賈曉玲，田曉麗，范旭，朱豪坤，王春柳

（1.中北大學(xué)機電工程學(xué)院，太原030051；2.遼沈工業(yè)集團(tuán)有限公司，沈陽110045）

制導(dǎo)火箭彈是一種介于普通彈箭和導(dǎo)彈之間的彈箭，是普通彈藥與現(xiàn)代高新技術(shù)相結(jié)合的典范，具有射擊精度高、成本較低的特點。目前，彈箭上的制導(dǎo)執(zhí)行機構(gòu)大體分為3類：阻力器、脈沖發(fā)動機、鴨舵。其中，鴨舵執(zhí)行機構(gòu)以其驅(qū)動靈活適應(yīng)能力強的特點受到國內(nèi)外科研工作者的青睞[1]。制導(dǎo)火箭彈在中制導(dǎo)階段[2]結(jié)束后，彈箭需通過基準(zhǔn)彈道預(yù)先確定的空間坐標(biāo)并具有利于末制導(dǎo)控制階段的速度矢量方向。但彈箭實際飛行彈道在發(fā)動機推力偏心、橫風(fēng)等擾動因素作用下會產(chǎn)生未知的彈道偏差，不能與預(yù)先設(shè)定的基準(zhǔn)彈道重合[3]。因此，研究制導(dǎo)火箭彈中制導(dǎo)段彈道的規(guī)劃問題十分必要。文獻(xiàn)[4]概述了多種常見軌跡優(yōu)化方法的算法、特點、應(yīng)用以及未來的發(fā)展趨勢；文獻(xiàn)[5]研究了Gauss偽譜法在多級固體運載火箭上升段軌跡快速優(yōu)化設(shè)計中的應(yīng)用；文獻(xiàn)[6]側(cè)重對滑翔型制導(dǎo)炸彈的最大射程優(yōu)化問題進(jìn)行探討；文獻(xiàn)[7]研究了彈箭最大末速隨射程的變化規(guī)律。但國內(nèi)外對彈道規(guī)劃影響因素方面的研究較少。本文建立了考慮飛行過程中彈箭能量損失大小的彈道規(guī)劃問題最優(yōu)控制模型，通過高斯偽譜法仿真驗證，對影響中制導(dǎo)階段制導(dǎo)火箭彈末速的因素進(jìn)行研究。

1 火箭彈彈道規(guī)劃計算模型的建立

1.1 狀態(tài)方程

由于求解最優(yōu)控制問題的過程中迭代次數(shù)較多，計算時間較長，故彈箭運動狀態(tài)方程不應(yīng)太復(fù)雜[2]，在不影響求解精度前提下作如下簡化：

1）文中彈箭系尾翼式火箭彈，出炮口時轉(zhuǎn)速極低，因而不考慮滾轉(zhuǎn)的影響；

2）中制導(dǎo)階段規(guī)劃彈道的計算與火箭彈實時姿態(tài)無太大關(guān)系，相應(yīng)簡化；

3）不考慮地球曲率及自轉(zhuǎn)對彈箭飛行過程的影響。

得到有控制點彈道方程為[1]：

式

（1）、（2）中：x為射程；y為彈箭飛行高度；z為彈箭偏航距離；v為彈箭相對于空氣的速度；θα為方向角；ψ為高低角；ρ為空氣密度；m為彈箭質(zhì)量；CD為攻角為零時的摩阻系數(shù)；S為彈箭參考面積；g為重力加速度；Fx為控制力附帶的阻力增值；Fy為舵面偏轉(zhuǎn)引起的縱向可控力；Fz為舵面偏轉(zhuǎn)引起的側(cè)向可控力。

由舵面產(chǎn)生的控制力F滿足：式（3）中：Cδ為舵偏角修正系數(shù)；Q為動壓；SW為舵翼面積。

飛行力學(xué)中常利用過載n評定彈箭的機動性[8]。將有控彈道方程（1）中由舵面產(chǎn)生的可控力F修改為過載n，兩者滿足：

從而得到如下彈箭運動狀態(tài)方程：

式（5）中，nz1、nz2分別為縱向過載和橫向過載，即控制變量。

1.2 代價函數(shù)

彈箭在中制導(dǎo)階段依靠主動段終點獲得的能量飛向目標(biāo)，并且部分機械能用于克服空氣阻力作了功。為在末制導(dǎo)階段開始時保留較大的彈箭末速，代價函數(shù)取為動能損失最小，即：

