姜正川

生物學(xué)視野下的教學(xué)論研究提出：知識如樹，知識具有樹一樣的生命性和生長性。知識是人類生命運(yùn)動的產(chǎn)物，也是人類生命運(yùn)動的記錄。我們可以把知識看作一種生命運(yùn)動，知識的發(fā)生發(fā)展具有樹一樣的生命性和生長性。知識如樹，有樹根，樹桿，枝桿，枝葉，花果。知識樹有其自身的生命運(yùn)動規(guī)律，最為典型的如語文知識和數(shù)學(xué)知識，語文的字詞句章，數(shù)學(xué)知識的整數(shù)，小數(shù)，分?jǐn)?shù)，有理數(shù)，方程，函數(shù)等初等數(shù)學(xué)，一直到線性代數(shù)和微積分等高等數(shù)學(xué)，每一個知識內(nèi)容，都有知識之根，都具有樹一樣的生命性和生長性。

我們先以數(shù)學(xué)教學(xué)為例，知識如樹，樹有根。在中小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程中，學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的知識之根是什么呢？

（1）學(xué)生熟悉的生活經(jīng)驗(yàn)是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的知識之根。

數(shù)學(xué)研究的是現(xiàn)實(shí)世界中的數(shù)量關(guān)系和空間形式，數(shù)學(xué)中的有些知識，有時和學(xué)生熟悉的生活經(jīng)驗(yàn)有密切聯(lián)系。利用數(shù)學(xué)知識和學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)之間的相互聯(lián)系，可以使抽象的數(shù)學(xué)變得直觀易學(xué)。

例如，在教分?jǐn)?shù)概念的時候，常舉這樣的例子：把一個西瓜平均分成八等份，取其中的一份就是八分之一，記作1/8，取其中的三等分就是八分之三，記作3/8。把一張長方形的紙平均分成4等份，取其中的一份就是四分之一，記作1/4，取其中的三等份就是四分之三，記作3/4。

再如，在學(xué)習(xí)有理數(shù)加法法則時，先開展統(tǒng)計(jì)競賽結(jié)果的討論，規(guī)定贏的分?jǐn)?shù)為正，輸?shù)姆謹(jǐn)?shù)為負(fù)，請同學(xué)們統(tǒng)計(jì)以下比賽結(jié)果：（+3）+（-5）=？（-4）+（+6）=？（-5）+（+5）=？（-2）+（-3）=？（+2）+（+6）= ？。幾乎百分之百的學(xué)生都能統(tǒng)計(jì)出正確的結(jié)果。在學(xué)生實(shí)際上已經(jīng)理解有理數(shù)加法法則的情況下，再學(xué)習(xí)有理數(shù)加法法則，學(xué)生很容易學(xué)好而且充滿信心和興趣。

學(xué)生們熟悉的生活經(jīng)驗(yàn)，是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的知識之根。把一個數(shù)學(xué)知識和學(xué)生們熟悉的生活經(jīng)驗(yàn)結(jié)合起來學(xué)習(xí)和思考，學(xué)生很容易理解所學(xué)的數(shù)學(xué)知識。

（2）學(xué)生已有的知識經(jīng)驗(yàn)是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的知識之根。

就學(xué)習(xí)的本質(zhì)而言，學(xué)生的學(xué)習(xí)，一般總是利用已有的知識學(xué)習(xí)新的知識。一個新學(xué)的數(shù)學(xué)知識，如果和學(xué)生已有的知識經(jīng)驗(yàn)有密切聯(lián)系，就會變得容易學(xué)習(xí)。在新舊知識有密切聯(lián)系的情況下，學(xué)生的直覺、猜想、估計(jì)、比較、分析、轉(zhuǎn)化、感悟、發(fā)現(xiàn)、好奇、興趣等思維和情感的內(nèi)部機(jī)制，往往會得到充分啟動。

例如，在教負(fù)數(shù)的概念時，在學(xué)生已有的知識經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上提出新的問題：4-1=3，4-2=2，4-3=1，4-4=0，4-5=？實(shí)踐證明，幾乎所有的學(xué)生都會寫出答案等于-1。再接下來問學(xué)生：1-100=？27-53=？實(shí)踐證明，同樣幾乎所有的學(xué)生都能寫出正確的答案。在此基礎(chǔ)上，再引出負(fù)數(shù)的概念：小于0的數(shù)用負(fù)數(shù)表示。進(jìn)而指出大于0的數(shù)為正數(shù)，小于0的數(shù)為負(fù)數(shù)，0既不是正數(shù)也不是負(fù)數(shù)，并且順勢提出數(shù)軸的概念和形數(shù)結(jié)合的思想方法，學(xué)生很容易學(xué)好所學(xué)的知識。

