李景財(cái)　王曉霞

摘要：平面幾何最值問(wèn)題是中考的經(jīng)典題型，這類試題源于教材，高于教材，考查了學(xué)生解決綜合問(wèn)題的能力，常用聯(lián)系與轉(zhuǎn)化的思想方法，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為課本的基本模型，從而解決問(wèn)題.這類問(wèn)題的學(xué)習(xí)需要經(jīng)歷三個(gè)階段：掌握基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能，應(yīng)用基本圖形和基本方法，運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法等.

關(guān)鍵詞：最值;聯(lián)系模型;轉(zhuǎn)化

平面幾何最值問(wèn)題是中考的經(jīng)典題型，呈現(xiàn)的形式多樣，涉及面廣，考查了學(xué)生解決綜合問(wèn)題的能力.研究發(fā)現(xiàn)：這類試題立足教材，蘊(yùn)含解答模型，運(yùn)用了聯(lián)系與轉(zhuǎn)化的思想方法.本文以人教版教材和中考試題為素材，談?wù)勂矫鎺缀巫钪祮?wèn)題的解題策略.

1 直接應(yīng)用公（定）理

1.1 兩點(diǎn)之間線段最短

例1如圖1，∠MON=90°，矩形ABCD的頂點(diǎn)A、B分別在邊OM，ON上，當(dāng)點(diǎn)B在邊ON上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)A隨之在邊OM上運(yùn)動(dòng)，矩形ABCD的形狀保持不變，其中AB =2，BC=1，運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，點(diǎn)D到點(diǎn)0的最大距離為（ ）.

A.√2+1 B.√5 c.√145/5 D.5/2

分析 取AB的中點(diǎn)E，連結(jié)OE、DE、OD，根據(jù)三角形的任意兩邊之和大于第三邊可知：當(dāng)0、D、E三點(diǎn)共線時(shí)，點(diǎn)D到點(diǎn)O的距離最大.用勾股定理求出DE的長(zhǎng)，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半求出OE的長(zhǎng)，兩者相加即可得解.

因?yàn)镺D≤OE +DE，所以當(dāng)0、D、E三點(diǎn)共線時(shí)，點(diǎn)D到點(diǎn)0的距離最大.

所以 OD的最大值為√2+1.

故選A.

方法歸納 該問(wèn)題是“在兩定點(diǎn)之間求最小值”.根據(jù)模型“兩點(diǎn)之間線段最短”，把兩定點(diǎn)直接相連，對(duì)無(wú)法或難以量化的兩點(diǎn)間的線段，可與能量化的兩折線構(gòu)成三角形，轉(zhuǎn)化為“折線和”，利用三角形三邊關(guān)系或兩點(diǎn)間線段最短得出最值.

1.2 垂線段最短

例2 如圖2，△ABC中，∠BAC= 60°，∠ABC=45°，AB =2√2，D是線段BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以AD為直徑畫(huà)◎0分別交AB，AC于E，F(xiàn)，連接EF，則線段EF長(zhǎng)度的最小值為（）.

A.2 B.√2 C.√3 D.3

分析 弦EF的長(zhǎng)與它所對(duì)的圓心角和圓直徑有關(guān)，圓心角是定值，而直徑是變量，當(dāng)直徑最小時(shí)，EF的長(zhǎng)度最小.根據(jù)垂線段最短，直徑的最小值是△ABC邊BC上的高的長(zhǎng)度.

解析 當(dāng)AD是△ABC邊BC上的高時(shí)，

AD =AB×sin ∠ABC=2√2×sin45°=2，

EF：2×AD/2sin60°=√3，

所以線段EF長(zhǎng)度的最小值為√3.

故選C

方法歸納 該問(wèn)題是“已知一定點(diǎn)和一定直線求最小值”.解答此類試題只要透過(guò)問(wèn)題，提出模型，剔除不變的量，轉(zhuǎn)化為一定點(diǎn)到一定直線的距離，再利用模型“垂線段最短”即可得出最小值.

2 應(yīng)用幾何變換求最值

2.1 直線同側(cè)兩定點(diǎn)+一動(dòng)點(diǎn)

例3 如圖3，菱形ABCD中，∠BAD= 60°，M是AB的中點(diǎn)，P是對(duì)角線AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若AB長(zhǎng)是3，則PM +PB的最小值為_(kāi)____.

