熊莎莎 繆奇航 崔文超

摘要：信號與系統(tǒng)課程概念抽象，公式復(fù)雜，理論性強，造成學(xué)生理解困難。重點討論課程中有關(guān)卷積定理和連續(xù)信號傅里葉變換中的重難點，用可視化的方法進(jìn)行探索，通過課題組開發(fā)的MATLAB教學(xué)實踐平臺的演示，使信號分析的過程和結(jié)果更加直觀和形象地呈現(xiàn)。實踐證明該平臺操作簡單，易于觀察，交互性強，能夠激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)熱情，增加課堂互動性，改善教學(xué)質(zhì)量。

關(guān)鍵詞：信號與系統(tǒng)；卷積定理；傅里葉變換； MATLAB

中圖分類號：TN911 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A 文章編號：1009-3044（2019）05-0254-03

Case Teaching of Signal and System Using MATLAB

XIONG Sha-sha， MIAO Qi-hang， CUI Wen-chao

（College of Computer and Information Technology， Three Gorges University， Yichang 443000，China）

Abstract： The course of signal and system is abstract in concept， complex in formula and strong in theory， which makes it difficult for students to understand. It focuses on discussing the key and difficult points of convolution theorem and continuous signal Fourier transform in the course， and explores with visual method. Through the demonstration of MATLAB teaching practice platform developed by the research group， the process and results of signal analysis are presented more intuitively and vividly. Practice has proved that the platform is simple to operate， easy to observe， interactive， can stimulate students' learning enthusiasm， increase classroom interaction， and improve the quality of teaching.

Key words： signal and system； convolution theorem； Fourier transform ； MATLAB

1 引言

信號與系統(tǒng)課程知識體系龐大，邏輯性強，理論嚴(yán)謹(jǐn)，以高等數(shù)學(xué)、大學(xué)物理和電路等課程為基礎(chǔ)，通過復(fù)雜的數(shù)學(xué)推導(dǎo)及演算得到理論公式。這不僅要求學(xué)生有深厚的數(shù)學(xué)功底，還要求其對物理概念有較通透的理解。如果學(xué)生僅僅是死記硬背公式和概念語句，不了解其中的理論意義和推導(dǎo)過程，就很難去進(jìn)一步學(xué)習(xí)，或者不懂如何將所學(xué)的知識應(yīng)用到實際問題中，一定程度上限制了學(xué)生學(xué)習(xí)的主動性和創(chuàng)新性，日后難以全面發(fā)展。

在傳統(tǒng)的板書和多媒體教學(xué)的基礎(chǔ)上，引入MATLAB的教學(xué)實踐平臺，讓晦澀難懂的理論公式化為更具有直觀性的信號圖像，可以幫助學(xué)生更好地學(xué)習(xí)理論知識，增強學(xué)習(xí)積極性，為今后的程序設(shè)計打下夯實的基礎(chǔ)。

2 典型信號

在《信號與系統(tǒng)》課程講解前，可以先引入基本信號的圖像讓學(xué)生積極導(dǎo)入課堂。在傳統(tǒng)教學(xué)課程中常采用電子課件顯示或黑板手繪，這樣會顯得單調(diào)或有誤差，易讓學(xué)生感到課堂乏味。通過MATLAB繪制一些典型的基本信號圖形，可以讓學(xué)生更加深刻理解信號圖形與其數(shù)學(xué)表達(dá)式的關(guān)系，為深入學(xué)習(xí)打下基礎(chǔ)。下面以指數(shù)信號和正弦信號為例進(jìn)行實驗。指數(shù)信號[ft=Αeαt]，取幅值[Α=4]，時間系數(shù)[α=2]，得到的指數(shù)信號波形如圖1（a）所示。正弦信號[ft=Αsin2πft+?]，取幅值[Α=1]，頻率[f=12Ηz]，初相位[Φ=0]，得到的正弦信號波形如圖1（b）所示。由圖1實驗波形可知，實驗效果符合理論結(jié)果，教學(xué)實踐平臺達(dá)成預(yù)期效果。

