從子列的視角來(lái)判定等差（比）數(shù)列

江蘇省常州高級(jí)中學(xué) 陳小紅

結(jié)論1．設(shè)k為給定的不小于2的正整數(shù)，若數(shù)列｛an｝的前k項(xiàng)構(gòu)成公差為d的等差數(shù)列，且子列｛akn-s｝（其中s=0，1，2，…，k-1）都是公差為kd的等差數(shù)列，則｛an｝是等差數(shù)列．

結(jié)論2．設(shè)k為給定的不小于2的正整數(shù)，若數(shù)列｛an｝的前k項(xiàng)構(gòu)成公比為q的等比數(shù)列，且子列｛akn-s｝（其中s=0，1，2，…，k-1）都是公比為qk的等比數(shù)列，則｛an｝是等比數(shù)列．

結(jié)論1的證明：因?yàn)椋鸻kn-s｝（其中s=0，1，2，…，k-1）是公差為kd的等差數(shù)列，

所以akn-s=ak-s+（n-1）kd；又因?yàn)閍1，a2，…，ak構(gòu)成公差為d的等差數(shù)列，

所以ak-s=a1+（k-s-1）d，于是akn-s=a1+（k-s-1）d+（n-1）kd=a1+（kns-1）d．

注意到每一個(gè)正整數(shù)都可以表示成kn-s（其中s=0，1，2，…，k-1）的形式，故對(duì)于任意的n∈N*，都有an=a1+（n-1）d．因此對(duì)任意的n∈N*，都有an+1-an=d，于是｛an｝是等差數(shù)列．

結(jié)論2的證明完全類似，此處不再贅述．

兩個(gè)結(jié)論本身并不重要，但其證明的過(guò)程卻給出了證明等差（比）數(shù)列的一個(gè)新的視角，即從子列的視角，先求出子列的通項(xiàng)公式進(jìn)而得出原數(shù)列的通項(xiàng)公式，再利用通項(xiàng)公式證明數(shù)列為等差（比）數(shù)列．下面，舉兩例來(lái)說(shuō)明如何使用這樣的方法解題．

例1設(shè)數(shù)列｛an｝的各項(xiàng)均為正數(shù)，若對(duì)于任意的n∈N*，存在k∈N*，使得a2n+k=anan+2k成立，則稱數(shù)列｛an｝為“Jk型”數(shù)列．若數(shù)列｛an｝既是“J3型”數(shù)列，又是“J4型”數(shù)列．

求證：數(shù)列｛an｝為等比數(shù)列．

分析 根據(jù)“J4型”數(shù)列的定義，數(shù)列a1，a5，a9，a13，a17，a21，…為等比數(shù)列，設(shè)其公比為Q．根據(jù)“J3型”數(shù)列的定義，數(shù)列a1，a4，a7，…，a3n-2，…為等比數(shù)列，設(shè)其公比為q1，數(shù)列a2，a5，a8，…，a3n-1，…為等比數(shù)列，設(shè)其公比為q2，數(shù)列a3，a6，a9，…，a3n，…為等比數(shù)列，設(shè)其公比為q3．通過(guò)列出各數(shù)列的盡可能多的項(xiàng)并觀察可以發(fā)現(xiàn)，前面三個(gè)等比數(shù)列中都有某些項(xiàng)總在公比為Q的等比數(shù)列a1，a5，a9，a13，a17，a21，…中出現(xiàn)，這樣就可以得出q1，q2，q3與Q的關(guān)系，從而可用Q表示q1，q2，q3，進(jìn)而用a1與Q表示數(shù)列｛a3n-2｝，｛a3n-1｝，｛a3n｝的通項(xiàng)公式，再得出原數(shù)列的通項(xiàng)公式，最后可利用通項(xiàng)公式來(lái)證明等比數(shù)列．

證明 因?yàn)閿?shù)列｛an｝是“J3型”數(shù)列，所以對(duì)任意的n∈N*恒成立，又?jǐn)?shù)列｛an｝的各項(xiàng)均為正數(shù)，所以an，an+3，an+6成等比數(shù)列，則數(shù)列｛a3n-2｝，｛a3n-1｝，｛a3n｝都是等比數(shù)列，設(shè)它們的公比分別為q1，q2，q3．因?yàn)閿?shù)列｛an｝是“J4型”數(shù)列，所以anan+8對(duì)任意的n∈N*恒成立，又?jǐn)?shù)列｛an｝的各項(xiàng)均為正數(shù)，所以an，an+4，an+8成等比數(shù)列．因此，a1，a5，a9，a13，a17，a21，…為等比數(shù)列，設(shè)其公比為Q．

