王昌林 羅萍雙 劉成龍

摘要：本文給出了2018年常州市中考物理第28題（Ⅲ）解答的三種視角和12種方法，

關鍵詞：中考壓軸題;視角;解法

研究試題解法是研究中考的基本形式和主要內容.對中考試題的解法研究一般可從一題多解、多題一解、錯解分析等視角展開.其中，一題多解指的是對一道試題所涉及內容從橫向和縱向進行把握，立足于不同的角度，運用不同的方法進行探討，進而獲得多種解法，下面對2018年常州中考第28題（Ⅲ）的解法進行深度剖析，以此加深讀者對試題的深度認識！

試題如圖1，二次函數(shù)y=-1/3x2+bx+2的圖象與x軸交于點A、B，與）y軸交于點C，點A的坐標為（-4，0），點P是拋物線上一點（點P與點A、B、C不重合）.

（I）略;（Ⅱ）略;（Ⅲ）連接AC、BC，判斷∠CAB和∠CBA的數(shù)量關系，并說明理由.

解（I）6=一5/6，點B的坐標為（3/2，0）;

（Ⅲ）的解答如下：

視角l 構造“半倍角模型”

思路1 由“倍角構造半角”，結合對稱性解答.

解法l如圖2，在x軸的正半軸上取A'，使BA'=BC，則∠CBA =2∠CA'B.

由題可得OB=3/2，OC =2，則BA'=BC=5/2，OA= OB+ BA'=4.故OA'=OA，從而有CA'=CA.

因此∠CAB=∠CA'B，即∠CBA =2∠CAB.

思路2 由“半角構造全角”，利用勾股定理與面積法求各邊邊長、求正切值.

解法2 如圖3，取點C關于x軸的對稱點C'，連接AC'，作CG⊥AC'于點G，可求tan∠CAG=CG/AG=4/3，且tan∠OBC=OC/OB=4/3

故∠CAG= ∠OBC，從而有∠CBA =2∠CAB.

思路3 由“半角構造全角”，利用勾股定理求正切值.

解法3 如圖4，在OA邊上取點B'，使AB'=CB'，則∠OB'C=2∠CAB.

設AB'=CB'=x，OB'=4 -x，可得tan ∠OB'C=tan ∠OBC=4/3，故∠CBA=2∠CAB.

思路4 由“半角構造全角”，利用直角三角形斜邊上的中線性質解答.

解法4 如圖5，作Rt△OAC斜邊AC上的中線OM以及高線OH，則∠OMC =2∠CAB.

可得 tan∠OMC= tan∠ OBC=4/3.

故∠ CBA =2∠ CAB.

視角2 利用角平分線

思路5 平分較大的角，構造相等的橋梁，

解法6 如圖6，作∠ABC的角平分線，交y軸于點K，再作KT⊥BC于點T，可證Rt△OKB≌Rt△TKB.

則OB=TB=3/2，CT=CB一TB=1.

設OK= TK=x，則CK =2 -x

在Rt△CKT中，x2+1=（2一x）2，解得x=3/4.

即OK=3/4.

文中給出的試題常規(guī)解法和高等（高中）解法，請讀者細細品味解法間的關聯(lián)性和獨特性.