馬晴霞+黃剛

摘 要 高等數(shù)學(xué)是理工科院校的必修科目之一，是進(jìn)一步學(xué)習(xí)后續(xù)課程必不可少的基礎(chǔ)。本文作者根據(jù)自己在高校的長(zhǎng)期教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，探討如何從根本上提高學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力，從而促進(jìn)高等數(shù)學(xué)的教學(xué)相長(zhǎng)。這其中做了諸多嘗試，如改變教學(xué)模式、促進(jìn)學(xué)生自己思考、用生活中的實(shí)例進(jìn)行思維訓(xùn)練、建模訓(xùn)練、形成數(shù)學(xué)文化體系等。

關(guān)鍵詞 高等數(shù)學(xué)教學(xué) 數(shù)學(xué)模型應(yīng)用 數(shù)學(xué)思維 數(shù)學(xué)文化

中圖分類號(hào)：G424 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A DOI：10.16400/j.cnki.kjdks.2016.10.060

Abstract Higher mathematics， one of compulsory subjects in the colleges of science and engineering， is essential for studying further courses. Combining his teaching experiences， the author discusses how to use diversified teaching， mathematical modeling cases and mathematical culture to improve Higher mathematics teaching results， thus improve students ability to solving practical problems.

Keywords Higher Mathematics； mathematical modeling application； mathematical thinking； mathematical culture

高等數(shù)學(xué)作為理工科院校的必修科目之一，其重要程度不言而喻。它不僅是不同專業(yè)背景的學(xué)生后續(xù)課程學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)，而且在培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算推理能力、邏輯思維能力方面發(fā)揮著巨大的作用，同時(shí)也為未來從事科學(xué)研究奠定堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。而高等數(shù)學(xué)課程本身的特點(diǎn)決定這門課程的學(xué)習(xí)必然是一個(gè)艱苦的過程。這門課程與自然科學(xué)不同，抽象性極高，很多時(shí)候難以用實(shí)例進(jìn)行透徹的解釋，學(xué)習(xí)過程中需要邏輯縝密的數(shù)學(xué)思維進(jìn)行思考，考察題目的多樣變化導(dǎo)致的解題方法的復(fù)雜，這些因素都使得學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中阻力很大。那么，怎樣提高高等數(shù)學(xué)的教學(xué)效果，怎樣提高學(xué)生解決實(shí)際問題的能力，就成為高等教育工作者需要思考的問題。以下是筆者對(duì)多年的高等數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐的一些思考。

1 高等數(shù)學(xué)教學(xué)中存在的問題

1.1 教學(xué)模式陳舊

高等數(shù)學(xué)的教學(xué)格局已經(jīng)多年沒有實(shí)質(zhì)性的改變，依然是學(xué)生上課聽老師講述，在老師的指導(dǎo)下來理解定義、定理、公式等，下課之后進(jìn)行習(xí)題訓(xùn)練來鞏固課上所學(xué)。其局限性在于教師灌輸多，具有絕對(duì)的權(quán)威；學(xué)生作為被動(dòng)的“知識(shí)接收器”，獨(dú)立自主活動(dòng)少。這種教學(xué)方法會(huì)導(dǎo)致學(xué)生被動(dòng)地在老師的要求下學(xué)習(xí)，對(duì)課上的所學(xué)內(nèi)容進(jìn)行機(jī)械的重復(fù)，基本沒有形成數(shù)學(xué)思維，進(jìn)行數(shù)學(xué)創(chuàng)造的可能性。

1.2 學(xué)習(xí)內(nèi)容重理論、輕應(yīng)用

高等數(shù)學(xué)本身具有較強(qiáng)的抽象性和嚴(yán)密的邏輯性，這在一定程度上就已經(jīng)加大了學(xué)習(xí)的難度。而教學(xué)內(nèi)容太過于強(qiáng)調(diào)理論性、邏輯性和嚴(yán)謹(jǐn)性，更會(huì)使很多學(xué)生對(duì)高等數(shù)學(xué)產(chǎn)生了一種“恐懼”心理。這樣既不利于學(xué)生對(duì)高等數(shù)學(xué)課程的接受和學(xué)習(xí)，培養(yǎng)他們的數(shù)學(xué)素質(zhì)，又會(huì)影響到后續(xù)專業(yè)課程的學(xué)習(xí)。怎樣真正將數(shù)學(xué)知識(shí)應(yīng)用到實(shí)際問題中，提高學(xué)生解決實(shí)際問題的能力，是教師需要考慮的問題。