點(diǎn)評(píng) 解答中有兩個(gè)關(guān)鍵步驟．其一，利用a1與a13，a5與a17，a9與a21在不同的等比數(shù)列中的關(guān)系來(lái)證明3個(gè)公比相等；其二，表達(dá)出三個(gè)子列的通項(xiàng)公式，此處a3n-1用a5來(lái)表示，a3n用a9來(lái)表示，原因是a5，a9都可很方便地用a1與Q表示．

例2對(duì)于給定的正整數(shù)k，若數(shù)列｛an｝滿足an-k+an-k+1+…+an-1+an+1+…+an+k-1+an+k=2kan對(duì)任意正整數(shù)n（n＞k）總成立，則稱數(shù)列｛an｝是“P（k）數(shù)列”．

（1）略；

（2）若數(shù)列｛an｝既是“P（2）數(shù)列”，又是“P（3）數(shù)列”，證明：｛an｝是等差數(shù)列．

分析 根據(jù)“P（2）數(shù)列”與“P（3）數(shù)列”的定義，很容易得到an-2+an-1+an+1+an+2=4an（n≥3），an-3+an-2+an-1+an+1+an+2+an+3=6an（n≥4），兩式作差得出an-3+an+3=2an對(duì)n≥4恒成立，則三個(gè)子數(shù)列｛a3n-2｝，｛a3n-1｝，｛a3n｝都是等差數(shù)列．若設(shè)這三個(gè)等差數(shù)列的公差分別為d1，d2，d3，再設(shè)法證明三個(gè)公差相等．若在等式an-2+an-1+an+1+an+2=4an（n≥3）中分別賦值n=3和n=6，這樣兩式相減就只有d1，d2，d3的等式，類似地再賦一些合適的值得出d1，d2，d3的其他等式，通過(guò)方程組思想證明d1=d2=d3．然后再通過(guò)賦值研究a1，a2，a3之間的關(guān)系，即可用a1與d1表示數(shù)列｛a3n-2｝，｛a3n-1｝，｛a3n｝的通項(xiàng)公式．再得出原數(shù)列的通項(xiàng)公式，最后可利用通項(xiàng)公式來(lái)證明等差數(shù)列．

證明 （2）因?yàn)閿?shù)列｛an｝是“P（2）數(shù)列”，所以an-2+an-1+an+1+an+2=4an①對(duì)n≥3，且n∈N*恒成立．又因?yàn)閿?shù)列｛an｝是“P（3）數(shù)列”，所以an-3+an-2+an-1+an+1+an+2+an+3=6an②對(duì)n≥4，且n∈N*恒成立．

②—①得，an-3+an+3=2an對(duì)n≥4，且n∈N*恒成立，即an-3，an，an+3成等差數(shù)列，則數(shù)列｛a3n-2｝，｛a3n-1｝，｛a3n｝都是等差數(shù)列，設(shè)公差分別為d1，d2，d3．

由①得a1+a2+a4+a5=4a3③，a4+a5+a7+a8=4a6④，則由④-③得，2d1+2d2=4d3，即d1+d2=2d3；

由①得a2+a3+a5+a6=4a4⑤，a5+a6+a8+a9=4a7⑥，則由⑥-⑤得，2d2+2d3=4d1，即d2+d3=2d1；

由①得a3+a4+a6+a7=4a5⑦，a6+a7+a9+a10=4a8⑧，則由⑧-⑦得，2d3+2d1=4d2，即d3+d1=2d2．

因此，d1=d2=d3，故可令d1=d2=d3=d．

由③得到a1+a2+d=2a3，由⑤得到a2+a3=2a1+d，

點(diǎn)評(píng) 類似于例1，本題解答中也有兩個(gè)關(guān)鍵步驟．其一，利用賦值得到相關(guān)的方程組來(lái)證明3個(gè)公差相等，賦值時(shí)可使兩等式中對(duì)應(yīng)項(xiàng)的下標(biāo)相差3，兩等式作差后的等式中僅有字母d1，d2，d3；其二，是尋找a1，a2，a3的關(guān)系，也是通過(guò)賦值得到方程組并解方程組得到，在方程組中視a1與d為已知，視a2與a3為未知．

前面所舉的兩例難度比較大，給出的解法的共性是明顯的，即從它們的子列的通項(xiàng)入手進(jìn)行深入分析，合理地研究某些項(xiàng)在不同的數(shù)列中的關(guān)系或者恰當(dāng)?shù)刭x值得出方程組進(jìn)而得出子列的公差（比）相等，得出子列的通項(xiàng)公式，最后給出原數(shù)列的通項(xiàng)公式，再判斷數(shù)列為等差（比）數(shù)列．當(dāng)然，對(duì)于例2還有其他的解法，本文僅僅是提供了一種解決這類問(wèn)題的視角以分享．