（a）指數(shù)信號波形

（b）正弦信號波形

3 卷積定理

在信號與系統(tǒng)的教學(xué)中，卷積定理在時域運算中占有非常重要的地位。卷積積分其實是一種數(shù)學(xué)方法，由此得到的有關(guān)圖形能夠形象地表示卷積的含義，對卷積概念的理解十分有幫助。通過板書推導(dǎo)公式和MATLAB教學(xué)實踐平臺中代碼生成過程及其繪圖結(jié)果結(jié)合，細(xì)致地引導(dǎo)學(xué)生去理解卷積積分在此門課中的應(yīng)用。

3.1連續(xù)時間信號卷積定理

下面以連續(xù)時間信號卷積為例，從理論層面對卷積定理做進(jìn)一步的推導(dǎo)。對于任意兩個連續(xù)時間信號[f1t]和[f2t]，則積分

[-∞+∞f1τf2t-τdτ] （1）

稱為函數(shù)[f1t]和[f2t]的卷積積分。

一般采用圖解法對兩個連續(xù)時間信號做卷積積分運算，有如下五個步驟：

（1）改變兩個圖形的橫坐標(biāo)，將[t]改為[τ]，[τ]變?yōu)楹瘮?shù)的自變量；

（2）將其中任一信號以縱坐標(biāo)為軸線做反轉(zhuǎn)變換，得鏡像對稱函數(shù)；

（3）再將反轉(zhuǎn)變換的信號做位移變換，位移量為[t]（[t]為參變量）；

（4）兩信號重疊部分相乘；

（5）將相乘后圖形進(jìn)行積分，或計算重疊部分面積即為積分值。

3.2 結(jié)合MATLAB演示卷積定理

接著運行MATLAB教學(xué)實踐平臺，交互輸入方波一、方波二，再運用MATLAB自帶的conv函數(shù)，得兩個方波的卷積結(jié)果如圖2所示。通過圖2實驗波形和上述圖解法理論實現(xiàn)卷積過程可得，兩個方波的卷積積分后的圖像為三角形，從而說明了卷積積分是兩個信號重疊部分相乘得面積。實驗效果符合理論結(jié)果，教學(xué)實踐平臺界面達(dá)成預(yù)期效果。

4連續(xù)周期信號的傅里葉變換

信號與系統(tǒng)的課程教學(xué)中，傅里葉級數(shù)理論不僅是由時域過渡到頻域的一個承前啟后的重難點，而且是傳統(tǒng)理論講解的難點。此時能夠通過MATLAB教學(xué)實踐平臺，使周期信號的眾多各次諧波及其組合疊加的過程被形象可視化，這能讓學(xué)生很好地去理解、分析頻域理論思想，加深學(xué)生對傅里葉級數(shù)理論的印象和理解。從而進(jìn)一步分析連續(xù)周期信號的傅里葉頻譜及其特點，引導(dǎo)學(xué)生對這個知識點進(jìn)行分析和總結(jié)。

4.1周期信號的傅里葉級數(shù)

根據(jù)傅里葉及其眾后人補充得到了這個經(jīng)典結(jié)論：任何周期信號只要滿足狄里赫利條件，就認(rèn)為是由直流分量和一系列各次諧波分量疊加組合而成。基于上述原理，周期為T的信號[ft]能表示成兩種形式的收斂正弦函數(shù)級數(shù)。這兩種形式分別如下式（2）、（6）所示。

[ft=a0+n=1∞ancosnΩt+bnsinnΩt] （2）

式（2）中，基波 （即一次諧波）的角頻率[Ω=2πT]，各個傅里葉系數(shù)分別為：

[a0=1T-T2T2ftdt=0] （3）

[an=2T-T2T2ftcosnΩtdt] （n=0、1、2、…） （4）

[bn=2T-T2T2ftsinnΩtdt] （n=0、1、2、…） （5）

[ft=A02+n=1∞AncosnΩt+?n] （6）

式（6）中，[A0=a0，An=a2n+b2n，?n=-arctanbnan]其中第一項[A02]是常數(shù)項，它是周期信號中所包含的直流分量。一般而言，[AncosnΩt+?n]稱為n次諧波，[An]是n次諧波的振幅，[?n]是其初相角。

