基于分段常值推力的水滴懸停構(gòu)型控制策略

白晟州， 王慧疆， 韓潮， 張斯航

(北京航空航天大學(xué)宇航學(xué)院， 北京 100083)

隨著空間領(lǐng)域的研究、開(kāi)發(fā)以及應(yīng)用的不斷提高，航天器功能與結(jié)構(gòu)日趨復(fù)雜，航天器在軌服務(wù)技術(shù)可以有效地保證航天器在復(fù)雜的空間環(huán)境中持久、穩(wěn)定、高質(zhì)量地在軌運(yùn)行，因而成為當(dāng)前空間技術(shù)研究的熱門(mén)[1-6]。航天器在軌服務(wù)技術(shù)主要包含在軌檢查、交會(huì)對(duì)接和編隊(duì)飛行等，其中涉及的一個(gè)核心問(wèn)題是航天器的繞飛問(wèn)題，即通過(guò)對(duì)任務(wù)航天器施加脈沖或推力，使其繞目標(biāo)航天器作近距離周期運(yùn)動(dòng)。根據(jù)任務(wù)航天器繞目標(biāo)航天器運(yùn)動(dòng)的周期與目標(biāo)航天器本身運(yùn)動(dòng)的周期的比值，可以將繞飛分為“快速繞飛”與“慢速繞飛”。從更廣的意義上說(shuō)，通過(guò)對(duì)任務(wù)航天器施加脈沖或推力，使其與目標(biāo)航天器距離始終保持在一定范圍內(nèi)，也可以稱(chēng)作繞飛。

作為經(jīng)典相對(duì)運(yùn)動(dòng)方程，C-W(Clohessy-Wiltshire)方程得到了廣泛的關(guān)注與應(yīng)用。趙書(shū)閣和張景瑞[7]基于C-W方程研究了航天器共面圓型快速繞飛問(wèn)題并相應(yīng)分析了2種典型方法；林來(lái)興[8]研究了繞飛軌道動(dòng)力學(xué)和穩(wěn)定性；師鵬等[9]基于線性動(dòng)力學(xué)模型，分析了有限推力下的航天器繞飛性質(zhì)；潘屹[10]對(duì)C-W方程的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣進(jìn)行了推導(dǎo)，給出了選擇懸停軌道的方法。這些理論進(jìn)一步完善和發(fā)展了C-W方程理論，但工程應(yīng)用價(jià)值有待提高。為了實(shí)現(xiàn)任務(wù)航天器對(duì)目標(biāo)航天器的懸停或繞飛，設(shè)計(jì)基于脈沖控制和小推力控制的繞飛構(gòu)型策略成為熱門(mén)研究。Straight等[11]提出了以圓形軌道參考衛(wèi)星為中心的特定環(huán)形區(qū)域內(nèi)的特定點(diǎn)的脈沖制導(dǎo)方案； Hope和Trask[12]提出一種脈沖控制下的水滴懸停構(gòu)型；Lovell和Tollefson[13]進(jìn)一步給出了水滴懸停構(gòu)型的參數(shù)表示方法；饒殷睿等[14]基于相對(duì)軌道要素描述了水滴懸停構(gòu)型；王功波等[15]在圓參考軌道和連續(xù)小推力條件下，推導(dǎo)了快速繞飛策略；羅建軍等[16]分析了快速受控繞飛；朱小龍等[17]提出了一種參數(shù)延拓方法，實(shí)現(xiàn)了有限推力bang-bang控制下的繞飛軌跡優(yōu)化問(wèn)題；張冉等[18]推導(dǎo)了4種受迫繞飛構(gòu)型的解析表達(dá)式和脈沖控制策略，完善了受迫繞飛構(gòu)型設(shè)計(jì)理論。

上述方法均可實(shí)現(xiàn)懸?；蚴芷壤@飛，但模型構(gòu)建存在一定的局限性。大部分研究都是基于圓軌道假設(shè)，即參考軌道是圓軌道，無(wú)法有效地解決非圓參考軌道下的受迫繞飛問(wèn)題；對(duì)于懸停構(gòu)型，大多采用脈沖推力或連續(xù)小推力實(shí)現(xiàn)構(gòu)型的保持，工程應(yīng)用難度較大。針對(duì)上述情況，本文提出了多段常值推力控制實(shí)現(xiàn)水滴懸停構(gòu)型的打靶方程，分析了近距離相對(duì)運(yùn)動(dòng)條件下兩段常值推力控制的可行性，數(shù)值仿真顯示分段常值小推力可以實(shí)現(xiàn)水滴懸停相對(duì)運(yùn)動(dòng)，與脈沖推力或連續(xù)小推力控制相比，更加符合工程實(shí)際。

