杜鵬昊

（中央財(cái)經(jīng)大學(xué)，北京 100081）

1 亞里士多德的三段論系統(tǒng)簡(jiǎn)介

亞里士多德的三段論證明體系中，用現(xiàn)代邏輯理論來(lái)理解，是把第一格的四個(gè)式：AAA、EAE、AII、EIO作為他的證明系統(tǒng)中的公理。在亞里士多德最后的闡釋中，又把第一格的AII和EIO化歸為第一格的AII和EIO，所以亞里士多德的三段論證明系統(tǒng)中，最核心的公理只有第一格的AAA和EAE（盧卡西維茨，2009）。亞里士多德證明其他格的有效式主要用到了化歸法、歸謬法，僅在證明第三格AAI式OAO式時(shí)提及可用顯示法證明，而且能用顯示法證明的式也可以用其他的方法證明（張家龍，2004）。所以看似顯示法的作用并沒(méi)有多么廣泛，但是顯示法所運(yùn)用的思想是非常巧妙的，而且顯示法也可以擴(kuò)展應(yīng)用到其他三段論式的證明中。

區(qū)別于傳統(tǒng)形式邏輯所認(rèn)可的四個(gè)格，亞里士多德只把三段論系統(tǒng)分為三個(gè)格，根據(jù)張家龍先生（2004）的說(shuō)法，亞里士多德把第四格的三個(gè)式劃歸為第一格的三個(gè)非標(biāo)準(zhǔn)式。之后，亞里士多德的學(xué)生德奧夫拉斯特把其數(shù)量擴(kuò)充為五個(gè)，這個(gè)補(bǔ)充就是現(xiàn)在所說(shuō)的第四格的有效式。所以，亞里士多德的三段論系統(tǒng)是可以擴(kuò)充到第四格的，即使亞里士多德當(dāng)時(shí)未提及第四格，第四格也僅僅是在第一格AAA、EAE式兩條公理下所能推理出的定理（郝旭東，2015）。本文采用包含第四格的三段論理論來(lái)論述，三段論的四個(gè)格及其對(duì)應(yīng)的有效式如下：

第一格 第二格 第三格 第四格

M----P P----M M----P P----M

S----M S----M M----S M----S

S----P S----P S----P S----P

第一格的有效式為：AAA（核心公理），EAE（核心公理），AII（公理），EIO（公理），AAI，EAO

第二格的有效式為：AEE，EAE，AOO，EIO，AEO，EAO

第三格的有效式為：AAI，EAO，AII，EIO，IAI，OAO

第四格的有效式為：AAI，EAO，AEE，EIO，IAI，AEO

2 顯示法的運(yùn)用

亞里士多德在《前分析篇》中提及可以運(yùn)用顯示法證明的為第三格的AAI和OAO的證明。我運(yùn)用了命題邏輯的方法對(duì)這兩例的具體如何運(yùn)用顯示法證明進(jìn)行了說(shuō)明。

圖1 SOP表示的P、S、N的關(guān)系圖

圖2 0SIP關(guān)系圖

圖3 SAP關(guān)系圖

2.1 運(yùn)用顯示法證明第三格AAI

（2）選取顯示詞項(xiàng)N，從S中選出N，N滿足所有N是P，所有N是R

（3）所以有SAP→NAP，SAR→NAR

（4）通過(guò)換位法NAR→RIN

2.2 運(yùn)用顯示法證明第三格OAO

（2）選取顯示詞項(xiàng)N，從S中選出N，使N滿足所有N不是P。

（3）所以有SOP→NEP，SAR→NAR

（4）通過(guò)換位法NAR→RIN

圖4 SEP關(guān)系圖

圖5 POS關(guān)系圖

第一個(gè)證明的意義不大，只是運(yùn)用了顯示法，但核心的思路還是與亞里士多德書(shū)中給出的化歸法證明方式相同。第二個(gè)證明凸顯出了顯示法的作用，它與亞里士多德給出的歸謬的方法是完全不同的思路。