式（6）中：v0為彈箭中制導(dǎo)階段起始速度；vf為中制導(dǎo)階段末速度。

1.3 控制約束與邊界條件

彈箭在空中飛行時，由舵面產(chǎn)生的過載存在其上限[1]。有：

式中，nmax為舵面提供過載上限。

彈道優(yōu)化問題的初始約束表示為：

式（8）中，下標(biāo)為0的參量是彈道規(guī)劃過程開始時給定的初始值，分別對應(yīng)式（1）中各參量。

終值約束表示為：

式（9）中，下標(biāo)為f的參量是彈道規(guī)劃過程結(jié)束時的終端值，分別對應(yīng)式（1）中各參量。

優(yōu)化過程末速度v(tf)及所需時間tf無法預(yù)判，自由取值。

2 高斯偽譜法

高斯偽譜方法對于求解非線性最優(yōu)控制問題具有良好的收斂性和較低的初值敏感度，且計算量低、精度高，受到眾多國內(nèi)外學(xué)者的推崇[5]。

2.1 時域變換

最優(yōu)控制問題的系統(tǒng)運動時間區(qū)域為[t0,tf，t0]表示初始時刻，tf表示終端時刻，高斯偽譜法將時間區(qū)間進(jìn)行無量綱化轉(zhuǎn)換到[-1,1]區(qū)間，并對系統(tǒng)時間t作如下變換：

無量綱化變換后的變量可通過構(gòu)造PK(τ)插值多項式近似：

式（11）的根即Legendre-Gauss（LG）點。記K階LG點的集合為κ。Gauss偽譜法通過LG點和τ0=-1構(gòu)造離散節(jié)點，記節(jié)點組成的集合為κ0，以K+1個拉格朗日插值多項式Li(τ)為基函數(shù)來近似狀態(tài)變量內(nèi)的時間因素，即：

式（12）中：

2.2 終端狀態(tài)約束離散

根據(jù)動力學(xué)方程有：

式(15)包含的積分因子可近似為高斯積分形式：

2.3 方程約束離散

狀態(tài)量微分形式可通過對拉格朗日插值多項式求導(dǎo)近似得到，進(jìn)而復(fù)雜的微分方程求解過程可近似為代數(shù)求解，即：

微分矩陣D由下式確定：

式（18）中：τk為集合κ中的點；τi屬于集合κ0。

2.4 代價函數(shù)離散

對代價函數(shù)式（6）基于Gauss積分進(jìn)行近似，得到的近似代價函數(shù)如下：

式（19）中：Φ為非積分項指標(biāo)；g為積分項指標(biāo)的被積分項。

2.5 優(yōu)化求解模型建立

通過以上數(shù)學(xué)變換可將文中彈道規(guī)劃問題描述為：首先，將系統(tǒng)運動時間區(qū)間[t0,tf]無量綱化；其次，確定離散點上的狀態(tài)變量和控制變量；最后，解算出終端時刻，并使代價函數(shù)（19）最小。優(yōu)化過程參量應(yīng)滿足初始狀態(tài)約束和終端狀態(tài)約束，分別為：

式（20）、（21）中，k=1,2,…,K。

邊界條件和路徑約束分別為：

3 彈道仿真與分析

3.1 邊界條件選取

某型制導(dǎo)火箭彈相關(guān)參數(shù)為：彈重m=57kg，參考面積S=0.047 m2，舵面積Sw=0.003 2 m2。動力飛行段在2 s左右，測量裝置和計算裝置對規(guī)劃彈道初始數(shù)據(jù)的實時測算在4 s左右。因此，啟動彈箭執(zhí)行裝置應(yīng)在6 s之后[2]。依據(jù)在標(biāo)準(zhǔn)狀態(tài)下計算6D彈道微分方程得到的理想彈道可知，火箭彈在大約37 s時到達(dá)彈道最大高度。彈道規(guī)劃起控時刻及對應(yīng)的彈道各項初始參數(shù)如表1、圖1所示。

表1 彈道規(guī)劃起控時刻及各項初始參數(shù)Tab.1 Start-up time and initial parameters of trajectory planning

圖1 彈道規(guī)劃起控時刻對應(yīng)彈道位置Fig.1 Trajectory position corresponding to the control time of trajectory planning

