羅文武

(重慶市榮昌區(qū)寶城初級(jí)中學(xué) 402460)

近年來，二次函數(shù)中“線段和最小”的綜合題常見于各地中考?jí)狠S題，這一考點(diǎn)要運(yùn)用對(duì)稱變換來進(jìn)行處理，但什么時(shí)候作對(duì)稱點(diǎn)，作哪個(gè)點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)，以哪條直線為對(duì)稱軸作對(duì)稱，這讓我們的老師和同學(xué)們很困惑.本文針對(duì)幾種問題情景談?wù)勛约旱挠^點(diǎn)，與大家共勉．

一、緣起

問題情景1：已知直線l及兩點(diǎn)A，B，在直線l上作一點(diǎn)P，使PA+PB最?。?/p>

如圖1，點(diǎn)A，B在直線l兩側(cè)，我們?cè)谥本€l上任找一點(diǎn)P，連接PA，PB，這時(shí)，PA+PB可以看成路徑“A到P到B”，這個(gè)路徑穿過了直線l，我們稱這種情形為順向．顯然，要使PA+PB最小，必須使點(diǎn)A，P，B在同一直線上，故連接AB交直線l于點(diǎn)P，如圖2，則點(diǎn)P使PA+PB最小，這樣，我們可得出：順向連接；如圖3，點(diǎn)A，B在直線l同側(cè)，我們?cè)谥本€l上任找P，連接PA，PB，這時(shí)，PA+PB可以看成路徑“A到P到B”，這個(gè)路徑通過動(dòng)點(diǎn)P所在直線l反射到定點(diǎn)A所在的同側(cè)區(qū)域內(nèi)，我們稱這種情形為逆向．顯然，要確定點(diǎn)P的位置，我們應(yīng)該作點(diǎn)B(或點(diǎn)A)的對(duì)稱點(diǎn)B1，將逆向的“A到P到B”轉(zhuǎn)化為順向的“A到P到B1”模型，再連接AB1交直線l于點(diǎn)P，連接PB，如圖4，則此時(shí)的點(diǎn)P使PA+PB最小，最小值為線段AB1的長度，這樣，我們可得出：逆向?qū)ΨQ．從這簡單的情形就得到“順向連接，逆向?qū)ΨQ”．

思維小結(jié)：順向連接，應(yīng)用“兩點(diǎn)之間，線段最短”的原理，而逆向?qū)ΨQ則是將逆向利用對(duì)稱轉(zhuǎn)化為“順向”，同時(shí)，要清楚的是作定點(diǎn)A或B的對(duì)稱點(diǎn)，是以PA+PB中的動(dòng)點(diǎn)P所在的直線為對(duì)稱軸的．

二、提升

問題情景2： 已知直線l1，l2及兩定點(diǎn)A，B，在直線l1上作一點(diǎn)M，在l2上作點(diǎn)N．

我們首先看點(diǎn)A，B在兩直線外側(cè)的情形，如圖5，使AN+MN+MB最?。@然，路徑“A到N到M”及路徑“N到M到B”都是逆向，故將定點(diǎn)A，B分別作關(guān)于直線l2，l1的對(duì)稱點(diǎn)A1，B1，連接A1B1交l1于M，交l2于N，連接AN，BM，將逆向的“A到N到M到B”轉(zhuǎn)化為順向的“A1到N到M到B1”，則此時(shí)AN+MN+MB最小，最小值為A1B1的長度，如圖6(也可將定點(diǎn)A作關(guān)于直線l2的對(duì)稱點(diǎn)A1，再作A1關(guān)于直線l1的對(duì)稱點(diǎn)A2，連接A2B交l1于點(diǎn)M，連A1M交l2于N，變逆向“A到N到M到B”為順向“A2到M到B”).如果點(diǎn)A，B在兩直線同側(cè)，如圖7，要使AM+MN+NB最小，根據(jù)“順向連接，逆向?qū)ΨQ”，我們應(yīng)該作定點(diǎn)B關(guān)于與它所連的動(dòng)點(diǎn)N所在直線l2的對(duì)稱點(diǎn)B1，連接AB1交l1于點(diǎn)M，交l2于點(diǎn)N，連接BN，變逆向“B到N到M到A”為順向“B1到N到M到A”此時(shí)點(diǎn)M，N使AM+MN+NB最小，最小值為AB1的長度，如圖8．

思維小結(jié)：對(duì)于“逆向”，我們作定點(diǎn)關(guān)于與之相連的動(dòng)點(diǎn)所在的直線的對(duì)稱點(diǎn)，變“逆向”為“順向”，比如圖8，“A到M到N”是順向，不作對(duì)稱，而“M到N到B”是逆向，應(yīng)該作“定點(diǎn)B”的對(duì)稱點(diǎn)B1，對(duì)稱軸就應(yīng)該是與這個(gè)定點(diǎn)B相連的動(dòng)點(diǎn)N所在的直線l2，這樣就都轉(zhuǎn)化為“A到M到N到B1”的“順向”，然后連接即可題解，也就水到渠成了．

三、應(yīng)用

(1)求直線AE的解析式；

(2)點(diǎn)P為直線CE下方拋物線上的一點(diǎn)，如圖10，連接PC，PE,當(dāng)△PCE的面積最大時(shí)，連接CD，CB，點(diǎn)K是線段CB的中點(diǎn)，點(diǎn)M是CP上的一點(diǎn)，點(diǎn)N是CD上的一點(diǎn)，求KM+MN+NK的最小值．

思維小結(jié)：“K到M到N”及“M到N到K”都是逆向，作“定點(diǎn)K”的對(duì)稱點(diǎn)，對(duì)稱軸分別是M，N所在的直線CP，CD．

四、拓展

例2(2018年重慶中考A卷改編)如圖12，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A在拋物線y=-x2+4x上，且橫坐標(biāo)為1，點(diǎn)B與點(diǎn)A關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱，直線AB與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)D為拋物線的頂點(diǎn)，點(diǎn)E的坐標(biāo)為(1，1)．

五、升華

投出一粒石，激起千層浪．“順向連接，逆向?qū)ΨQ”是我在二次函數(shù)線段和最小值中的一個(gè)新發(fā)現(xiàn)，也是一大突破點(diǎn).子曰：“疑是思之始，學(xué)之端．”它的每一個(gè)環(huán)節(jié)，對(duì)我來說都是新的嘗試和挑戰(zhàn)！要想在數(shù)學(xué)壓軸題中乘風(fēng)破浪，披荊斬棘，我們必須要有獨(dú)到的創(chuàng)新思維和創(chuàng)新方法，讓創(chuàng)新變得有理可依，更加高效！