 關(guān)聯(lián)其他學(xué)科

數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)關(guān)鍵在于其應(yīng)用，其他自然科學(xué)或社會(huì)科學(xué)的學(xué)習(xí)往往也會(huì)借助很多數(shù)學(xué)知識(shí)的應(yīng)用，因此，教師應(yīng)首先意識(shí)到數(shù)學(xué)學(xué)科與其他學(xué)科之間的呼應(yīng)與緊密聯(lián)系，學(xué)生對(duì)其他學(xué)科的理解很多時(shí)候會(huì)依賴數(shù)學(xué)知識(shí)的應(yīng)用，由此可見(jiàn)數(shù)學(xué)建模意識(shí)的培養(yǎng)對(duì)于學(xué)生的知識(shí)能力發(fā)展來(lái)說(shuō)極為重要的.

例如，教師在正弦函數(shù)的教學(xué)之后可以將模型函數(shù)y=Asin（ωx+φ）與物理學(xué)科中的振動(dòng)圖像或交流圖像聯(lián)系起來(lái). 再如，學(xué)生在學(xué)習(xí)金剛石的物理屬性之時(shí)可用立體幾何模型對(duì)其鍵角arccos-=109°28′進(jìn)行驗(yàn)證等等，這樣的模型應(yīng)用對(duì)于學(xué)生來(lái)說(shuō)已經(jīng)不僅僅是數(shù)學(xué)知識(shí)了，其他學(xué)科的學(xué)習(xí)應(yīng)用與數(shù)學(xué)建模的融合對(duì)于學(xué)生學(xué)習(xí)能力與意識(shí)的發(fā)展都是極具價(jià)值的.

4. 結(jié)合專題討論與建模法

教師在具體教學(xué)中可以引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)代數(shù)法建模、圖解法建模等專題分別進(jìn)行討論、分析與研究，使學(xué)生在熟悉、理解建模思想的同時(shí)掌握其方法.不僅如此，教師還可以在具體教學(xué)中經(jīng)常引導(dǎo)學(xué)生觀察生活日常并選擇實(shí)際問(wèn)題進(jìn)行建模練習(xí)，使學(xué)生能夠在嘗試建模的過(guò)程中體驗(yàn)到成功的喜悅并因此拓寬學(xué)生的視野與知識(shí)面.

例如：筆直的街道兩旁有n座房子，假設(shè)每座房子中都有一個(gè)或一個(gè)以上的孩子，則這些孩子在大街的什么位置集合才能使其走的路程之和最少？

5. 注重案例教學(xué)

學(xué)生在典型案例的分析與學(xué)習(xí)中往往能夠更好地理解建模的優(yōu)勢(shì)并因此大大提高數(shù)學(xué)建模的效率，因此，教師在平時(shí)教學(xué)中應(yīng)注重對(duì)經(jīng)典建模案例的研究并將之引入實(shí)際教學(xué)中.

例如，甲、乙兩人約定到距離出發(fā)點(diǎn)20 km的地方辦事，兩人出發(fā)時(shí)一人步行、一人跑步，當(dāng)跑步者到達(dá)途中某個(gè)地點(diǎn)時(shí)改成步行，而步行的則在此刻改成跑步至該地點(diǎn)，然后再改成步行，已知跑步與步行的速度分別為10 km·h-1、5 km·h-1，甲乙兩人至少要花多少時(shí)間才能到達(dá)目的地呢？

學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中經(jīng)常會(huì)接觸此類行程問(wèn)題，因此，教師在具體教學(xué)中應(yīng)將其作為一種典型案例進(jìn)行講解，使學(xué)生能夠在典型案例的數(shù)學(xué)建模教學(xué)中獲得更加深刻的理解與豐富的體驗(yàn)，不僅如此，學(xué)生在典型案例的建模教學(xué)中還能更好地掌握數(shù)學(xué)建模的方式，并因此不斷提升自己數(shù)學(xué)建模解決實(shí)際問(wèn)題的能力.

從多層次多角度對(duì)問(wèn)題進(jìn)行思考并利用數(shù)學(xué)建模解決實(shí)際問(wèn)題能夠更好地培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維能力，對(duì)于學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)與素質(zhì)教育來(lái)說(shuō)也是一條很有意義的途徑. 教師在實(shí)際教學(xué)中應(yīng)對(duì)數(shù)學(xué)模型進(jìn)行研究與學(xué)習(xí)并幫助學(xué)生展開(kāi)數(shù)學(xué)應(yīng)用與數(shù)學(xué)建模的探索，使學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)產(chǎn)生興趣的同時(shí)提升自己的實(shí)踐能力，學(xué)生的智力開(kāi)發(fā)、能力發(fā)展、自信心建立都會(huì)在有意義的數(shù)學(xué)建模教學(xué)中一一實(shí)現(xiàn).