陸建

摘要：本文針對(duì)當(dāng)前教育界普遍重視發(fā)散性思維，忽視聚合性思維的現(xiàn)狀，提出了課堂教學(xué)應(yīng)該對(duì)兩種思維方式給予同等關(guān)注的觀點(diǎn)，并列舉兩則案例對(duì)此觀點(diǎn)進(jìn)行了解讀。

關(guān)鍵詞：發(fā)散思維;聚合思維;直線和圓的位置關(guān)系;直線與橢圓的位置關(guān)系

中圖分類(lèi)號(hào)：G633.6文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A文章編號(hào)：1992-7711（2019）05-018-2

發(fā)散性思維，是指從一點(diǎn)向四面八方想開(kāi)去，探求多種答案，最終使問(wèn)題獲得圓滿(mǎn)解決的思維方法。聚合性思維則是指從已知信息中產(chǎn)生邏輯結(jié)論，從現(xiàn)成資料中尋求正確答案的一種有方向、有條理的思維方式。它是一種有方向、有范圍、有條理的收斂性思維方式，與發(fā)散思維相對(duì)應(yīng)。

縱觀當(dāng)前課堂教學(xué)，教師往往對(duì)發(fā)散思維懷有極大的熱情，對(duì)聚合思維卻多有冷落，以致有時(shí)把“創(chuàng)新”與發(fā)散思維劃等號(hào)。而實(shí)際上，發(fā)散思維和聚合思維是相輔相成的，兩者不可偏廢。國(guó)際上對(duì)于聚合思維的研究（代表人物是吉爾伯特）已經(jīng)成果累累，在教學(xué)中加以借鑒是應(yīng)該的。

一、一個(gè)簡(jiǎn)單的案例

案例1如何判斷直線和圓的位置關(guān)系

教學(xué)中，我們通常會(huì)引導(dǎo)學(xué)生采用下面的兩種方法。

方法一（基于觀察）設(shè)圓心M到直線l的距離為d，⊙M的半徑為r，則

l與⊙M相交d

l與⊙M相切d=r（如圖2）

l與⊙M相離d>r（如圖3）

方法二（基于推理）把直線l的方程和⊙M的方程聯(lián)立，消去y（或x）得到一元二次方程，記判別式為，則

l與⊙M相交>0

l與⊙M相切=0

l與⊙M相離<0

這就是數(shù)學(xué)思維的常見(jiàn)形式：歸納和演繹。這里的兩種方法都可以把相關(guān)問(wèn)題“全部”解決掉，在學(xué)生看來(lái)都顯得非常成功。但是我們知道，面對(duì)一組觀察的對(duì)象（比如圖1，2，3），人能夠看到的東西其實(shí)很多（比如圓心、半徑、周長(zhǎng)、面積，直線的方向等等）。學(xué)生是如何忽略掉其他因素而只看到“位置關(guān)系”以及“點(diǎn)到直線距離”的？按常理，觀察中最容易看到的是單個(gè)的事物，兩個(gè)事物之間的“聯(lián)系”則是不容易看到的。這只是得益于一個(gè)先決條件：學(xué)生的頭腦里有一個(gè)觀察目標(biāo)。因?yàn)橛辛四繕?biāo)的指引，本來(lái)可以無(wú)限發(fā)散的實(shí)際觀察就變得明確與集中，從而體現(xiàn)為思維的聚合性。方法二中面對(duì)兩個(gè)方程，學(xué)生更不是去求出解來(lái)，而是把判別式的值用到位置關(guān)系的判斷上……每一步中也都有明確的目的性。

不論歸納還是演繹，每一步思維的方向都可以很多，其中的比較、甄別、調(diào)控、接續(xù)、流轉(zhuǎn)等無(wú)不需要主動(dòng)的調(diào)控。思維的開(kāi)闊性、靈活性之外還有深刻性與批判性，發(fā)散思維與聚合思維并重才能培養(yǎng)出良好的思維品質(zhì)。

二、新方法的獲得：發(fā)散與聚合的交互作用

案例1的兩種方法，學(xué)生在情感上傾向于第一種（觀察法），因?yàn)榇朔ㄟ\(yùn)算量也較小而且直觀易懂。但是，老師們一般不會(huì)止步于此，他們要把兩種方法全介紹給學(xué)生。遺憾的是，在老師講“方法二”的時(shí)候，學(xué)生的態(tài)度往往是“哦，我知道了?！?，在后繼的解題活動(dòng)中同學(xué)們?nèi)匀恢辉敢馐褂谩胺椒ㄒ弧薄?/p>