一位學(xué)者在回憶自己中學(xué)時代的學(xué)習(xí)時指出：自己中學(xué)時代覺得數(shù)學(xué)很容易學(xué)習(xí)，教自己的數(shù)學(xué)老師好像從來不講新的知識，上課總是和大家討論，我們已經(jīng)掌握了什么知識，現(xiàn)在有一個新的問題，這個問題如何解決，師生交流討論解決新問題的過程就是學(xué)習(xí)新知識的過程，教師經(jīng)常這樣教我們以已有的知識經(jīng)驗(yàn)來學(xué)習(xí)和研究新的知識，我們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)很容易而且很有興趣。

學(xué)生已有的知識經(jīng)驗(yàn)是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的知識之根。教一個新的數(shù)學(xué)知識，設(shè)計(jì)教法時，盡量和學(xué)生已有的知識經(jīng)驗(yàn)結(jié)合起來學(xué)習(xí)和思考，學(xué)生們往往會很容易學(xué)好新的知識。

（3）動手操作的實(shí)踐活動是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的知識之根。

數(shù)學(xué)中的有些知識，通過做中學(xué)，通過動一動手，會變得比較容易理解和掌握。

小學(xué)生剛開始學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)時，利用10個手指來學(xué)習(xí)10以內(nèi)的加法是一個典型的例子。教圓錐的體積等于等高的圓柱的體積的三分之一這個知識時，讓學(xué)生動手操作一下，分3次將圓錐中的米倒入等底等高的圓柱容器正好倒?jié)M，學(xué)生通過動一動手，很容易掌握圓錐的體積公式。讓學(xué)生把一個粉筆頭向上拋出去，再看著粉筆頭落下來，進(jìn)而使學(xué)生在頭腦中形成拋物線的初步認(rèn)識。凡是學(xué)生動手操作而獲得的知識，總是直觀易懂，總會深刻而經(jīng)久不忘。

2001年，教育部和國家科學(xué)技術(shù)協(xié)會共同倡導(dǎo)和推動了有重大意義的“做中學(xué)”科學(xué)教學(xué)實(shí)驗(yàn)項(xiàng)目，在幼兒園和小學(xué)進(jìn)行基于動手做的探究式學(xué)習(xí)和教育。做中學(xué)的案例來源于生活，在兒童的生活中就地取材。引導(dǎo)兒童主動探究，親歷發(fā)現(xiàn)過程。

近年來，我們開展了平面幾何做中學(xué)的實(shí)驗(yàn)，在小學(xué)開展平面幾何做中學(xué)的活動。如兩直線的位置關(guān)系有平行和相交，相交中的有垂直。什么是角，銳角、直角、鈍角、平角。余角和補(bǔ)角。對頂角，對頂角的性質(zhì)和證明。三線八角中的同位角、內(nèi)錯角、同旁互角。平行線的判定定理和性質(zhì)定理，一直到幾何證明的基礎(chǔ)知識。所有的知識和大多數(shù)習(xí)題，都是學(xué)生動手操作，在動手操作中理解和掌握幾何初步知識。實(shí)踐證明，通過平面幾何做中學(xué)的活動，小學(xué)高年級學(xué)生可以熟練地掌握幾何初步知識和關(guān)于平行線的推理證明，這對他們進(jìn)入初中后學(xué)習(xí)幾何要順利得多。

動手操作的實(shí)踐活動是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的知識之根。研究和實(shí)踐表明，通過“做中學(xué)”的活動，數(shù)學(xué)不僅變得容易學(xué)習(xí)。而且學(xué)生在做中學(xué)獲得的知識，由于在學(xué)生自身的親自經(jīng)歷中獲得，常?？梢詢?nèi)化為人的終身難忘的科學(xué)素養(yǎng)和文化素質(zhì)。

（4）數(shù)學(xué)知識的本質(zhì)是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的知識之根。

有些數(shù)學(xué)知識比較抽象，學(xué)生比較難學(xué)。在這種情況下，有時候，直接揭示數(shù)學(xué)知識的本質(zhì)，學(xué)生對數(shù)學(xué)知識的理解會變得比較容易。

