覃淋 李秀萍

摘要：一元二次方程是初中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容之一，關(guān)于一元二次方程的解法也是多種多樣.本文考查了歷史上一元二次方程的幾何解法，發(fā)現(xiàn)早在公元前3000年，古巴比倫人就已經(jīng)利用幾何方法來解決一些二次方程.通過對(duì)歷史上的一元二次方程的幾何解法的梳理，可以看出，代數(shù)與幾何的聯(lián)系是密不可分的.

關(guān)鍵詞：一元二次方程;數(shù)學(xué)史;幾何解法

今天，我們已經(jīng)很少注意到解一元二次方程的幾何方法了.而且在整個(gè)初中的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中，也很少介紹用其它的方法，如幾何方法來解一元二次方程.因?yàn)橹苯佑靡辉畏匠痰那蟾骄涂梢越鉀Q所有的一元二次方程.一些數(shù)學(xué)老師認(rèn)為，沒有必要再介紹其它的方法來加重學(xué)生的負(fù)擔(dān)，充其量用幾何圖形來說明一下一元二次方程的根的意義就可以.同樣的，對(duì)于那些認(rèn)為數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)就是解題的學(xué)生來說，幾何方法似乎也沒有多少的實(shí)用價(jià)值，只要記住求根公式就可以求解任意的一元二次方程，但在歷史上很長(zhǎng)的一段時(shí)間，幾何方法的影響卻要遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過代數(shù)的方法.本文通過對(duì)歷史上的一元二次方程的幾何解法的梳理，可以看出代數(shù)與幾何的聯(lián)系非常緊密;讓學(xué)生意識(shí)到不同數(shù)學(xué)分支之間是有非常緊密的聯(lián)系的，以幫助學(xué)生形成整體的數(shù)學(xué)觀念.同時(shí)也旨在說明[1]：數(shù)學(xué)史在數(shù)學(xué)教育中扮演著重要的角色，數(shù)學(xué)史是一座寶藏;數(shù)學(xué)史的重要教育價(jià)值還有待于進(jìn)一步開發(fā)，數(shù)學(xué)教育工作者可從中汲取有益的養(yǎng)料.也希望這些內(nèi)容可以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣、增強(qiáng)學(xué)生的信心，促進(jìn)學(xué)生欣賞和理解數(shù)學(xué).

1 巴比倫泥版中的解法

美索不達(dá)米亞文明是世界上最古老的文明之一，古希臘人所謂“美索不達(dá)米亞”就是指“兩河流域”.在兩河流域的歷史上，以古巴比倫文明的發(fā)達(dá)程度為最.19世紀(jì)以來，考古學(xué)家對(duì)古巴比倫進(jìn)行了系統(tǒng)的發(fā)掘，發(fā)現(xiàn)了大量的泥版.這些泥版上刻有許多的數(shù)學(xué)問題及其解，或是某些數(shù)學(xué)表，二次方程是其中涉及較多的內(nèi)容之一.某些二次方程可以化為如下的標(biāo)準(zhǔn)形式：x±y =b，x·y=c.

相當(dāng)于解一元二次方程x²一bx+c=0.這很可能

這種方法，我們今天稱之為“和差術(shù)”，直到今天這種方法還被廣泛使用.古希臘代數(shù)學(xué)家丟番圖在其名著《算術(shù)》中，也是利用和差術(shù)來解決一些二次方程.如《算術(shù)》卷I第27 -30題的二次方程都是用“和差術(shù)”解決的.更讓人驚訝的是，在18世紀(jì)出版的法國數(shù)學(xué)家洛必達(dá)的著作《圓錐曲線分析》中，洛必達(dá)也采用了“和差術(shù)”來推導(dǎo)橢圓和雙曲線的方程，這種方法顯然比今天教材中采用的“兩次平方法”更簡(jiǎn)潔和更容易理解.

此外，《幾何原本》第2卷的命題11相當(dāng)于給出了求解一元二次方程x²+ax=a²的幾何方法;第6卷的命題28、29分別相當(dāng)于解決了x²- ax+ b²=0、x²-ax -b²=0這兩類二次方程的幾何解法.

3 伊斯蘭數(shù)學(xué)家的方法

公元9世紀(jì)的伊斯蘭數(shù)學(xué)家花拉子米（ Al - Kh-warizmi，780 -850）的著作《代數(shù)學(xué)》中，也采用了“幾何代數(shù)”的方法來解一元二次方程.《代數(shù)學(xué)》第4章有這樣一個(gè)問題：已知一個(gè)數(shù)的平方與它自身的10倍的和為39，求這個(gè)數(shù).相當(dāng)于解x²+10x= 39.他給出的方法是：將根的倍數(shù)（即一次項(xiàng)系數(shù)）取半，得到5，然后自乘，積為25，把它加上39，和為64;然后開方取其根得8，再從它中減去根的倍數(shù)的一半，余3，這就是要找的數(shù).如圖5，先作一個(gè)邊長(zhǎng)為x的正方形，然后再添上兩個(gè)寬都為5的矩形，那么正方形面積和這兩個(gè)矩形面積之和為x²+ lOx= 39.再補(bǔ)上一個(gè)面積為25的小正方形，得到一個(gè)大正方形，其面積為64，很容易得到x=3.

