“楊輝三角”的應(yīng)用探究

黃福龍

【摘 要】楊輝三角是二項(xiàng)式系數(shù)在三角形中的一種幾何排列，它的兩條斜邊都是由數(shù)字1組成，而其余的數(shù)則是等于它肩上的兩個(gè)數(shù)之和，它的發(fā)現(xiàn)具有巨大的歷史意義，是中國古代數(shù)學(xué)史上精彩的一頁篇章，楊輝三角內(nèi)容豐富是數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)與思想方法的重要體現(xiàn)。本文將通過楊輝三角與二項(xiàng)式定理等知識(shí)結(jié)合以及楊輝三角在生活中應(yīng)用的一些例題，揭開楊輝三角的奧秘，并感受數(shù)學(xué)的美與樂趣。

【關(guān)鍵詞】楊輝三角；二項(xiàng)式定理；縱橫路線圖；萊布尼茨三角形；數(shù)學(xué)文化

【中圖分類號】G633.6 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A 【文章編號】1671-8437（2019）10-0082-03

楊輝三角是中國古代數(shù)學(xué)家賈憲發(fā)現(xiàn)，也稱賈憲三角，并被南宋數(shù)學(xué)家楊輝輯錄在《詳解九章算法》一書中，這一發(fā)現(xiàn)比西方的“帕斯卡三角形”早了5個(gè)世紀(jì)，具有重大的歷史意義和民族自豪感，下面我們先感受一下楊輝三角中的數(shù)字特征。

1 楊輝三角與斐波那契數(shù)列

例1 圖1是楊輝三角，對圖1中的數(shù)字進(jìn)行分析，我們?nèi)菀椎玫揭韵绿卣鳌?/p>

（1）楊輝三角兩腰都是由數(shù)字1組成，其余的數(shù)都等于它肩上的兩數(shù)相加。

（2）楊輝三角的第n行就是展開式的系數(shù)，即。

（3）當(dāng)P為質(zhì)數(shù)時(shí)，第P行除去兩端的數(shù)字1以外的所有數(shù)都能被P整除[3]。

（4）。

（5）寫出圖1中斜線上各行數(shù)字的和，得到1，1，2，3，5，8，13，21，34……，此數(shù)列滿足，且（n3≥3），這就是著名的反映自然規(guī)律的斐波那契數(shù)列。

由此，我們可知道楊輝三角的內(nèi)容豐富奇妙，又極具變化，令我們不禁為之癡迷，下面通過一些例題來感受楊輝三角在高考中的神奇魅力。

2 楊輝三角與二項(xiàng)式定理的結(jié)合

例2 將楊輝三角中的奇數(shù)換成1，偶數(shù)換成0，得到圖2所示的0—1三角數(shù)表。從上往下數(shù)，第1次全行的數(shù)都為1的是第1行，第2次全行的數(shù)都為1的是第3行，……，第n次全行的數(shù)都為1的是第幾行？

解析：由題得，全行的數(shù)都為1的分別是第1行，第3行，第7行，第15行……，又因?yàn)閿?shù)1，3，7，15……的通項(xiàng)為2n-1，所以第n次全行的數(shù)都為1的是第2n-1行。

例3 在 的展開式中，把， ，，……，叫做三項(xiàng)式的n次系數(shù)列。

（1）例如三項(xiàng)式的1次系數(shù)列是1，1，1，填空：

三項(xiàng)式的2次系數(shù)列是_____；

三項(xiàng)式的3次系數(shù)列是_____。

（2）二項(xiàng)式的展開式中，系數(shù)可用楊輝三角形數(shù)陣表示，如圖3。

①當(dāng)時(shí)，類似楊輝三角形數(shù)陣表，請列出三項(xiàng)式的次系數(shù)列的數(shù)陣表；

②由楊輝三角形數(shù)陣表中可得出性質(zhì)：，類似的請用三項(xiàng)式的次系數(shù)表示（無須證明）；

（3）試用二項(xiàng)式系數(shù)（組合數(shù)）表示。

解析：（1）三項(xiàng)式的2次系數(shù)列是1，2，3，2，1；三項(xiàng)式的3次系數(shù)列是1，3，6，7，6，3，1。

（2）①三項(xiàng)式的次系數(shù)的數(shù)陣表如下：

②觀察得：

（3）因?yàn)?，由（Ⅱ）②?/p>

，

，……，

所以，又，

故由得

因此，，，……，

累加并化簡得，。

例4 觀察如下數(shù)表的規(guī)律（仿楊輝三角：下一行的數(shù)等于上一行肩上相鄰兩數(shù)的和）：該數(shù)表最后一行只有一個(gè)數(shù)，則這個(gè)數(shù)是____.

