豐富習題內涵培養(yǎng)推理能力
——一道《多邊形內角和》習題的改編與實施

丁玉成

培養(yǎng)推理能力是數(shù)學教學的重要目標之一。學生的推理能力主要表現(xiàn)在能通過觀察、實驗、歸納、類比等活動獲得數(shù)學猜想，并進一步尋求證據(jù)、給出證明或舉出反例；能清晰、條理地表達思考過程，做到言之有理、落筆有據(jù)；能在與他人交流的過程中運用數(shù)學語言合乎邏輯地進行討論與質疑。推理能力的形成和提高需要一個長期的、循序漸進的過程，因此推理能力的培養(yǎng)應貫穿于數(shù)學教學的全過程。

“鞏固基礎知識，提高基本技能，發(fā)展數(shù)學思考力”是練習所承載的基本任務與功能。課后習題作為教材為我們提供的練習素材利用率是最高的，如果教師在精心研讀習題、理解編者意圖的情況下，挖掘習題資源，創(chuàng)造性地將習題進行補充、延伸、拓展，用足用好習題，將能使習題功能最大化。

【原題分析】

教材第70 頁練習十六第4 題，以統(tǒng)計表形式將圖形、邊數(shù)、內角和編排在一起，讓學生仿照示例，從一個頂點出發(fā)放射性地連線，依次求出幾種多邊形的內角和。通過求出的結果，發(fā)現(xiàn)邊數(shù)和內角和之間的關系，獲得合情推理的經驗。

學生在《四邊形內角和》一課的“做一做”中已經想辦法求過六邊形內角和，他們會將求四邊形內角和中用過的分割法遷移到六邊形上，分成已經證明了內角和的三角形或正方形求出六邊形內角和，但方法各異。因此我對不同分割情況進行歸類、對比分析，達成共識，為探究多邊形內角和做好準備。

通過以上分析，學生已經具備了獨立探究“多邊形內角和”的能力。我認為這道題有可挖掘的空間，為了最大限度地開發(fā)學生的推理能力，我將習題進行改編：從七邊形擴展到十邊形，更有利于學生發(fā)現(xiàn)邊數(shù)與內角和之間的相差關系，為他們的合情推理提供素材上的準備；追加幾個要求，能豐富習題的內涵。改變后的題作為后置性探究作業(yè)讓學生在A4紙上把想法以圖文結合的形式大膽地表現(xiàn)出來。

【習題改編】

1.分一分、算一算，每個圖形的內角和是多少？

2.你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？如果發(fā)現(xiàn)了規(guī)律，你能計算50 邊形、102 邊形的內角和嗎？

3.你能總結出多邊形內角和的計算方法嗎？多邊形內角和=_______________________。

【作品反饋】

●反饋一：發(fā)現(xiàn)怎么算？

師：我發(fā)現(xiàn)你的作業(yè)中九邊形和十邊形都沒有進行分割，把你的理由跟大家說說好嗎？

生：圖形畫太多線看不清，我們就要用規(guī)律了。通過分割前面幾個圖形，我發(fā)現(xiàn)多邊形劃分出的三角形永遠比這個圖形的邊數(shù)少2。

師：之前我們從橫向發(fā)現(xiàn)規(guī)律，多邊形每多一邊，三角形個數(shù)也會增加一個。現(xiàn)在這個規(guī)律是怎么觀察到的？

生：上下看的。

師：哪位同學介紹一下這個規(guī)律？

生：五邊形分成了3 個三角形，5-3=2；六邊形分成了4 個三角形，6-4=2；七邊形分成了5 個三角形，7-5=2。說明幾邊形都與分成的三角形個數(shù)相差2。因此50 邊形內角和就是48×180°=8640°，102 邊形內角和是100×180°=18000°。