1.3 數(shù)學(xué)文化基礎(chǔ)薄弱

在現(xiàn)階段，大多數(shù)的數(shù)學(xué)教學(xué)比較強(qiáng)調(diào)向?qū)W生灌輸教材上的內(nèi)容，以期盡可能地讓學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中掌握更多的定理、公式和解題方法，把數(shù)學(xué)教學(xué)等同于解題教學(xué)，讓學(xué)生淹沒在公式—解題—新的公式這樣一個(gè)枯燥的循環(huán)中，這樣學(xué)生會(huì)很容易失去學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，誤以為數(shù)學(xué)只是一種用來無休止解題的考試工具。于是學(xué)生會(huì)忽視數(shù)學(xué)的真正價(jià)值，無從體會(huì)到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的實(shí)用內(nèi)涵以及文化內(nèi)涵。

2 提高高等數(shù)學(xué)教學(xué)效果的策略

2.1 多種教學(xué)方法結(jié)合進(jìn)行教學(xué)

（1）逆向求知教學(xué)。這種教學(xué)方法從實(shí)際專業(yè)問題入手，讓學(xué)生從實(shí)際問題中尋找數(shù)學(xué)答案。當(dāng)專業(yè)問題中遇到需要一定數(shù)學(xué)知識(shí)才能解決的問題之時(shí)，逆向?qū)ふ疫@些定理公式，這樣帶著求知欲逆向?qū)W習(xí)，一起合作、共同查找資料來解決問題。相對(duì)于傳統(tǒng)講授式課程學(xué)習(xí)中被動(dòng)地接收知識(shí)灌輸?shù)膶W(xué)習(xí)方式，此種教學(xué)以專業(yè)問題刺激學(xué)生思考，提供學(xué)生主動(dòng)參與問題討論的機(jī)會(huì)，并與教師和小組成員反饋、互動(dòng)，真正使得高等數(shù)學(xué)的知識(shí)學(xué)以致用。同時(shí)學(xué)生獲得新的知識(shí)、問題解決技巧及團(tuán)隊(duì)領(lǐng)導(dǎo)溝通能力。

（2）引導(dǎo)學(xué)生自學(xué)。學(xué)生學(xué)習(xí)成績(jī)好壞、知識(shí)掌握的熟練程度與教師本身的素質(zhì)高低、表述能力等是分不開的，但是這都屬于外因，外因是一定要通過內(nèi)因起作用的，這個(gè)內(nèi)因就是學(xué)生自身的主觀能動(dòng)學(xué)習(xí)。高等數(shù)學(xué)課程內(nèi)容多且抽象，僅僅靠上課聽是不夠的，需要學(xué)生課后合理安排大量的時(shí)間自覺學(xué)習(xí)。當(dāng)然，教師應(yīng)正確引導(dǎo)學(xué)生的自學(xué)。教師要教會(huì)學(xué)生獨(dú)立思考問題的方式和方法，把重點(diǎn)放在問題的引入、分析和解決問題的思路上。另外要重視數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)，包括邏輯方面的思想方法和一般性的數(shù)學(xué)思想方法，如猜想法、構(gòu)造法和數(shù)學(xué)模型法等。

2.2 將數(shù)學(xué)建模的思想貫穿于教學(xué)內(nèi)容中

數(shù)學(xué)在多種學(xué)科中有廣泛的應(yīng)用，不光是可以作為計(jì)算工具推導(dǎo)獲得結(jié)果，還有著極為重要的功能就是進(jìn)行數(shù)學(xué)建模。數(shù)學(xué)模型的應(yīng)用十分廣泛，在各個(gè)專業(yè)中都會(huì)有所體現(xiàn)，是解決問題的一種特殊而高效的模式。通過對(duì)某些具體專業(yè)問題進(jìn)行數(shù)學(xué)建模，可以有效地對(duì)問題的固有特征進(jìn)行抽象和分析，從而將一個(gè)復(fù)雜的問題簡(jiǎn)化成為某些參數(shù)的變化，并且通過這種方式可以根據(jù)研究者的需要，人為控制一些不可能恒定的參數(shù)，從而研究另外一些參量。這種數(shù)學(xué)建模的思想是數(shù)學(xué)思想的根本之一，讓學(xué)生體會(huì)這種發(fā)現(xiàn)問題、提出假設(shè)、進(jìn)行數(shù)學(xué)加工，最終形成模型解決問題的過程，可以讓學(xué)生逐步提高對(duì)數(shù)學(xué)的興趣。同時(shí)，由于有了對(duì)具體問題進(jìn)行加工的經(jīng)驗(yàn)，學(xué)生在將來遇到實(shí)際問題時(shí)候會(huì)自然而然的想到使用建模的方法結(jié)合實(shí)際工作來解決問題，真正可以將數(shù)學(xué)與實(shí)踐有機(jī)結(jié)合起來，這樣會(huì)使得數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)不再是空談，而是成為一種真正有意義的學(xué)習(xí)過程。