此外，花拉子米還討論過x²+c=bx這類方程的幾何解法.與花拉子米同時(shí)代的伊斯蘭數(shù)學(xué)家伊本·圖科電用幾何方法討論過x²+c=bx這樣一類方程的解法，同時(shí)他還用幾何方法說明了X2 +30= lOx無解.在花拉子米之后，塔比·伊本·庫拉（Thabit ibnQurra，830 - 890）在其著作《以幾何方法證明代數(shù)問題》中也討論了二次方程的幾何解法[4]，如解方程x²+bx=c，如圖6，AB代表x，正方形ABCD代表x²，BE代表b.那么DE =AB×EA表示c，如果W是BE的中點(diǎn)，由于EA×AB+ BW²=AW²，而EA×AB =c、BW²=（b/2）2，可以求出AW²，那么x=AB：AW - BW.進(jìn)一步可以用類似的方法去處理x²= bx+c.

4 斐波拉契的方法

中世紀(jì)歐洲著名的數(shù)學(xué)家斐波納契（Leonardo Fi-bonacci，1170 - 1240）認(rèn)為，算術(shù)和幾何是相互聯(lián)系的.在其著作《算盤書》的前言里寫著：“如果不利用幾何學(xué)，或沒有看到數(shù)的算術(shù)運(yùn)算與幾何相近，那么數(shù)的全部知識(shí)就不能得到呈現(xiàn).”和許多伊斯蘭數(shù)學(xué)家一樣，斐波納契也常常利用幾何圖形來證明他的結(jié)果.《算盤書》中討論了一些類型的一元二次方程的幾何解法，還給出了大量的例題.如他用幾何方法解決了一元二次方程x²+36 4/7x=182 6/7.

如圖7，構(gòu)造一個(gè)邊長(zhǎng)為未知數(shù)x的正方形KLMN，延長(zhǎng)LM至Q，延長(zhǎng)K至P，并使得MQ= NP=36 4/7，那么矩形KLQP的面積就是182 6/7.再取MQ

但是笛卡爾沒有給出方程x²+ax+b²=0的根的作圖法，因?yàn)樵摲匠痰膬蓚€(gè)根均為負(fù)數(shù).

6 卡萊爾的方法

不要以為只有數(shù)學(xué)家才對(duì)這類問題感興趣，19世紀(jì)英國著名文學(xué)家卡萊爾（Thomas Carlyle，1795 -1881）在愛丁堡大學(xué)讀書期間，在平面解析幾何的基礎(chǔ)上給出了任意一元二次方程實(shí)根的一個(gè)十分簡(jiǎn)潔的幾何求法，這一方法后來被蘇格蘭數(shù)學(xué)家萊斯列（J.Leslie，1766 -1832）收入《幾何基礎(chǔ)》（1817）中.

設(shè)一元二次方程為x²+bx+c =0，如圖9，作一個(gè)以（0，1）和（-b，c）直徑端點(diǎn)的圓，如果方程x²+bx+c=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，那么這個(gè)圓就與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，這兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)就是方程的根.如果方程只有一個(gè)實(shí)數(shù)根，那么這個(gè)圓就與x軸相切，切點(diǎn)的橫坐標(biāo)就是方程的解;如果方程無解，那么圓與x軸無交點(diǎn).

通過對(duì)一元二次方程的幾何解法的梳理，可以看到，歷史留給了我們豐富而寶貴的遺產(chǎn)，許多的數(shù)學(xué)思想方法幾乎都可以從古代數(shù)學(xué)著作中找到源頭.數(shù)學(xué)的歷史表明：數(shù)學(xué)的發(fā)展常常是出于解決實(shí)際問題的需要，首先都是以直觀的和實(shí)驗(yàn)的形式展現(xiàn)的，經(jīng)過很長(zhǎng)時(shí)間的發(fā)展，再變?yōu)榻炭茣型昝蓝到y(tǒng)的形式.數(shù)學(xué)知識(shí)內(nèi)部發(fā)生發(fā)展的過程，對(duì)于學(xué)生理解和學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)有著不可估量的價(jià)值，這也需要教育工作者和數(shù)學(xué)史研究者進(jìn)一步挖掘數(shù)學(xué)史料的教育價(jià)值，以便更好的為數(shù)學(xué)課堂教學(xué)服務(wù)，另外，通過幾何法解一元二次方程，在直觀上可以加強(qiáng)學(xué)生對(duì)該數(shù)學(xué)知識(shí)的理解，同時(shí)還可以讓學(xué)生體會(huì)到代數(shù)與幾何之間具有非常密切的聯(lián)系.

參考文獻(xiàn)：

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