分析 連接BD、MD，MD交AC于點(diǎn)P，因?yàn)樗倪呅蜛BCD是菱形，可得菱形的對(duì)角線互相垂直平分，所以點(diǎn)D是點(diǎn)B關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)，此時(shí)PM+PB最小，且PM+PB= DM.因∠BAD= 60°，所以△ABD是等邊三角形.由等邊三角形的性質(zhì)可知DM⊥AB，根據(jù)勾股定理即可求出MD的長(zhǎng).

解析 連結(jié)BD，DM，DM交AC于點(diǎn)P.

因?yàn)樗倪呅蜛BCD是菱形，且∠BAD= 60°，所以△ABD是等邊三角形，點(diǎn)D是點(diǎn)B關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn).

方法歸納 該問(wèn)題是“直線同側(cè)兩定點(diǎn)+一動(dòng)點(diǎn)，求線段和的最小值”，常作任意一定點(diǎn)關(guān)于定直線的對(duì)稱點(diǎn)，把同側(cè)線段和轉(zhuǎn)化為異側(cè)線段和，實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)“折”為“直”，再根據(jù)模型“兩點(diǎn)之間線段最短”，作出線段并求之.此類問(wèn)題通常以角、三角形、矩形、菱形、正方形、梯形、圓、拋物線等為背景，它們都具有軸對(duì)稱性，用軸對(duì)稱變換，轉(zhuǎn)“折”為“直”，從而直接應(yīng)用線段公理或垂線段公理.

方法歸納 此問(wèn)題是“直線同側(cè)兩定點(diǎn)+一動(dòng)點(diǎn)，求線段差的最大值”，方法是：連結(jié)兩定點(diǎn)，并延長(zhǎng)與定直線相交，根據(jù)模型“三角形兩邊之差小于第三邊”，當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，兩邊之差等于第三邊，取最大值.

2.2 直線異側(cè)兩定點(diǎn)+一動(dòng)點(diǎn)（造橋選址問(wèn)題）

例5如圖5所示，從A地到B地經(jīng)過(guò)一條小河（河岸平行），今欲在河上建一座橋，應(yīng)如何選擇橋的位置才能使從A地到B地的路程最短？

分析 橋必須與河岸垂直，所以不論橋建在哪里，橋長(zhǎng)這段路程是固定不變的，只需使A到河岸與B到河岸這兩段路程的和最短即可.

解析 如圖5，將點(diǎn)B沿垂直于河岸的方向向河岸平移一個(gè)河寬到點(diǎn)B，連接AB，交河對(duì)岸于點(diǎn)C，則點(diǎn)C即為建橋位置，CD即為所建的橋.

根據(jù)平移的特征可知，BD//B'C，BD =B'C.

所以A、B兩地路為AC+CD+ BD =AC+ CD+B'C= CD +AB'.

若橋的位置建在點(diǎn)C處，則A、B兩地的路和為AC'+ C'D' +BD'= CD +AC' +B'C'.

因AB

所以橋的位置選取在點(diǎn)C處，A、曰兩地路程最短.

方法歸納 該問(wèn)題是“直線異側(cè)兩定點(diǎn)+一動(dòng)點(diǎn)，求兩線段和的最小值”.此問(wèn)題要剔除河寬，轉(zhuǎn)化為求兩線段和的最小值.方法是：通過(guò)平移變換，將任一定點(diǎn)沿河岸垂直的方向平移河寬的距離，根據(jù)模型“兩點(diǎn)之間線段最短”，連結(jié)平移得到的點(diǎn)與直線異側(cè)的點(diǎn)，所得線段與河對(duì)岸的交點(diǎn)就是橋的選址.

2.3

一定點(diǎn)+兩動(dòng)點(diǎn)

例6（2010年鄂州）如圖6，△ABC內(nèi)接于半徑為2的00，其中∠ABC= 45°，∠ACB= 60°，CD平分∠ACB交◎O于D，點(diǎn)M、N分別是線段CD、AC上的動(dòng)點(diǎn)，則MA +MN的最小值是（）.

方法歸納 該問(wèn)題是“一定點(diǎn)+兩動(dòng)點(diǎn)，求線段和的最小值”，方法是：作定點(diǎn)關(guān)于一定直線的對(duì)稱點(diǎn)，再過(guò)對(duì)稱點(diǎn)作另一定直線的垂線段，轉(zhuǎn)“折”為“直”，根據(jù)模型“垂線段最短”，可求線段和的最小值.

3 應(yīng)用輔助圓求最值

3.1 應(yīng)用弧中點(diǎn)求最值

例7如圖7，在梯形ABCD中，AD//BC，對(duì)角線ACIBD，若AD =3，BC =7，則梯形ABCD面積的最大值____.