2.3 把數(shù)學(xué)文化知識(shí)加入課堂中

數(shù)學(xué)文化修養(yǎng)是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的升華過程，當(dāng)學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中培養(yǎng)了嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)邏輯思維，有了相當(dāng)程度的數(shù)學(xué)能力的時(shí)候，需要對(duì)其進(jìn)行進(jìn)一步的培養(yǎng)，也就是進(jìn)行數(shù)學(xué)文化的熏陶。通過了解數(shù)學(xué)的歷史與文化，理解數(shù)學(xué)的發(fā)展過程，學(xué)生可以進(jìn)一步體會(huì)數(shù)學(xué)的精髓，有助于培養(yǎng)學(xué)生的理解力和學(xué)習(xí)力，使學(xué)生潛在的創(chuàng)造力得到最大程度的激發(fā)。

教師在教學(xué)中可以適當(dāng)?shù)叵驅(qū)W生介紹數(shù)學(xué)的發(fā)展過程，數(shù)學(xué)家的奇聞?shì)W事等，可以讓學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)有更為濃厚的興趣，從而不再懼怕數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，進(jìn)而培養(yǎng)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。

例如，講冪級(jí)數(shù)的收斂性時(shí)，可以簡(jiǎn)單介紹一下大數(shù)學(xué)家阿貝爾。阿貝爾一生窮困潦倒，但一直堅(jiān)持?jǐn)?shù)學(xué)研究創(chuàng)作。數(shù)學(xué)專業(yè)的學(xué)生還會(huì)遇到阿貝爾的收斂性檢驗(yàn)法、阿貝爾積分方程和抽象代數(shù)中的阿貝爾群。阿貝爾的一些偉大數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)，因權(quán)威的疏忽和偏見長(zhǎng)期沒有得到承認(rèn)，1829年這位偉大的數(shù)學(xué)家在貧困和疾病的折磨下逝世了。年輕早逝的阿貝爾就像數(shù)學(xué)星空中閃電般的流星放射出早期的異彩，埃爾米特說過：“他給數(shù)學(xué)家們留下的思想，可供數(shù)學(xué)家們工作150年”。根據(jù)聯(lián)合記憶原理，這種比較容易讓學(xué)生感興趣的小故事很容易就記住，而數(shù)學(xué)原理和公式雖然比較晦澀且難于記憶，但是在聯(lián)合記憶的情況下，就很容易理解和記憶，更有利于數(shù)學(xué)教學(xué)。

比如微分方程這部分內(nèi)容是令好多學(xué)生比較頭疼的問題。為了增加學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，教師在講授伯努利方程的時(shí)候，可以簡(jiǎn)單介紹一下伯努利方程名字的由來，進(jìn)而讓學(xué)生們了解一下歐洲數(shù)學(xué)界出現(xiàn)的一共有十余位數(shù)學(xué)家的神奇的家族——伯努利家族，這樣就學(xué)生就不會(huì)覺得這個(gè)方程枯燥無味，反而會(huì)把對(duì)這個(gè)家族的好奇心和敬佩轉(zhuǎn)化為學(xué)習(xí)的動(dòng)力。

同時(shí)，數(shù)學(xué)文化不但體現(xiàn)為讓學(xué)生了解歷史和人文，還體現(xiàn)在讓學(xué)生在理論聯(lián)系實(shí)際的過程中感受到數(shù)學(xué)的力量，在應(yīng)用各種數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題的同時(shí)，會(huì)更加明白數(shù)學(xué)的重要性，并且有更濃厚的興趣和動(dòng)力進(jìn)一步促進(jìn)學(xué)習(xí)。因此，數(shù)學(xué)文化可以正真激發(fā)出學(xué)生對(duì)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的主觀興趣，讓學(xué)生充分體驗(yàn)數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值。

總之，高等數(shù)學(xué)是大多數(shù)理工類學(xué)科必修的一門關(guān)鍵課程，如何采用多種教學(xué)方式，如何通過數(shù)學(xué)建模案例提高學(xué)生解決實(shí)際問題的能力，如何在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)文化，是高等數(shù)學(xué)教育者需要思考的問題，明晰了這些問題并付諸實(shí)踐，高等數(shù)學(xué)課堂的教學(xué)效果才會(huì)真正得以提高。

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