常秦

摘要：“概率論與數(shù)理統(tǒng)計”是高校許多專業(yè)重要的數(shù)學類基礎課。本著“以學生的學習成果為中心評價教育”的原則，本文分析了課程的目標教學效果，提出除了由知識點掌握情況代表的基本教學效果外，還應實現(xiàn)包括提升數(shù)學素養(yǎng)、對學科體系有大致了解、提高解決實際問題的能力、深入理解重要思想等更高層次的教學效果。結合對教學現(xiàn)狀的分析，本文提出以精細化的教學設計全面提升教學效果，并歸納出四種易于應用的教學設計模式。

關鍵詞：概率論與數(shù)理統(tǒng)計;教學效果;教學設計;數(shù)學素養(yǎng);案例教學

中圖分類號：G642.0? ? 文獻標識碼：A? ? ?文章編號：1002-4107（2019）05-0019-04

“概率論與數(shù)理統(tǒng)計”是研究和揭示隨機現(xiàn)象統(tǒng)計規(guī)律性的學科，在眾多領域都有著廣泛的應用，是高等院校許多專業(yè)都開設的數(shù)學類基礎課。它以另外兩門重要的數(shù)學基礎課“高等數(shù)學”和“線性代數(shù)”為先導，是大學本科生接觸到的第一門探討和研究隨機現(xiàn)象的學科，具有與實際問題聯(lián)系極其密切、應用廣泛的特點，并且蘊含許多與確定性數(shù)學研究所不同的思想和解決問題的方法。數(shù)學家拉普拉斯說過：“生活中最重要的問題，絕大部分其實只是概率問題?！盵1]統(tǒng)計學家C. R. Rao說：“在抽象的意義下，一切科學都是數(shù)學;在理性的世界里，所有的判斷都是統(tǒng)計學?！憋@然，“概率論與數(shù)理統(tǒng)計”能夠使學生收獲的，要遠多于課本上的公式、定理和知識點，也不僅僅關系到后續(xù)課程的學習，甚至能夠影響到學生的一生。2018年6月，陳寶生部長在新時代全國高等學校本科教育工作會上的講話中強調，“把‘培養(yǎng)人作為根本任務”，“以學生的學習結果為中心評價教育，以學生學到了什么、學會了什么評判教育的成效”。那么，“概率論與數(shù)理統(tǒng)計”能夠和應當使大學生學會什么，收獲什么，達到什么樣的教學效果？如何實現(xiàn)？這正是本文要探討的。

一、“概率論與數(shù)理統(tǒng)計”能夠實現(xiàn)的教學效果

最基本也是最為師生重視的教學效果，是對知識點的掌握，是通過課程的學習，學生應當能夠掌握概率論與數(shù)理統(tǒng)計的基本概念、理論和方法等重要知識點，并初步掌握運用概率統(tǒng)計方法分析和解決問題的能力。這類教學效果是相對容易通過考試、作業(yè)等方式評價的。然而，雖然我們稱之為“基本的教學效果”，它卻并不能夠輕松達成。一方面，總有學生由于不夠用功、不夠重視或學習不得法等原因，在課程結束時不能夠達到理想的學習成效;另一方面，即使當時達到了，結課一段時間之后，由于印象不深容易遺忘，學生又把所學知識“還給”教師的現(xiàn)象也普遍存在。

除了上面所述的基本教學效果，我們總結了以下幾條可期望的成效，它們在教學過程中容易被忽略，不易評價，又恰恰能夠真正對學生的成長起到長期的影響作用，本文稱之為“更高層次的教學效果”。

（一） 提升包括符號表示、抽象思維、邏輯推斷等在內的數(shù)學素養(yǎng)

