淺談圓錐曲線(xiàn)的第三定義及運(yùn)用

◎楊麗

新課程數(shù)學(xué)教學(xué)，實(shí)現(xiàn)的是學(xué)生對(duì)所學(xué)知識(shí)的螺旋式上升。在新授課過(guò)程中，對(duì)選修2－1第41頁(yè)例3“設(shè)點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為(－5，)0，( 5，0).直線(xiàn)AM，BM相交于點(diǎn)M，且它們的斜率之積是，求點(diǎn)M的軌跡方程.”，僅僅是對(duì)用直接法求軌跡方程的應(yīng)用。但在高三一輪復(fù)習(xí)中，學(xué)生的認(rèn)知能力全面提升，在復(fù)習(xí)到橢圓時(shí)，應(yīng)重溫此例，并對(duì)其拓展到橢圓的第三定義，適時(shí)擴(kuò)充到雙曲線(xiàn)的第三定義，并加以應(yīng)用。

一、橢圓的第三定義

證明：以焦點(diǎn)在軸上的橢圓為例，構(gòu)造△PAB的PA邊所對(duì)的中位線(xiàn)MO，kPA＝kMO

二、雙曲線(xiàn)的第三定義

證明：只需將橢圓中的b2全部換成－b2就能將橢圓結(jié)論轉(zhuǎn)換成雙曲線(xiàn)的結(jié)論。

三、簡(jiǎn)單運(yùn)用例題

（1）若直線(xiàn)l1：y＝k1x＋1與直線(xiàn)l2：y＝k2x－1的交點(diǎn)在橢圓2x2＋y2＝1上，則k1k2的值為_(kāi)________.

化簡(jiǎn)得：k1k2＝－2

法二：直接利用橢圓的第三定義，交點(diǎn)視為點(diǎn)P

則k1k2＝－2

點(diǎn)評(píng)：從以上兩種解法可以看到：法一完全體現(xiàn)解析幾何的“本色”——運(yùn)算，平鋪直敘，一氣呵成，但計(jì)算量較大，易計(jì)算容易出錯(cuò)；法二直接利用橢圓的第三定義解題，省去繁瑣的計(jì)算，提高效率。

點(diǎn)評(píng)：兩頂點(diǎn)一動(dòng)點(diǎn)的模型聯(lián)想到第三定義，那么剩下的任務(wù)就是把題目中的角轉(zhuǎn)化為兩直線(xiàn)的傾斜角，把正余弦轉(zhuǎn)化為正切。而題目中的正余弦化正切是三角函數(shù)的常見(jiàn)考點(diǎn)。

點(diǎn)評(píng)：在此法中，合理利用M、N的對(duì)稱(chēng)關(guān)系是解題的關(guān)鍵，這樣可以利用橢圓的第三定義將兩者斜率的關(guān)系聯(lián)系起來(lái)，既構(gòu)造了“一正”，又構(gòu)造了“二定”，利用基本不等式“三相等”即可用a、b表示出最值1。

四、能力提升練習(xí)

（1）已知雙曲線(xiàn)C：x2－y2＝2019的左、右頂點(diǎn)分別為A、B，P為雙曲線(xiàn)右支上一點(diǎn)，且∠PAB＝4∠APB，則∠PAB＝______.

可見(jiàn)，在解題中，要落實(shí)到定義，它是一切后繼知識(shí)應(yīng)用的牢固根基。要想準(zhǔn)確運(yùn)用好橢圓、雙曲線(xiàn)的第三定義解題，在審題中，抓住曲線(xiàn)上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的兩點(diǎn)，斜率等關(guān)鍵詞是快速入手的關(guān)鍵。