上世紀(jì)八十年代跟隨錢學(xué)森從事思維科學(xué)探究，以研究“相似論”著稱的張光鑒先生，經(jīng)常提起這樣的例子：SinA是什么？學(xué)生比較難學(xué)。教師應(yīng)當(dāng)直接告訴學(xué)生SinA這個數(shù)學(xué)符號的本質(zhì)。SinA就是在一個直角三角形中，銳角A所對的直角邊和斜邊的比。你揭示了這個本質(zhì)，看似復(fù)雜的三角函數(shù)，小學(xué)生都很容易理解和學(xué)習(xí)。另一位學(xué)者舉了物理學(xué)中壓強(qiáng)的例子。他提出，壓強(qiáng)是什么？壓強(qiáng)是壓力和面積的比，學(xué)生很容易理解，也很容易計(jì)算壓強(qiáng)。再舉一個極限的例子，先和學(xué)生一起研究0.999……為什么等于1。對于0.999……=1，學(xué)生理解起來總會有一些困惑，總感到0.999……怎么會等于1呢？通過揭示本質(zhì)的方法，向?qū)W生提出兩個思考途徑。第一途徑：0.999……無限地接近1?？梢钥醋?.999……和1之間距離為0，所以0.999……=1。第二途徑：0.999……=0.333……乘以3=1/3乘以3=1。通過以上二個途徑的思考，學(xué)生很容易理解0.999……的極限等于1。

數(shù)學(xué)知識的本質(zhì)是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的知識之根。有時候，揭示數(shù)學(xué)知識的本質(zhì)，學(xué)生很容易理解所學(xué)的數(shù)學(xué)知識。

（5）數(shù)學(xué)知識之間的相似規(guī)律是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的知識之根。

數(shù)學(xué)的許多知識之間，存在著廣泛的相似性特點(diǎn)，有的是基本原理的相似性，有的是解題思想方法之間的相似性。利用數(shù)學(xué)之間的相似性規(guī)律，可以使數(shù)學(xué)變得容易學(xué)習(xí)，

上世紀(jì)八十年代，我國著名科學(xué)家錢學(xué)森在全國組織和發(fā)起了思維科學(xué)研究。張光鑒先生在思維科學(xué)研究中提出了相似論，得到了錢學(xué)森的肯定。《相似論》一文，被編入錢學(xué)森主編的《思維科學(xué)》一書。張光鑒先生在相似論中提出：一切事物都是以相似為中介而聯(lián)系的。一切創(chuàng)造，無論是自然界的創(chuàng)造還是人類的創(chuàng)造，都是基于某種相似而進(jìn)行的。事物包含的相似功能越多，其作用就越大，應(yīng)用就越廣。

數(shù)學(xué)的某些知識之間，存在著廣泛的相似性。例如，單位相同才能相加減，這是加減法的基本原理。整數(shù)加減法強(qiáng)調(diào)數(shù)位對齊，小數(shù)加減法強(qiáng)調(diào)小數(shù)點(diǎn)對齊，分?jǐn)?shù)加減法強(qiáng)調(diào)先通分，分?jǐn)?shù)單位相同后再相加減，整式的加減強(qiáng)調(diào)同類項(xiàng)才能合并，分式的加減也是強(qiáng)調(diào)先通分，化成同分母分式后再相加減等等，都是基于單位相同才能相加減。整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)、整式的加減法法則，看似各不相同，但基本原理都是相似的。小數(shù)除法法則和分?jǐn)?shù)除法法則看似根本不同，但它們的推導(dǎo)方法都可以根據(jù)被除數(shù)和除數(shù)擴(kuò)大相同的倍數(shù)商不變的性質(zhì)而得到。數(shù)學(xué)的知識之間存在著廣泛的相似性，如學(xué)好整數(shù)的運(yùn)算，就容易學(xué)好小數(shù)和分?jǐn)?shù)的運(yùn)算。學(xué)好一元一次方程就容易學(xué)好二元一次方程和一元二次方程。學(xué)好幾何中的三角形就容易學(xué)好四邊形。所有這些，都是因?yàn)閿?shù)學(xué)的知識之間存在著廣泛的相似性和內(nèi)在的密切聯(lián)系性。在數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過程中，人們經(jīng)常強(qiáng)調(diào)舉一反三，觸類旁通，萬變不離其宗，這里的舉一反三的“一”，觸類旁通的“類”，萬變不離其宗的“宗”都是數(shù)學(xué)的知識和數(shù)學(xué)的方法之間存在著廣泛的相似性的具體體現(xiàn)。因?yàn)橹R之間的相似聯(lián)系是一種事實(shí)存在，所以人們在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)時才會有比較、轉(zhuǎn)化、歸納、遷移、聯(lián)想、想象等思維方法。