在教學過程中，教師為了讓學生容易理解晦澀的公式和定理，往往先用較形象化的方式進行講解，或用案例教學的方式幫助學生理解。這都能夠對學生的學習過程起到很好的促進作用。但需要強調的是，在形象化的解釋之后，仍然應當回到符號中來，引導學生明白其中符號表示的目的和作用。能夠讀懂公式和較熟練地進行符號表示是大學生可以從數(shù)學類課程中獲取的一種非常重要的能力，尤其對于將攻讀研究生和從事科研工作的學生，這一能力甚至影響到其科研工作所能達到的高度。類似的，抽象思維、邏輯推斷等等這些數(shù)學素養(yǎng)，都可以并且應當在“概率論與數(shù)理統(tǒng)計”等數(shù)學類課程中得到鍛煉和提升[2]。

（二）對“概率論”“數(shù)理統(tǒng)計”學科發(fā)展的過程有系統(tǒng)性的大致了解

學習“概率論與數(shù)理統(tǒng)計”課程的同時，也應當是了解這一學科發(fā)展歷程的過程，同時也是見證學科發(fā)展史上一個個難題如何被解決的過程。這實際上是要求學生除了掌握課程基本內容之外，還要對這些內容存在的必要性，對這些內容之間的聯(lián)系有所了解，對它們在整個學科發(fā)展中的地位和作用有一個宏觀的認識。一旦達到了這一成效，好處是顯而易見的，一方面，這些被“線”貫穿起來的知識，更容易被深入的理解，而且不容易忘記;另一方面，學生了解了這些概念、定理產生的背景，體會到它們能夠發(fā)揮的作用，才能夠理解它們的產生背后蘊含的解決問題的方法。例如，“隨機變量”這個概念，僅僅是教學中的“魚”，而“通過定義隨機變量這樣一種工具，把具體的隨機試驗都轉移到實數(shù)軸上，使其可以用高等數(shù)學的方法來研究”這樣一種通過抽象化和數(shù)量化解決問題的思路才是“漁”，顯然后者對于學生來說是更加寶貴的財富。

（三）進一步提高靈活運用理論，解決實際問題的能力

概率統(tǒng)計具有和實際問題聯(lián)系極其緊密的特點，由于應用極廣，還產生了大量交叉學科，包括“地質統(tǒng)計”“生物統(tǒng)計”“醫(yī)藥統(tǒng)計”“經濟統(tǒng)計”“大數(shù)據(jù)分析”等等。因此，有大量的應用課程知識解決實際問題的案例，可以引入課程教學中，引導學生通過借鑒和練習，提高解決實際問題的能力。特別要說明的一點是，在真正解決實際問題的時候，“靈活”二字非常重要?，F(xiàn)實中的問題往往非常復雜，如何將復雜問題拆分為多個簡單問題，如何針對具體實際問題做出適當?shù)募僭O以及簡化假設從而使理論可行，這種“靈活運用所學知識”的能力，也可以通過“概率論與數(shù)理統(tǒng)計”中的案例教學得到提高。

（四）理解“概率論與數(shù)理統(tǒng)計”中獨特的思想方法和原理，理解生活中的隨機現(xiàn)象，建立科學的世界觀

作為大學生接觸到的第一門探討和研究隨機現(xiàn)象的學科，“概率論與數(shù)理統(tǒng)計”中包含了一些與確定性數(shù)學所不同的、獨特的思想和解決問題的方法，例如統(tǒng)計推斷的思想，貝葉斯方法和后驗的思想，極大似然估計的思想，實際推斷原理等等。深入的理解這些思想和方法，能夠幫助學生更好的理解充滿隨機現(xiàn)象的自然、社會，以及生活，建立科學的世界觀。正如嚴加安院士的詩《隨機與概率》中所說，“隨機事件發(fā)生并非隨意，概率破解其中奧秘玄機。境況復現(xiàn)催生稀有事件，歷史長河沉淀自然奇跡”，“日常生活常遇概率問題，學點概率知識終身受益”。