3 顯示法的原理及運(yùn)用條件

顯示法在三段論的證明體系中，本質(zhì)也是化歸的方法，更像是一種與換位法類(lèi)似的證明途徑，為了更好的將要證明的式化歸為第一格的四條公理。顯示法的核心是選取適宜的顯示詞項(xiàng)，顯示詞項(xiàng)在原詞項(xiàng)范圍中，將原詞項(xiàng)的范圍縮小，從而可以具有更加明顯地與其他詞項(xiàng)的關(guān)系。

例如，在證明2中，從S中選出N，N滿足所有N不是P，因?yàn)樵胶x是有的S不是P，用歐拉圖表示P、S、N的關(guān)系如圖1。

SOP所表示的P與S的關(guān)系共包含以上三種可能，在這三種可能下均可以選出顯示詞項(xiàng)N滿足所有N不是P的。所以有SOP→NEP。

為了運(yùn)用顯示法證明其他各式的有效式，需要總結(jié)出各類(lèi)三段論命題運(yùn)用顯示法后所能得出的結(jié)果。

（1）0SOP：SOP表示有的S不是P。如上所述SOP→NEP。同時(shí)，在上圖所述的三種情況下，也可使選出的N滿足有的N不是P，即SOP→NOP。

（2）0SIP：SIP表示有的S是P，從S中選出N，使N滿足所有N是P，用歐拉圖表示三者的關(guān)系如圖2。

圖6 PIS關(guān)系圖

圖7 PAS關(guān)系圖

在SIP所包含的S與P的三種可能情況下，均可以選出N滿足所有N是P，所以有SIP→NAP

同時(shí)，在上圖中，也可以使N均滿足有的N是P，所以SIP→NIP。

（3）SAP：SAP表示所有S是P，從S中選出N，用歐拉圖表示所有可能的情況如圖3所示。

從圖中可以看出，無(wú)論N如何選擇，N均滿足所有N是P，所以SAP→NAP。

（4）SEP：SEP表示所有S不是P，從S中選出N，用歐拉圖表示三者可能的情況如圖4。

從圖中可以看出無(wú)論N如何選擇，均滿足所有N不是P，所以有SEP→NEP。

（5）POS：POS表示有的P不是S，從S中選出N，用歐拉圖表示三者之間關(guān)系如圖5所示。

無(wú)論N如何選擇，均滿足有的P不是N，所以POS→PON。

（6）PIS：PIS表示有的P是S，從S中選出N，使N滿足有的P是N，用歐拉圖表示P、S、從S中選出的顯示詞項(xiàng)N這三者之間的關(guān)系如圖6。

在P和S這三種關(guān)系的情況下，可以使N滿足有的P是N，所以有PIS→PIN。

（7）PAS：PAS表示所有P是S，從S中選出顯示詞項(xiàng)N，使N滿足有的P是N，如圖7所示。

所以可以選出符合條件的N，所以PAS→PIN。

同時(shí)也可以使N滿足所有P是N，如圖8。

圖8 PIN關(guān)系圖

圖9 PES關(guān)系圖

圖10 弱顯示式

所以可以選出符合條件的N，所以PAS→PAN。

（8）PES：PES表示所有P不是S，從S中選擇出顯示詞項(xiàng)N，這三者之間的關(guān)系如圖9所示。

根據(jù)圖像可以看出，無(wú)論N如何選擇，均有PES→PEN。

這8類(lèi)三段論命題運(yùn)用顯示法所能得到的蘊(yùn)含式有：SOP→NEP、SOP→NOP、SIP→NAP、SIP→NIP、SAP→NAP、SEP→NEP、POS→PON、PIS→PIN、PAS→PIN、PAS→PAN、PES→PEN這11個(gè)。

其中，SAP→NAP、SEP→NEP、POS→PON、PES→PEN這四個(gè)蘊(yùn)含式是無(wú)論N在S中如何選擇均成立的，我先將其定義為“強(qiáng)顯示式”。