解析：觀察規(guī)律，發(fā)現(xiàn)：第1行有3個(gè)數(shù)時(shí)，最后一個(gè)數(shù)為8=23-2（3+1），第1行有4個(gè)數(shù)時(shí)，最后一個(gè)數(shù)為20=24-2（4+1），第1行有5個(gè)數(shù)時(shí)，最后一個(gè)數(shù)為

48=25-2（5+1），……，第1行有2017個(gè)數(shù)時(shí)，最后一個(gè)數(shù)為22017-2（2017+1）=22015×2018。

從以上3題例題中，我們看到楊輝三角和數(shù)列及二項(xiàng)式定理等應(yīng)用結(jié)合，試題難度大，變化多樣，既考查了學(xué)生的歸納推理能力，也考查了由數(shù)表探究數(shù)列的規(guī)律，根據(jù)數(shù)字的排布規(guī)律，計(jì)算數(shù)表數(shù)列問題，以及數(shù)列的應(yīng)用，要求學(xué)生具有分析問題和解答問題的能力[1-2]。這恰恰也說明楊輝三角具有很高的數(shù)學(xué)地位，下面再從生活上去體會(huì)它在實(shí)際生活中的應(yīng)用。

3 楊輝三角在實(shí)際生活中的應(yīng)用

例5 楊輝三角與縱橫路線圖

“縱橫路線圖”是數(shù)學(xué)中的一類有趣的問題：如圖6是某城市的部分街道圖，縱橫各有五條路，如果從A處走到B處（只能由北到南，由西向東），那么有多少種不同的走法？

答案 從圖7所示，A到每一個(gè)交叉點(diǎn)的走法其實(shí)蘊(yùn)含著楊輝三角的知識(shí)，易知答案是70。

可以說將楊輝三角進(jìn)行恰當(dāng)?shù)淖兓?，就可以得到很多奇妙的結(jié)論，其中蘊(yùn)含著豐富的數(shù)學(xué)思想。

例6 楊輝三角與彈子游戲

如圖8的彈子游戲，小球（黑色）向容器內(nèi)跌落，碰到第一層阻擋物后等可能地向兩側(cè)跌落，碰到第二層阻擋物再等可能地向兩側(cè)第三層跌落，如是一直下跌，最終小球落入底層，根據(jù)具體區(qū)域獲得獎(jiǎng)品。試問：為什么兩邊區(qū)獎(jiǎng)品高于中間區(qū)獎(jiǎng)品？

解析：將楊輝三角形中每一個(gè)數(shù)都換成分?jǐn)?shù)， 就得一個(gè)由分?jǐn)?shù)組成的三角形（如圖9，此圖稱為萊布尼茨三角形，它與楊輝三角形有相似的性質(zhì)，即萊布尼茨三角形中的每一個(gè)數(shù)都等于其“腳下”兩數(shù)之和，即

，

此性質(zhì)體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的和諧美。

將楊輝三角在現(xiàn)代生活中的充分體現(xiàn)，不僅讓數(shù)學(xué)變得直觀，也可以提高學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣，是學(xué)生體會(huì)到數(shù)學(xué)是源于生活并高于生活。

楊輝三角有著豐富的內(nèi)涵，滲透著函數(shù)與方程，歸納猜想，化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法。有些性質(zhì)對于高中生來說，并不要求嚴(yán)格證明，但是當(dāng)讓學(xué)生學(xué)會(huì)歸納推理，提高分析問題和解決問題是一件重要的事情，它與二項(xiàng)式定理斐波那契之間的奇妙聯(lián)系是人們對數(shù)學(xué)不斷認(rèn)識(shí)理解的結(jié)果，是打開科學(xué)大門的鑰匙，是科學(xué)的語言，思維的工具，，是一種思想方法，，一種理性的精神。本文中的例題可以使學(xué)生能在深入理解楊輝三角與二項(xiàng)式定理之間聯(lián)系的同時(shí)，又提高了學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的趣味性，進(jìn)一步學(xué)會(huì)用聯(lián)系與發(fā)展的眼光看問題。

【參考文獻(xiàn)】

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