二、“概率論與數(shù)理統(tǒng)計”教學現(xiàn)狀

（一）學生和專業(yè)重視程度不夠

與另兩門重要的數(shù)學類基礎課“高等數(shù)學”和“線性代數(shù)”比較起來，“概率論與數(shù)理統(tǒng)計”顯得不那么“基礎”，重要性易被忽視，而且由于開課時間晚（往往在大學第三學期或第四學期開設），學生已經開始學習一些較重要的專業(yè)課，所以部分學生不愿意多花精力在本課程中。另外，以本校各專業(yè)培養(yǎng)方案為例，“概率論與數(shù)理統(tǒng)計”課程普遍存在學時少、學分少、選修課多、必修課少的問題，這就體現(xiàn)了專業(yè)的不夠重視，也進一步減弱了學生學習的積極性。由此造成教師課內教學任務繁重，學生投入精力不足等問題。

（二） 需要一些高等數(shù)學的知識為先導，部分基礎薄弱的學生信心不足

“概率論與數(shù)理統(tǒng)計”中需要用到一些高等數(shù)學的知識，例如在連續(xù)型隨機變量的部分，就要用到一些微積分的知識。一些學生覺得自己“高等數(shù)學”沒有學好，也就喪失了學好“概率論與數(shù)理統(tǒng)計”的信心。事實上，“概率論與數(shù)理統(tǒng)計”中涉及的數(shù)學知識僅限于微積分和線性代數(shù)中的基礎部分，學習本課程的過程，恰恰可以幫助學生查漏補缺的鞏固微積分等重要知識，更深刻地體會到高等數(shù)學的知識是如何應用于解決實際問題的。

（三）一些思想原理較難理解

“概率論與數(shù)理統(tǒng)計”是一門研究隨機現(xiàn)象的學科，課程中包含的一些與確定性數(shù)學所不同的、獨特的思想和解決問題的方法，對于剛開始接觸的學生，不容易理解。學生一旦形成這門課很難的印象，學習的后勁就不足了。例如，課程中提到這樣一個事實，“不可能事件的概率是零，概率是零的事件不一定不發(fā)生”，這對于剛接觸隨機和概率的學生的確是很難理解的。這就需要教師有針對性的，把這樣的難點講透。再比如，后驗概率的概念，極大似然估計的思想，實際推斷原理等等，都是學生容易產生疑問的地方。

三、以精細化的教學設計多方位提升教學效果

基于以上對“概率論與數(shù)理統(tǒng)計”教學的目標效果和現(xiàn)狀的分析，筆者提出以精細化的教學設計提升教學效果。這里說的“精細化”設計，既包括每堂課的知識內容本身，也包括各部分的講解方法、課堂安排等等。首先，由于課時有限，并且學生在課堂上集中精力的時間也有限，內容安排“干貨”不可過多，必須有所取舍，重點突出。其次，“干貨”如何講出來，也需要精心設計。 以下列出幾種便于應用的教學設計模式，期望以精細化的教學設計全面提升教學效果。

（一） 以“形象——抽象——形象”的模式，加強對符號表示和抽象思維的訓練

對于公式、定理等一些較抽象的內容，可以通過實際應用案例、產生背景等引入。在形象化的講解之后，強調其中符號表示的目的和作用，使學生知其然，且知其所以然，這是“形象——抽象”的過程，也是學生讀懂公式的過程。更進一步，引導學生掌握將“抽象”的符號用于表示“形象”的能力，這是“抽象——形象”的過程。

以本校教材[3]為例，一個典型的例子是表示離散型隨機樣本的聯(lián)合分布時，雙重下標的應用：“若是離散型隨機變量，其概率分布為，則的聯(lián)合概率分布為.” 很多學生可能一看到雙重下標就犯了難?？梢砸龑W生思考，“這里為什么要用雙重下標”，“可不可以直接用表示聯(lián)合分布”，“可不可以用”？ 一旦清楚，這兩種形式的不適合，在于第一種形式中的等容易和中的混淆，而第二種形式中的不如更能清楚的表示出（變量）下標的個數(shù)，學生就完全理解了這里使用雙重下標的好處和意義，同時本身也學會了這種表示方法。