彈道爬升段起控點設(shè)置較多，因為彈箭在此階段運動歷程尚短，彈箭機械能克服外界阻力損耗較少，故此階段出現(xiàn)最佳起控點的概率較大。而彈箭運動至彈道下降段時，一方面總能量損耗漸大，另一方面彈箭相距目標(biāo)位置點越來越近，彈道規(guī)劃過程為滿足終端約束條件，須要舵面提供較大的控制過載，從而間接增大了彈箭飛行阻力，減小彈箭抵達(dá)目標(biāo)位置點時的速度。

彈道規(guī)劃終端條件約束如表2所示。

表2 終值條件Tab.2 Terminal numerical conditions

3.2 仿真結(jié)果分析

在仿真規(guī)劃彈道中選取6 s起控（基準(zhǔn)彈道初始階段）、24 s起控（基準(zhǔn)彈道中段）、57 s起控（基準(zhǔn)彈道末階段）這3條代表性的彈道進(jìn)行分析，分別如圖2～5所示。

圖2 不同起控時間對應(yīng)飛行距離曲線Fig.2 Flight distance curve corresponding to different start-up time

圖3 不同起控時間對應(yīng)彈道高度曲線Fig.3 Trajectory altitude curve corresponding to different start-up time

圖4 不同起控時間對應(yīng)偏航距離曲線Fig.4 Yaw distance curve corresponding to different start-up time

圖5 不同起控時間對應(yīng)規(guī)劃彈道末速度Fig.5 Planned terminal trajectory velocity corresponding to different start-up time

分析圖2可知，彈箭起控時間越早，到達(dá)規(guī)劃彈道有效射程所需的時間越短；分析圖3可知，彈箭起控時間過早對規(guī)劃彈道目標(biāo)高度影響較大，而在標(biāo)準(zhǔn)彈道頂點附近及之后起控對規(guī)劃彈道目標(biāo)高度幾乎沒有影響；分析圖4可知，6 s起控時偏航彈道會發(fā)生較大曲折，原因是彈箭必須通過多余的位移和控制過載來同時達(dá)到規(guī)劃彈道終點的三坐標(biāo)分量終值；57 s起控時會出現(xiàn)無法到達(dá)預(yù)定目標(biāo)位置的情況，原因是彈道規(guī)劃時間太短，到達(dá)目標(biāo)位置需要的控制過載量過大，已超出彈箭能提供的過載上限；而24 s起控時對應(yīng)的對應(yīng)的偏航彈道相對平滑，彈道斜率（即速度矢量）始終為正且維持在較小的變化范圍內(nèi)，說明此時起控控制過載變化較小，彈箭的飛行穩(wěn)定性可以得到有效保證。

分析圖5可知，彈道規(guī)劃起始時刻在27 s左右時，彈箭到達(dá)預(yù)定目標(biāo)位置點末速度最大，偏早或偏晚起控都會導(dǎo)致末速度有所削減，最多可使末速度減小11%左右。

在靶場試驗中，用相控陣?yán)走_(dá)對5發(fā)制導(dǎo)火箭彈在射程25km處的末速進(jìn)行了測量，第1發(fā)作為基準(zhǔn)彈道，末速為358.4 m/s，其余4發(fā)以仿真計算中末速最大對應(yīng)的27 s為起控點，末速分別為347.9 m/s、350.2 m/s、349.2 m/s、356.7 m/s，誤差范圍在3%以內(nèi)，驗證了仿真計算的正確性。

4 結(jié)論

利用高斯偽譜法對某制導(dǎo)火箭彈中制導(dǎo)段彈道規(guī)劃模型進(jìn)行求解，以動能損耗最小為代價函數(shù)，分析了起控時間對彈箭到達(dá)預(yù)定目標(biāo)位置末速的影響。仿真和分析結(jié)果表明：

1）起控時間越早，彈箭可越早到達(dá)目標(biāo)位置點；

2）選取合適的起控時間可以有效保證彈箭的飛行穩(wěn)定性；

3）起控時間偏早或偏晚，會導(dǎo)致彈箭到達(dá)規(guī)劃彈道末端時的速度削減11%左右。

仿真結(jié)果與靶場的初步試驗結(jié)果相吻合，驗證了其可靠性，為今后深入開展這方面的研究有一定參考意義。