1 水滴懸停構(gòu)型

水滴懸停構(gòu)型是航天器懸停構(gòu)型中一種典型構(gòu)型[19]，可同時(shí)滿足懸停和高精度要求。將構(gòu)型建立在質(zhì)心非慣性坐標(biāo)系中，如圖1所示。

圖1 水滴懸停構(gòu)型三維示意圖Fig.1 Schematic diagram of 3D teardrop hovering configuration

1.1 水滴懸停打靶方程

給出經(jīng)典軌道攝動(dòng)方程：

(1)

根據(jù)水滴懸停構(gòu)型，可以得到施加脈沖前后任意時(shí)刻對(duì)應(yīng)的軌道要素，不妨設(shè)施加脈沖前某時(shí)刻為t0，施加脈沖后的某時(shí)刻為tf，則對(duì)應(yīng)的軌道要素分別為為X(t0)和X(tf)，若在X(t0)處施加多段常值推力，使其在tf時(shí)刻軌道要素剛好為X(tf)，則實(shí)現(xiàn)了用多段常值推力代替脈沖實(shí)現(xiàn)水滴懸停構(gòu)型。

假定任務(wù)航天器在一個(gè)水滴周期內(nèi)通過(guò)N段常值推力維持懸停構(gòu)型，則常值小推力f可表示為

f=f(t1,t2,…,tN-1,Ft1,Fn1,Fh1,…，F(xiàn)tN,FnN,

FhN)=f(t1,t2,…,tN-1,μ1,μ2，…，μN(yùn))

(2)

根據(jù)上述分析，可建立相應(yīng)的打靶方程。

(3)

1.2 最小二乘法求解常值推力

因?yàn)閿z動(dòng)方程是高度非線性的微分方程組，無(wú)法直接求解常值推力解析解，同時(shí)每段推力的作用時(shí)間也未知，也是待求量，所以將原方程問(wèn)題轉(zhuǎn)化為極值問(wèn)題求解，考慮到構(gòu)造極值問(wèn)題：

by optf,t1,t2,…,tN-1

subject to:

(4)

顯然，優(yōu)變量隨著推力段數(shù)的增加而增加，相應(yīng)的計(jì)算時(shí)間也會(huì)大量增加，計(jì)算精度不能得到保證，且推力段數(shù)過(guò)多導(dǎo)致控制復(fù)雜，不利于工程實(shí)際應(yīng)用。應(yīng)當(dāng)考慮采用盡可能少的推力段數(shù)實(shí)現(xiàn)常值推力控制。

2 單段常值推力與多段常值推力

首先分析只采用一段常值推力下的情況：

(5)

式中：ft,fn,fh為t時(shí)刻μ1在3個(gè)方向上的投影分量。將μ1看作參數(shù)，根據(jù)常微分方程解對(duì)參數(shù)的連續(xù)依賴(lài)性，X(μ1,tf)為關(guān)于μ1的可微連續(xù)函數(shù)，即X(μ1,tf)局部上是一個(gè)三維微分流形，而X(μ1,tf)的值本身是六維空間的元素。顯然，三維流形無(wú)法覆蓋六維空間，也就是說(shuō)，很多情況下，不存在滿足條件的μ1，使得

X(tf)=X(μ1,tf)=X(μ1,t0)+

(6)

其次，考慮兩段常值推力，假設(shè)兩段常值推力作用時(shí)間相同，則代入最小二乘優(yōu)化函數(shù)里，優(yōu)化變量只有兩段常值推力，即六維變量。小鄰域定理保證了解的局部存在性。

小鄰域定理：近距離運(yùn)動(dòng)假設(shè)下，固定時(shí)間內(nèi)，對(duì)于參考軌道，存在一個(gè)小鄰域?qū)ζ渲腥我庖稽c(diǎn)，一定存在兩段常值推力解。