（二）? 以“案例——方法——推廣”的模式，提高學生靈活運用所學，分析問題、解決問題的能力

“概率論與數(shù)理統(tǒng)計”極其貼近現(xiàn)實生活，應用的例子較容易尋找，容易引導學生從生動的案例出發(fā)，學習重要的思想方法。從案例出發(fā)的教學模式，可以在第一時間引起學生學習的興趣，而后提煉、推廣的過程對學生解決實際問題能力的提高有很大的促進作用[4-5]。

例如要講解點估計中的矩估計思想，可以從這樣一個案例“德軍有多少輛坦克”[6]開始。首先給出問題：“假設德軍制造的坦克從‘1開始進行了連續(xù)編號，能否從盟軍繳獲的坦克編號推斷出德軍制造的坦克總數(shù)？”，引導學生給出幾種不同的估計，從而認識到“估計并不是唯一的，也無法保證一定正確”這一統(tǒng)計推斷與非隨機數(shù)學不同的理念。由其中的一種估計方法，即“認為繳獲編號的均值也是全部編號的均值，也就是用樣本均值乘以2作為總數(shù)的估計”，歸納出矩估計的方法（用樣本矩估計對應的總體矩），進而將矩估計方法推廣到其他的估計問題。可以采用類似模式進行設計的內容，還包括古典概型、全概率公式（將復雜事件拆分為多個互不相容的積事件的和）等等。

（三）以“問題——工具（概念）——作用”模式，加深對概念的理解和強化知識的系統(tǒng)性

這種模式特別適用于對概念的講解，且可以在教學過程中融入學科發(fā)展的歷史[7]及數(shù)學文化[8]。數(shù)學是一門形式科學，其中的概念的提出是有目的的，是起到特定作用的。概率論與數(shù)理統(tǒng)計也具有這樣的特點，了解其中概念的作用對概念的理解至關重要。由此本文提出這種教學模式：由問題導入，引導學生思考解決問題的方法，從而引出能夠解決問題的“工具”，總結體會這種工具（概念）的作用。適用這種教學設計模式的內容，包括概率的公理化定義、隨機變量、期望、方差、t分布等等。

以前面提到過的“隨機變量”這個概念為例。在學習了基本的事件和概率的概念之后，向學生拋出問題“怎么能更進一步，更好地開展對隨機性的研究？” 引導學生思考，得到把一些相似的具體隨機試驗歸納起來的抽象化數(shù)量化的解決問題的思路，從而引入“隨機變量”這一概念。認識到通過定義隨機變量這樣一種工具，能夠 “把具體的隨機試驗都轉移到實數(shù)軸上，使其可以用高等數(shù)學的方法來研究”，學生將對隨機變量有更深刻的理解，更學習到了這種“引入工具”解決問題的方法。

（四）用“問題——討論——歸納”的模式，突出重要的思想方法

“概率論與數(shù)理統(tǒng)計”中，有一些思想非常獨特也較難理解，是需要通過教學設計重點強調的。對這些獨特思想的理解，是課程教學的一個重要目標。例如，前文提到過的“概率是零的事件不一定不發(fā)生”。要講好這個課程中較難理解的內容，一個好的引入方式可能就成功了一半。為了使沒有測度論基礎的非數(shù)學專業(yè)學生更好的理解，可以在學習幾何概型部分時引入問題，“完全隨機的向一個確定區(qū)域投點，落在某一個點的概率是多少”。引導學生思考、討論，通過“區(qū)域內有無窮點”和“落在每個點的可能性相等”這樣的推斷，結合概率的性質推算出“落在任意一點的概率為零”。進而，由學生自己歸納出“概率是零的事件也可能發(fā)生”這個結論。在后續(xù)的課程內容當中，還會碰到關于這個結論的其他反例，包括“連續(xù)型隨機變量取到每一個點的概率為零”“存在概率為零但概率密度非零的點”等等，可以再次引導學生思考和理解。