分析 將對(duì)角線AC平移至DE，連結(jié)CE，則梯形ABCD面積等于△BDE的面積.Rt△BDE是動(dòng)態(tài)的，直角頂點(diǎn)D在以BE為直徑的半圓上移動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)D在半圓弧的中點(diǎn)時(shí)，△BDE的面積最大，即梯形ABCD的面積最大.

解析 將對(duì)角線AC平移至DE，連結(jié)CE，過(guò)B、D、E三點(diǎn)作半圓◎O.當(dāng)點(diǎn)D在半圓弧的中點(diǎn)D時(shí)，△BDE的面積最大，

因?yàn)镃E =AD =3，BE =BC+ CE= 10，

所以△BD'E的面積為1/2BE×OD' =25.

所以梯形ABCD面積的最大值為25.

方法歸納 當(dāng)直角三角形的斜邊長(zhǎng)是定值時(shí)，直角頂點(diǎn)的軌跡是以斜邊為直徑的圓.當(dāng)直角頂點(diǎn)在半圓弧的中點(diǎn)時(shí)，斜邊上的高最大，該三角形的面積最大.構(gòu)建輔助圓或弧，利用弧中點(diǎn)的特性，是圓中求最值問(wèn)題的有效途徑.

3.2 應(yīng)用切線求最值

例8如圖8，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（4.0），點(diǎn)B為y軸正半軸上的一點(diǎn)，AC=2.設(shè)∠BOC=m，則m的取值范圍是_____.

分析 點(diǎn)C是以點(diǎn)A為圓心，以2為半徑的圓上的動(dòng)點(diǎn)，∠BOC的大小由oc邊的位置決定，當(dāng)oc在x軸的上方與◎A相切時(shí)最小，當(dāng)OC在x軸的下方與OA相切時(shí)最大.

解析以A（4，0）為圓心，以2為半徑作◎A，過(guò)點(diǎn)0作◎A的切線OC、OC.

連結(jié)AC，則∠ACO =90°.

因?yàn)锳C =1/20A =2，所以∠AOC =30°.

由圓的對(duì)稱性可得，∠AOC=30°.

所以∠BOC= 60°，∠BOC=120°.

所以60°≤∠BOC≤120°.

即60°≤m≤120°.

方法歸納 到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的軌跡是圓.利用圓的切線或切點(diǎn)等特殊位置，是圓中求幾何最值的又一常用方法.

4 應(yīng)用代數(shù)方法求最值

4.1 配方法

例9 如圖9，在面積為24的△ABC中，矩形DEFG的邊DE在AB上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)F、G分別在邊BC、AC上.

（1）、（2）略;

（3）請(qǐng)直接寫(xiě)出矩形DEFG的面積的最大值，

分析矩形DEFG的面積是一個(gè)變量，它隨矩形的長(zhǎng)與寬的變化而變化，而長(zhǎng)與寬的關(guān)系可通過(guò)相似列比例式來(lái)表示，矩形DEFG的面積的最大值可借助二次函數(shù)模型，用配方法來(lái)求.

方法歸納若一個(gè)量用兩個(gè)變量的積表示，要求這個(gè)量的最值，常用模型是二次函數(shù)，再用配方法求其最值.

4.2 判別式法

例10如圖10，直線y=一1/2x+2與坐標(biāo)軸交于A、B兩點(diǎn)，以AB為直徑作◎M，P為◎M上的一動(dòng)點(diǎn)，且P的坐標(biāo)為（x，y），求x+y的最大值.

分析 x+y的值是一個(gè)變量，可考慮用函數(shù)來(lái)建模，設(shè)x+y=k，用x表示y.點(diǎn)P到圓心M的距離等于半徑，用這個(gè)等量關(guān)系建立方程，用方程的知識(shí)尋求k值的范圍.

方法歸納 求含有兩個(gè)變量代數(shù)式的最值，通常用輔助未知量表示兩個(gè)變量的關(guān)系，用等量關(guān)系建立含有一個(gè)輔助未知量的一元二次方程，用根的判別式建立關(guān)于輔助未知量的不等式，求出輔助未知量的最值.

由本文可知，平面幾何最值問(wèn)題的學(xué)習(xí)需經(jīng)歷三個(gè)階段：掌握基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能是起步階段;應(yīng)用基本圖形和基本方法，即建立基本模型，是基礎(chǔ)階段;運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法，是應(yīng)用的高級(jí)階段.所以平面幾何最值問(wèn)題的學(xué)習(xí)要循序漸進(jìn)，分步實(shí)施，既要掌握基礎(chǔ)知識(shí)與技能，獲得基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)與思想，又要發(fā)展思維與能力.