任何時(shí)候，要讓一個(gè)人在情感態(tài)度價(jià)值觀上有所轉(zhuǎn)變（哪怕是微小的轉(zhuǎn)變），靠“告知”是沒(méi)有作用的，這種轉(zhuǎn)變只能來(lái)自他的主觀意愿，而這只有讓他們通過(guò)體驗(yàn)去感悟、領(lǐng)會(huì)才能實(shí)現(xiàn)。下面通過(guò)案例2來(lái)說(shuō)明這一點(diǎn)。

案例2如何判斷直線與橢圓的位置關(guān)系

把圓換成橢圓時(shí)，幾何直觀就已經(jīng)失效了。教學(xué)中我們通常設(shè)直線方程y=kx+m，橢圓方程x2a2+y2b2=1（a>0，b>0，a≠b），然后聯(lián)立方程：y=kx+mx2a2+y2b2=1，消去y，得到一個(gè)一元二次方程，再利用位置關(guān)系與根的關(guān)系，實(shí)質(zhì)上也就是案例1中的方案二。雖然此法比較麻煩，但是因?yàn)樵瓉?lái)的“方法一”不能再用，學(xué)生也就只能予以接受（每個(gè)人的內(nèi)心都是渴望成功的，此時(shí)使問(wèn)題得以解決就是一種成功），但是其心中不免留有遺憾。

心中的遺憾就是一種情感沖突，如能轉(zhuǎn)變?yōu)檎J(rèn)知沖突，就可以成為新思維的觸發(fā)點(diǎn)。教師的主導(dǎo)作用這時(shí)就應(yīng)該發(fā)揮了：難道方法一真的行不通嗎？橢圓和圓從形狀上看是如此相似，應(yīng)該有可能把我們所喜歡的方法一應(yīng)用到橢圓上！這個(gè)扎根于學(xué)生數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的問(wèn)題，對(duì)學(xué)生有著非常大的誘惑力！因?yàn)檫@是讓他們做自己“喜歡”的事情。

那么，思維的方向是什么？肯定不能漫無(wú)目標(biāo)，否則只能是茫然無(wú)措。抓住“從圓到橢圓”的背景變更，從其本源處入手就是很自然的選擇。

探究1圓上的點(diǎn)到圓心的距離等于定長(zhǎng)（半徑），橢圓上的點(diǎn)到兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之和等于定長(zhǎng)（長(zhǎng)軸長(zhǎng)）。當(dāng)橢圓漸漸“圓化”，兩個(gè)焦點(diǎn)也就漸漸靠近。因此，我們不妨這樣來(lái)認(rèn)識(shí)橢圓與圓：當(dāng)橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)重合時(shí)，該橢圓就成為圓。

設(shè)圓方程為x2+y2=r2（r>0），橢圓方程為x2a2+y2b2=1（a>b>0）。設(shè)l是圓的切線，則圓心O到l的距離為r是定值;設(shè)l是橢圓的切線，焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2到l的距離分別為d1，d2，那么d1+d2有何特征呢？是定值嗎？

當(dāng)切線l的方程為x=a時(shí)，d1+d2=（a+c）+（a-c）=2a，

當(dāng)切線l的方程為y=b時(shí)，d1+d2=2b，

顯然d1+d2不是定值，此路不通！換個(gè)方向再試試！

當(dāng)切線l的方程為x=a時(shí)，d1d2=（a+c）（a-c）=a2-c2=b2，

當(dāng)切線l的方程為y=b時(shí)，d1d2=b2，是定值！有點(diǎn)激動(dòng)人心了！于是我們不妨大膽地進(jìn)行下面的：

探究2上面已經(jīng)對(duì)特殊的直線進(jìn)行了驗(yàn)證，為了把所有的直線包含在內(nèi)，我們將研究下面的

猜想：設(shè)F1，F(xiàn)2是橢圓M：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)F1，F(xiàn)2到直線l：mx+ny+p=0（m，n不同時(shí)為0）的距離分別為d1，d2，且直線l與橢圓M相切，則d1·d2=b2。