4.2 MATLAB驗證傅里葉經(jīng)典結(jié)論

由于需要一系列不同頻率的正弦信號進(jìn)行疊加組合，此項工作比較煩瑣且難以通過一般的繪圖工具實現(xiàn)，這時采用MTLAB教學(xué)實踐平臺能夠有效結(jié)合理論公式快速運用自帶函數(shù)繪出驗證視圖。

以連續(xù)周期矩形信號為例，如圖3所示為1次諧波、5次諧波、9次諧波、20000次諧波組合疊加的信號波形對比圖，當(dāng)n=20000時，合成信號波形非常接近于周期矩形信號波形。從而拓展得到重要結(jié)論：當(dāng)諧波疊加次數(shù)足夠多時，任合連續(xù)周期信號都能表示成眾多不同頻率的正弦信號的疊加組合。

4.3傅立葉變換中的吉布斯現(xiàn)象

在MATLAB中繪制出吉布斯現(xiàn)象如圖4所示，引導(dǎo)學(xué)生觀察圖4中的現(xiàn)象。發(fā)現(xiàn)其中的曲線a（即為217次諧波疊加）在間斷點附近出現(xiàn)振蕩，并且觀察到峰起越來越靠近間斷點，引出吉布斯現(xiàn)象。接下來講述吉布斯現(xiàn)象出現(xiàn)的原因：將具有不連續(xù)間斷點的周期函數(shù)進(jìn)行傅立葉級數(shù)展開后，用有限項傅里葉級數(shù)表示間斷點信號時，間斷點的周圍避免不了會出現(xiàn)一定的振蕩和超量。超量幅度不會隨所選取項數(shù)的增加而減小。當(dāng)選取項數(shù)很多時，所合成的波形中出現(xiàn)的峰起越靠近原周期信號的間斷點。當(dāng)選取的項數(shù)很大時，峰起數(shù)值就接近于一個常數(shù)，從而它占有的能量減少。

4.4狄里赫萊條件

通過上述對周期矩形信號展開成為傅里葉級數(shù)的探討，可以從其波形特點分析一下周期信號展開成為傅里葉級數(shù)的前提條件。從邏輯嚴(yán)謹(jǐn)性和理論完備性兩個角度可以說明，在現(xiàn)實中絕非所有連續(xù)周期信號都能展開成傅里葉級數(shù)形式，需要強調(diào)的是，當(dāng)且僅有當(dāng)連續(xù)周期信號滿足狄里赫萊條件時，才能展開為傅里葉級數(shù)。

狄里赫萊提出的三個條件是：在一個周期內(nèi)，信號要滿足：①絕對可積；②存在有限個不連續(xù)間斷點；③存在有限極值點。當(dāng)且僅當(dāng)這三個條件同時滿足時，連續(xù)周期信號才可以展開成傅里葉級數(shù)形式，進(jìn)一步對傅里葉思想補充和完善。

4.5傅里葉級數(shù)的指數(shù)形式

傅里葉級數(shù)的三角函數(shù)形式雖然含義比較明確，但是運算十分復(fù)雜。探討傅里葉級數(shù)的思想，經(jīng)常利用傅里葉級數(shù)的指數(shù)形式。下列公式強調(diào)了連續(xù)周期信號[ft]能表達(dá)成眾多虛指數(shù)信號線性疊加組合，并演算逐項分解展開式，學(xué)生能夠清楚地看到虛指數(shù)信號滿足一定的諧波關(guān)系，即角頻率成倍數(shù)關(guān)系。即

[ft=A02+n=1∞An2ejnΩt+?n+e-jnΩt+?n=A02+12n=1∞Anej?nejnΩt+12n=1∞Ane-j?ne-jnΩt=n=-∞∞FnejnΩt] （7）

式（7）表明，任意周期信號[ft]可分解為許多不同頻率的虛指數(shù)信號之和，其各分量的復(fù)數(shù)幅度（或相量）為[Fn]。

根據(jù)虛指數(shù)信號的正交性，可推導(dǎo)出表達(dá)式中傅里葉系數(shù)[Fn]的表達(dá)公式。指數(shù)形式傅里葉級數(shù)的復(fù)系數(shù)[Fn]公式推導(dǎo)如下：

[Fn=1T-2T2TftcosnΩtdt-j1T-2T2TftsinnΩtdt=1T-2T2TftcosnΩt-jsinnΩtdt=1T-T2T2fte-jnΩtdt，n=0，±1，±2，…] （8）