數(shù)學(xué)描述如下：

設(shè)X1(μ1,μ2,tf)是兩段常值推力軌道，在t0時(shí)刻與參考軌道X0(t0)相等，在[t0,(t0+tf)/2]內(nèi)推力為μ1；在[(t0+tf)/2,tf]內(nèi)推力為μ2；對(duì)于tf時(shí)刻參考軌道瞬時(shí)要素X(tf)，一定存在以其為圓心的一個(gè)鄰域B(X(tf),δ)(見(jiàn)圖2)，對(duì)其中任意一點(diǎn)Xtf，一定存在μ1,μ2，使得X1(μ1,μ2,tf)在tf時(shí)刻的軌道要素恰好是Xtf。

證明根據(jù)小推力線化方程[20]，有

(7)

式中：E0、Eh和Ef為參考軌道X0(t)分別在t0、(t0+tf)/2和tf時(shí)的偏近點(diǎn)角；A(E0,Eh)與A(Eh,Ef)均表示線化矩陣，具體表示詳見(jiàn)文獻(xiàn)[20]在近距離運(yùn)動(dòng)假設(shè)下，小推力線化方程的系數(shù)矩陣C可以近似代替雅可比陣。detC≠0，所以雅可比陣行列式不為零，根據(jù)逆映射定理，一定存在一個(gè)小鄰域滿足一一映射。

證畢

根據(jù)小鄰域定理，只要設(shè)計(jì)的推力曲線終端六要素位于以參考軌道終端時(shí)刻的六要素為圓心的小球內(nèi)，常值推力一定有解，因此，若設(shè)計(jì)的推力曲線終端六要素與參考軌道終端時(shí)刻的六要素滿足近距離相對(duì)運(yùn)動(dòng)假設(shè)，很大可能存在一對(duì)常值推力滿足：

圖2 小鄰域定理示意圖Fig.2 Schematic diagram of small neighborhood theorem

(8)

其中:推力f滿足：

(9)

3 修正公式

采用最小二乘法得到的雙段常值推力解往往精度較差，考慮采用迭代方法對(duì)解進(jìn)行修正，提高精度準(zhǔn)確性。

設(shè)映射函數(shù)F:Rn→Rn。

若存在根x0，使得F(x0)=0，且F(x0)的Jacobi矩陣JF(x0) 滿秩，若矩陣A≈JF(x0)。

證明對(duì)任意x,y∈B(x0,δ)，定義：

g(x)=x-A-1F(x)，g(y)=y-A-1F(y)

g(x)-g(y)=(x-y)-A-1(F(x)-F(y))=

(x-y)-A-1JF(y)(x-y)-A-1L(x-y)=

(I-A-1JF(y))(x-y)-A-1L(x-y)

這是因?yàn)楫?dāng)x和y與x0接近，A-1JF(y)≈I,又有，若xk∈δ1，xk+1=xk-A-1F(xk)，則

xk+1-x0=xk-x0-A-1F(xk)-

A-1F(x0)=(I-A-1JF(x0))(xk-

x0)+m(xk-x0)xk-x0→0,m→0

由公式：

得

(10)

故xk+1∈B(x0,δ)。

證畢

(11)

可以提高最小二乘解的精度。

4 數(shù)值仿真

設(shè)參考星K的軌道要素為X=(a,e,i,Ω,ω,M)=(7 555 000 m，0，π/4，0，0，0)，其中半長(zhǎng)軸單位為m。任務(wù)航天器W繞K作水滴懸停運(yùn)動(dòng)，水滴構(gòu)型幾何參數(shù)為(xhover,yhover,zhover,du)=(1 000 m，0，2 000 m，π/3)，其中du表示水滴構(gòu)型維持一周時(shí)參考星K繞地球轉(zhuǎn)過(guò)的弧度，用以表征水滴構(gòu)型的周期。

首先，根據(jù)方程式(4)，采用最小二乘法嘗試尋找一組多段推力解(μ1,μ2,μ3,μ4,μ5)。常值推力時(shí)間Δt為參考星K繞地球轉(zhuǎn)過(guò)0.124 rad所需時(shí)間。代入方程式(4)使用最小二乘法求解，并進(jìn)行了計(jì)算機(jī)仿真，仿真結(jié)果如圖3所示。

在(x,z)=(930,275 0) m時(shí)，任務(wù)航天器開(kāi)始施加常值推力，直至(x,z)=(1 100,2 750) m時(shí)停止施加推力，其中一共采用了5段常值推力，推力結(jié)束后，任務(wù)航天器進(jìn)入自由段，不再施加推力，直到下一個(gè)周期/往復(fù)循環(huán)，表明確實(shí)存在多段常值推力控制可以代替脈沖推力使目標(biāo)航天器繞參考星進(jìn)行周期性水滴懸停運(yùn)動(dòng)，同時(shí)也說(shuō)明最小二乘法可以較好地求解多段常值推力。