證明：聯(lián)立方程組mx+ny+p=0x2a2+y2b2=1，消去y可得

（a2m2+b2n2）x2+2a2mpx+a2（p2-b2n2）=0（）

=（2a2mp）2-4（a2m2+b2n2）a2（p2-b2n2）

=4a2b2n2（a2m2+b2n2-p2）=0，

即a2m2+b2n2=p2。

因?yàn)闄E圓焦點(diǎn)F1（-c，0），F(xiàn)2（c，0），其中c2=a2-b2，所以

d1d2=|-mc+p|m2+n2·|mc+p|m2+n2=|p2-m2c2|m2+n2

=|a2m2+b2n2-m2（a2-b2）|m2+n2=b2。

猜想得到了證明！探究成功。我們明確地看到了“思維方向”的重要性，如果沒(méi)有方向的引領(lǐng)，則探究行動(dòng)能否開(kāi)始都是很可懷疑的。當(dāng)然，反向是選擇來(lái)的，在其背后有思維的發(fā)散性做依托。在整個(gè)過(guò)程中，發(fā)散和聚合是交織在一起的，有時(shí)很難分清彼此。

三、進(jìn)一步的拓廣

問(wèn)題進(jìn)一步發(fā)散為：定理1可逆嗎？即

橢圓M：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的兩個(gè)焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2到直線l：mx+ny+p=0（m，n不同時(shí)為0）的距離分別為d1，d2，如果d1·d2=b2，那么直線l一定是橢圓M的切線嗎？

根據(jù)慣例，先用特例試一試。由此想法很容易就得到了如下的反：如圖中，直線l過(guò)原點(diǎn)，當(dāng)橢圓具有b

這個(gè)問(wèn)題出在直線把橢圓的焦點(diǎn)分在兩側(cè)，此時(shí)直線與橢圓相交便是很自然的。老師們當(dāng)然知道，這時(shí)因?yàn)辄c(diǎn)到直線距離的“無(wú)方向性”造成的，如果考慮到距離的方向性，上述距離一正一負(fù)，乘積只能是d1·d2=-b2。于是自然地把探究轉(zhuǎn)向“F1，F(xiàn)2在直線l的同側(cè)”的情形，而這在直觀很值得期待。仿照探究2，很容易得到下面的結(jié)果：

設(shè)F1，F(xiàn)2是橢圓M：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的兩個(gè)焦點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2到直線l：mx+ny+p=0（m，n不同時(shí)為0）的距離分別為d1，d2，且F1，F(xiàn)2在直線l的同側(cè)。如果d1·d2=b2，那么直線l一定是橢圓M的切線。

至此我們就得到了用兩個(gè)焦點(diǎn)到直線距離之積判斷直線與橢圓相切的充要條件。很自然地（又是聚合思維），我們可以將之遷移到相交和相離的情形分別是d1·d2b2（具體過(guò)程略）

四、新的方向：遷移至雙曲線

又是思路的自然延伸，我們要探究雙曲線的情形。幾乎不需要再花非力氣，我們就想到了下面的

定理：設(shè)F1，F(xiàn)2是雙曲線M：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的兩個(gè)焦點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2到不平行于雙曲線的漸近線的直線l：mx+ny+p=0（m，n不同時(shí)為0）的距離分別為d1，d2，且F1，F(xiàn)2在直線l的兩側(cè)。那么

直線l與雙曲線M相切d1·d2=b2;

直線l與雙曲線M相交d1·d2

直線l與雙曲線M相離d1·d2>b2。

以上是在老師引導(dǎo)下的學(xué)生探究活動(dòng)，老師所引領(lǐng)的主要是聚合性的，而學(xué)生活動(dòng)時(shí)則是聚合與發(fā)散相結(jié)合。正是這樣的思維活動(dòng)促進(jìn)了學(xué)生創(chuàng)新能力的提高，也讓他們體會(huì)到了發(fā)現(xiàn)的樂(lè)趣，體驗(yàn)到了自由思考的威力。因此，在日常的教學(xué)中，教師必須將發(fā)散思維與聚合思維并重，以培養(yǎng)學(xué)生的優(yōu)質(zhì)思維品質(zhì)。

[參考文獻(xiàn)]

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