掌握公式推導(dǎo)和基本概念后，依次分析展開式中的直流分量（即常量）和n次諧波分量。為了讓學(xué)生更好地了解并掌握傅里葉級數(shù)思想，講解相關(guān)經(jīng)典例題，通過一個信號分解為眾多不同頻率的正弦信號疊加組合，編寫MATLAB相關(guān)程序形象直觀地展現(xiàn)博里葉級數(shù)相關(guān)思想及概念，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)思考其中的規(guī)律。由MATLAB繪制的一個周期矩形信號分解為不同頻率的正弦信號疊加圖，如圖5所示。

4.6連續(xù)周期信號的頻譜及其特性

[Fn]-般是復(fù)函數(shù)，可以表示為幅度和相位的形式，即

[Fn=12Anej?n=Fnej?n] （9）

式（9）表明傅里葉系數(shù)[Fn]為連續(xù)周期信號傅里葉級數(shù)表達(dá)式中各次諧波的幅度及相位，同時也是周期信號x（t）的頻譜。為了更形象地表示出信號中各分量的振幅，以頻率（或角頻率）為橫坐標(biāo)，以各諧波振幅[An]或者虛指數(shù)函數(shù)幅度[Fn]為縱坐標(biāo)，可以分別得到幅度頻譜（或振幅頻譜）。同樣，可以描繪出各諧波初相角[?n]與頻率（或角頻率）的圖像，稱為相位頻譜。

連續(xù)周期信號頻譜相關(guān)的概念及公式為了讓學(xué)生更好地理解和掌握，講解相關(guān)經(jīng)典例題。這里采用MATLAB教學(xué)平臺與黑板板書演算相結(jié)合的形式，用黑板板書演算常見的連續(xù)周期矩形信號的頻譜，畫出對應(yīng)的頻譜圖，并對[Fn]進(jìn)行逐步分解計算，加深并強化學(xué)生的理解和記憶。通過MATLAB繪制的連續(xù)周期矩形信號及其幅度頻譜和相位頻譜如圖6所示。

同樣，計算連續(xù)周期三角波信號的頻譜并畫出其幅度頻譜和相位頻譜。利用對比教學(xué)理論方法，對比連續(xù)周期矩形信號和連續(xù)周期三角波信號的幅度頻譜和相位頻譜， 引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)思考其中的異同，強化對連續(xù)周期信號幅度頻譜和相位頻譜的記憶。連續(xù)周期三角波信號的幅度頻譜和相位頻譜如圖7所示。

經(jīng)過探討許多不同的連續(xù)周期矩形信號和連續(xù)周期三角波信號的幅度頻譜和相位頻譜有關(guān)規(guī)律， 引發(fā)學(xué)生思考并總結(jié)

歸納出在一般情況下連續(xù)周期信號頻譜具有的相同特性：①離散特性：連續(xù)周期信號的頻譜是由間隔為[ω0]的譜線組成。離散譜線的間隔大小是由周期信號的周期決定，即周期越小，譜線間隔越大，譜線就越稀疏。②衰減特性：幅度頻譜[Fn]隨著諧波[nω0]增大而逐漸衰減，并最終趨于零。強調(diào)連續(xù)周期信號頻譜特性的重要性，為后續(xù)學(xué)習(xí)相關(guān)的信號，例如學(xué)習(xí)離散周期信號、連續(xù)非周期信號和離散非周期信號的頻譜特性，做好鋪墊。

5 結(jié)語

本文通過自主開發(fā)的可視化的MATLAB教學(xué)實踐平臺，將傳統(tǒng)理論教學(xué)與實踐操作有效結(jié)合，方便教師在課堂上以人機交互方式對課程中的概念和原理進(jìn)行實時仿真，將深奧的理論知識生動地展現(xiàn)給學(xué)生，激發(fā)他們的學(xué)習(xí)興趣。學(xué)生也可以自行操作該平臺，通過將理論知識轉(zhuǎn)換為代碼進(jìn)行仿真演示，觀察波形特點及其變換等信息，更好地對信號與系統(tǒng)其中重難點的抽象概念和理論原理的理解和掌握。

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【通聯(lián)編輯：王力】