師：為什么你舉了三個例子？如果繼續(xù)舉例會有一樣的結果嗎？

生：因為舉了三個例子以后發(fā)現(xiàn)都是差2，以此類推，其他圖形肯定也是差2 了。

師：你這個“以此類推”是什么意思？

生：算了幾個后就不用再算了，我也是抽幾個算了一下，然后就以此類推了。

師：這個“此”指的是什么？

生：就是我舉的那幾個例子。

師：如果我想多舉些例子，能舉幾個？

生：無數(shù)個。

師：能找到一個圖形邊數(shù)與分成的三角形個數(shù)不是差2 的例子嗎？

生：找不到。

師：原來通過我們算的多邊形中邊數(shù)與分成三角形個數(shù)之間的關系，就可以推出邊數(shù)更多的多邊形的內角和。不知不覺中，我們已經歸納出了多邊形內角和的求法了，多邊形的內角和=（邊數(shù)-2）×180°。

●反饋二：知道為什么這么算？

作品1

作品2

作品3

師：你們知道多邊形內角和為什么這么算嗎？

生：（作品1）我是用畫圖證明的，五邊形邊數(shù)和分出的三角形差2，所以邊數(shù)要減2。

師：我們通過這個規(guī)律來發(fā)現(xiàn)多邊形內角和的算法，現(xiàn)在要解釋為什么，再用這個規(guī)律還是沒有找到本質原因。還有別的解釋嗎？

生：（出示作品2）我給每個多邊形分三角形，出發(fā)的那個頂點不能向相鄰兩個點連線，就是我圈著的點，所以是“邊數(shù)-2”。

生：你這是在算連線條數(shù)還是三角形個數(shù)呢？出發(fā)的點跟其他點連線，除了旁邊兩個點沒連，出發(fā)點本身也不能算，那連線的條數(shù)應該是“邊數(shù)-3”。

師：確實應該搞清這個問題，大家先獨立想想這個問題，然后小組交流一下。

生：分割的線確實比邊數(shù)少3，但三角形個數(shù)又比分割線多1。比如五邊形的分割線是2 條，分成了3 個三角形；六邊形分割線3 條，分成4 個三角形……

師：這位同學從另一個角度來解釋，大家聽一聽。

生：（作品3）大家看我的圖，多邊形分出的三角形除了最兩側的兩個三角形，中間的三角形都有原來多邊形的一條邊，而最兩側的兩個三角形卻各占了多邊形的兩條邊，所以得各去掉一條邊，多占的兩條邊去掉后，每個三角形就對應著一條邊了。那么三角形個數(shù)就是邊數(shù)減2。

師：這個解釋將三角形與多邊形的邊一一對應。其實兩位同學都說明了邊數(shù)為什么比三角形數(shù)多2的道理，而第二種解釋更能令大家接受。

【編輯點評】

1.“發(fā)現(xiàn)怎么算”——培養(yǎng)歸納推理能力。

學生通過計算填表、觀察、比較、分析、綜合，歸納出多邊形內角和的計算方法，是一個從個別到一般的歸納推理過程。學生解決“發(fā)現(xiàn)怎么算”的過程就是一個過程清楚的簡化版不完全歸納推理，將此作品呈現(xiàn)、介紹給全體學生，能將隱含的推理思想明朗化。教師提出的針對性問題“為什么你舉三個例子？如果繼續(xù)舉例會有一樣的結果嗎？”“以此類推是什么意思？‘此’代表什么？”“一直舉例能舉幾個？”能引導學生知道通過幾個例子可以發(fā)現(xiàn)一些規(guī)律，所舉的例子個數(shù)在有限的情況下，也要盡可能多一些、全面一些，結論就會可靠些。這整個“發(fā)現(xiàn)怎么算”的過程就是培養(yǎng)學生合情推理能力的過程。

2.“知道為什么這么算”——培養(yǎng)演繹推理能力。

通過歸納推理得到的結果如果能挖掘本質，揭示其內在原因，可以使學生知其然且知其所以然，使結論更加可靠令人信服。教師借助少數(shù)幾個學生思考的成果推動整個班級的學生積極思考，這是有價值和意義的。兩位學生以各自不同的理由配合直觀圖示說明了為什么邊數(shù)與三角形數(shù)相差2 的本質，雖然只是極個別學生的發(fā)現(xiàn)，但其他學生通過傾聽、復述，逐漸明白本質，將歸納推理得到的結論以講道理的科學驗證法進行演繹推理，兩種推理交織在一起，使學生在發(fā)現(xiàn)規(guī)律、驗證規(guī)律中積累更加豐富的推理經驗。