再比如，另一個重要的結論“即使是概率很小的事件，在大量重復試驗中也幾乎一定發(fā)生”。這一結論可以通過設計相關例題引入，例如“某人獨立重復射擊400次，每次命中概率為0.01，求擊中次數(shù)大于等于1的概率”。通過計算，這個概率高達0.982，由此學生就能夠歸納出這一結論。關于這一結論還有一個有趣的思想實驗“無限猴子定理”，內容是“無限只猴子在打字機前敲擊無限時間可以打出莎士比亞的全部著作”，也可以用來活躍課堂和加深印象。另一方面，與之相關的另一個重要思想是，“如果只有一次試驗，那么小概率事件被傾向于認為不發(fā)生”，這就是實際推斷原理了，是假設檢驗的依據(jù);它的逆否命題——事件已經發(fā)生了就認為其概率應該比較大，正是極大似然估計的原理。從實際推斷原理和極大似然估計原理中，學生可以體會到，由于隨機性的存在，無法保證推斷一定正確，但可以使推斷正確的可能性盡量大，這正是統(tǒng)計推斷的重要思想。

除了一些有關隨機性的獨特思想，還有一些在數(shù)學乃至各門科學中可以廣泛應用的重要思想方法，也包含在“概率論與數(shù)理統(tǒng)計”中，包括全概率公式中蘊含的“化整為零”的思想，計算事件的概率時通過逆事件進行計算的“逆向”思維方式，假設檢驗中的“反證法”思想等等。這些都可以通過“問題——討論——歸納”的模式融入課程教學中。

本文將“概率論與數(shù)理統(tǒng)計”的目標教學效果分為基本教學效果（知識掌握）和更高層次的教學效果兩大類，其中后一類是真正能夠對學生的成長產生重要的長期影響的，包括提升符號表示能力等數(shù)學素養(yǎng)、對學科體系有大致了解、提高靈活解決實際問題的能力、理解學科中的重要思想和生活中的隨機事件，建立科學的世界觀等等。針對這些目標教學效果以及對教學現(xiàn)狀的分析，本文提出了四種便于在教學設計中應用的模式，其中“形象—抽象—形象”的模式能夠有效加強對學生數(shù)學素養(yǎng)的培養(yǎng)，“案例—方法—推廣”的模式有利于提高學生解決實際問題的能力，也增加學生學習的興趣?！皢栴}—工具（概念）—作用”模式適用于講解概念，在講授中融入學科發(fā)展的歷史，加深學生的印象，幫助深入理解內容?！皢栴}—討論—歸納”的模式，幫助學生深入理解學科中重要的思想和方法，理解自然、生活、人生中的隨機性，建立科學的世界觀。

本文在“教學現(xiàn)狀”部分提到學生不夠重視、不愿投入精力的問題。要改善這一現(xiàn)狀，對教師提出了更高的要求，除了要精細化合理安排課堂內容，讓學生愛上課堂，也要求教師一方面對該專業(yè)學生的后續(xù)專業(yè)課程有一定了解，從而能夠進行更貼近學生專業(yè)需要的教學設計，使其認識到“概率論與數(shù)理統(tǒng)計”的重要性，進一步引起學生的學習積極性;另一方面，加強課下和學生的交流，了解學生學習過程中的想法和需求，鼓勵和關注學習有困難的學生，實時調整教學計劃和安排?？梢韵胍?，憑借教師更多的投入精力做好教學設計，把握教學過程，學生學習效果的提升是一種必然。

參考文獻：

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[3]王清河， 常兆光， 曹曉敏. 隨機數(shù)據(jù)處理方法[M].東營：中國石油大學出版社， 2011：97.

[4]Wackerly D D， Mendenhall W， Scheaffer R L. Mathematical statistics with applications. 7th ed[M].Brooks/Cole， Belmont， CA， 2008：14.

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[6] [美]G.R.埃維森， M.格根. 統(tǒng)計學：基本概念和方法[M]. 吳喜之，程博，劉林旭，等，譯.北京：高等教育出版社， 2000：151.

[7] 陳希孺. 數(shù)理統(tǒng)計學簡史[M]. 長沙：湖南教育出版社， 2002：17.

[8] 張雪飛.《概率論與數(shù)理統(tǒng)計》課程中融入數(shù)學文化的案例研究[J]. 信息系統(tǒng)工程，2018，（4）.