另外，SOP→NEP、SOP→NOP、SIP→NAP、SIP→NIP、PIS→PIN、PAS→PIN、PAS→PAN這七個(gè)蘊(yùn)含式是在不同的P與S的關(guān)系情況下選擇符合條件的N成立的，我將其定義為“弱顯示式”。

在第二部分的第一個(gè)例子中SAP→NAP，SAR→NAR這兩個(gè)是強(qiáng)顯示式，本質(zhì)與換位法證明沒(méi)有區(qū)別。第二個(gè)例子中SOP→NEP是弱顯示式，SAR→NAR是強(qiáng)顯示式，在這個(gè)例子中顯示法的證明是一種與書(shū)中的歸謬法完全不同的證明方法。從這兩個(gè)例子可以看出，有實(shí)際應(yīng)用價(jià)值的證明方法是第二個(gè)例子。第二個(gè)證明之所以有價(jià)值，主要是因?yàn)镾OP→NEP這個(gè)弱顯示式的應(yīng)用。而第一個(gè)證明沒(méi)有太多證明的實(shí)際意義主要是因?yàn)镾AP→NAP，SAR→NAR這兩個(gè)式子只是把前提中的S替換成了N，命題類(lèi)別沒(méi)有變化，向三段論第一格四條公理的化歸沒(méi)有幫助。所以，真正使顯示法有實(shí)際價(jià)值的是SOP→NEP、SIP→NAP、PAS→PIN這三個(gè)改變命題形式的弱顯示式。

但是，需要注意的是運(yùn)用顯示法進(jìn)行證明時(shí)，不能兩個(gè)蘊(yùn)涵式都是弱顯示式。這是因?yàn)樯婕八膫€(gè)詞項(xiàng)時(shí)，選出的顯示詞項(xiàng)不一定能同時(shí)保證滿足兩個(gè)條件。例如：SOP→NEP、SOM→NOM這兩式都是弱顯示式，如圖10所示。

S是P和M的總體，在這種情況下，從S中選擇的顯示詞項(xiàng)N，若滿足NEP就不能滿足NOM，若滿足NOM就不能滿足NEP。

4 顯示法的擴(kuò)展應(yīng)用

在清楚顯示法的應(yīng)用原理以及適用的條件之后，具體的將顯示法應(yīng)用于三段論的其他一些亞里士多德沒(méi)有提及可以用顯示法證明的有效式。

4.1 第一格AAI式

（2）從S中選出顯示詞項(xiàng)N，使N滿足有的R是N

（3）有SAP→NAP（強(qiáng)顯示式）、RAS→RIN（弱顯示式）

4.2 第一格EAO式

（2）從S中選出顯示詞項(xiàng)N，使N滿足有的R是N

（3）有SEP→NEP（強(qiáng)顯示式）、RAS→RIN（弱顯示式）

4.3 第二格EAO式

（2）從S中選出顯示詞項(xiàng)N，使N滿足有的R是N

（3）所以有PES→PEN（強(qiáng)顯示式）、RAS→RIN（弱顯示式）

（4）PEN→NEP（換位法）

4.4 第四格AAI式

（2）從S中選出顯示詞項(xiàng)N，使N滿足有的P是N

（3）所以PAS→PIN（弱顯示式）、SAR→NAR（強(qiáng)顯示式）

（4）RIP→PIR且PIR→RIP（換位法）

以上四個(gè)式是顯示法的典型運(yùn)用，其實(shí)在三段論系統(tǒng)中的其他很多式也可以使用顯示法證明的。但是其他式就形似于第三格AAI式的證明，顯示法不是證明中的關(guān)鍵方法。從上文可以看出，三段論的有效式中有大部分都可以運(yùn)用顯示法進(jìn)行證明，其中有五個(gè)式（第三格OAO式加以上四個(gè)式）是顯示法的典型證明。所以，顯示法在三段論證明系統(tǒng)中并不是一個(gè)不重要的方法，而是因?yàn)榛瘹w法和歸謬法的廣泛運(yùn)用而被忽視的重要方法。