設(shè)參考星K的軌道要素仍然為X=(a,e,i,Ω,ω,M)=(7 555 000 m，0，π/4，0，0，0)，半長(zhǎng)軸單位為m，任務(wù)航天器W繞K作水滴懸停運(yùn)動(dòng)，水滴構(gòu)型幾何參數(shù)為(xhover,yhover,zhover,du)=(1 000 m，0，1 000 m，2π/3)。常值推力時(shí)間Δt為參考星K繞地球轉(zhuǎn)過(guò)π/9所需時(shí)間。

盡管5段常值推力實(shí)現(xiàn)了周期性水滴懸停運(yùn)動(dòng)，但計(jì)算時(shí)間較長(zhǎng)，控制較復(fù)雜。為了減少求解時(shí)間，得到更簡(jiǎn)單的推力控制策略，考慮兩段常值推力實(shí)現(xiàn)懸停構(gòu)型，即在N=2的情況下進(jìn)行了仿真，首先通過(guò)最小二乘法得到雙推力初值，得到的結(jié)果精度差于5段常值推力控制，然后使用精度法對(duì)兩段推力解進(jìn)行精度修正，修正后的解精度較好，最后仿真結(jié)果如表1和表2所示。

圖4為僅用最小二乘法得到的兩段推力解。綠色軌跡代表施加脈沖推力的仿真效果，藍(lán)色段表示為無(wú)推力段，紅色段代表施加兩段常值推力作用后的結(jié)果?？梢钥闯觯瑑啥纬Ｖ低屏緦?shí)現(xiàn)了水滴懸停構(gòu)型控制，但控制精度較差，與原先構(gòu)型重合度較差。

如圖5所示，綠色軌跡代表施加脈沖推力的仿真效果，藍(lán)色段表示為無(wú)推力段，紅色段代表施加兩段常值推力作用后的結(jié)果。在(x,z)=(-300,3 500) m時(shí)，任務(wù)航天器開(kāi)始施加常值推力，直至(x,z)=(2 250,3 300)m時(shí)停止施加推力，推力結(jié)束后，任務(wù)航天器進(jìn)入自由段，不再施加推力，直到下一個(gè)周期往復(fù)循環(huán)?？梢钥吹剑t色段與綠色段重合度較高，說(shuō)明雙段常值推力解的精度較高，可以代替脈沖推力進(jìn)行水滴懸停構(gòu)型控制。

圖3 五段常值推力下仿真結(jié)果Fig.3 Simulation results of five-segment constant thrust

推力/(m·s-2)μ1μ2ft0.006796-0.006789fn-0.018311-0.0183068fh00

表2 修正后兩段常值推力結(jié)果Table 2 Results of modified two-segmentconstant thrust

圖4 未修正的兩段常值推力解Fig.4 Solution of unmodified two-segment constant thrust

圖5 修正后的兩段常值推力解Fig.5 Solution of modified two-segment constant thrust

仿真結(jié)果表明，兩段推力也可以很好地實(shí)現(xiàn)水滴懸?？刂?，具有較好的穩(wěn)定性。由于待解變量較少，相比多段常值推力，計(jì)算速度更快。

5 結(jié) 論

基于脈沖控制下的水滴懸停構(gòu)型和攝動(dòng)方程，進(jìn)一步研究可以得到：

1) 多段常值推力控制問(wèn)題可以轉(zhuǎn)化為求解水滴懸停構(gòu)型的打靶方程，最小二乘法是一種求解此類(lèi)問(wèn)題的實(shí)用方法。

2) 小鄰域定理為近距離相對(duì)運(yùn)動(dòng)條件下兩段常值推力控制提供了可行性，懸停構(gòu)型采用兩段常值推力，一定程度上保證了解的存在性，也縮小了優(yōu)化變量的數(shù)量，提高優(yōu)化精度并減少優(yōu)化時(shí)間。

3) 若最小二乘解的精度不夠，但距離理想解不太遠(yuǎn)，那么采用迭代方法對(duì)最小二乘解進(jìn)行修正，可以提高精度，甚至收斂到理想解。