數(shù)學(xué)知識之間的相似性規(guī)律是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的知識之根。它為我們的數(shù)學(xué)教學(xué)提供了兩個重要的啟示。第一，根據(jù)數(shù)學(xué)之間的相似性規(guī)律來設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容的編排，可以使數(shù)學(xué)容易學(xué)習(xí)，有時可以節(jié)省大量時間。第二，在數(shù)學(xué)的知識之間有相似性聯(lián)系時，教師揭示這種相似性，學(xué)生對數(shù)學(xué)的理解就會容易很多。

（6）數(shù)學(xué)基礎(chǔ)和數(shù)學(xué)思想方法是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的知識之根。

數(shù)學(xué)的知識有時比較復(fù)雜，數(shù)學(xué)的習(xí)題很多而且有許多變化。如果真正幫助學(xué)生打好了基礎(chǔ)，如果幫助學(xué)生掌握了數(shù)學(xué)思想方法，學(xué)生學(xué)習(xí)新的知識和思考復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題，就會有一個較好的基礎(chǔ)和基本的方向和思路，就會以不變應(yīng)萬變，就會容易學(xué)好數(shù)學(xué)和容易解決所面臨的數(shù)學(xué)問題。

學(xué)生的學(xué)習(xí)，總是以已有的知識經(jīng)驗(yàn)來學(xué)習(xí)新的知識。在教學(xué)過程中，新知識的學(xué)習(xí)一般總是基于學(xué)生已有知識經(jīng)驗(yàn)而展開的。因此，學(xué)生的基礎(chǔ)顯得極為重要，基礎(chǔ)好，新知識的學(xué)習(xí)必然容易。在該打基礎(chǔ)的地方一定要幫助學(xué)生打好扎實(shí)的基礎(chǔ)。乘除法的基礎(chǔ)好，學(xué)生學(xué)習(xí)約數(shù)和倍數(shù)等數(shù)的整除性知識就會十分容易。約數(shù)和倍數(shù)方面的知識基礎(chǔ)好，學(xué)習(xí)通分和約分就會十分容易，進(jìn)而到初中學(xué)習(xí)分式時就會很容易。一元一次方程的基礎(chǔ)打得好，學(xué)習(xí)二元一次方程組必然容易。這里所說的基礎(chǔ)，除了基礎(chǔ)知識和基本技能以外，還有許多極為重要的內(nèi)容，如良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣，科學(xué)的學(xué)習(xí)方法，較高的思維品質(zhì)和情感品質(zhì)等等。

數(shù)學(xué)教學(xué)幫助學(xué)生打好堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)，包括不斷幫助學(xué)生掌握數(shù)學(xué)思想方法。常用的數(shù)學(xué)思想方法，如類比的方法，化歸的方法，歸納的方法，分類討論的方法，形數(shù)結(jié)合的方法等等。每一個數(shù)學(xué)知識點(diǎn)的學(xué)習(xí)，每一個數(shù)學(xué)題的解答，都和一定的數(shù)學(xué)思想方法有關(guān)。以初中數(shù)學(xué)為例，學(xué)生進(jìn)入初中學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，一開始學(xué)習(xí)有理數(shù)概念就碰到分類討論的思想方法，接下來學(xué)習(xí)絕對值概念時又會碰到分類討論的思想方法和形數(shù)結(jié)合的思想方法。教師在教學(xué)過程中經(jīng)常向數(shù)學(xué)思想方法和哲學(xué)理論升華，幫助學(xué)生掌握數(shù)學(xué)知識的本質(zhì)和結(jié)構(gòu)，幫助學(xué)生掌握數(shù)學(xué)知識的相互聯(lián)系和規(guī)律，學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識就會比較容易。

綜上所述，學(xué)生熟悉的生活經(jīng)驗(yàn)，學(xué)生已有的知識經(jīng)驗(yàn)，學(xué)生的實(shí)踐活動，數(shù)學(xué)知識的本質(zhì)，數(shù)學(xué)知識之間的相似聯(lián)系，數(shù)學(xué)基礎(chǔ)和數(shù)學(xué)思想方法，是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的知識之根。在現(xiàn)實(shí)的中小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)活動中，當(dāng)我們教學(xué)一個新的知識時，把這個知識和其相應(yīng)的學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的知識之根聯(lián)系起來而設(shè)計(jì)教學(xué)的過程和方法，數(shù)學(xué)的教學(xué)就具有了樹一樣自然的生命性和生長性，這樣的數(shù)學(xué)教學(xué)就會事半功倍。知識如樹，學(xué)習(xí)如樹?；谥R如樹和學(xué)習(xí)如樹的教學(xué)方法，適用于數(shù)學(xué)教學(xué)，也適用于其他學(xué)科的教學(xué)。