新課程背景下淺談數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)之?dāng)?shù)學(xué)抽象的培養(yǎng)

張君

摘 要：數(shù)學(xué)是源于對(duì)現(xiàn)實(shí)世界的抽象，基于抽象結(jié)構(gòu)，理解和表達(dá)世界中事物的本質(zhì)和規(guī)律。2017版的《高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》所提到的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)其包含的第一點(diǎn)就是：數(shù)學(xué)抽象，抽象就是把握住不同現(xiàn)象的共同點(diǎn)，將這個(gè)共同點(diǎn)所體現(xiàn)的問(wèn)題解決掉，從而解決一類(lèi)問(wèn)題乃至幾類(lèi)問(wèn)題，它體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的本質(zhì)，貫穿于數(shù)學(xué)發(fā)展、應(yīng)用的始終。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)抽象;數(shù)學(xué)概念;概念課;函數(shù)單調(diào)性;教學(xué)設(shè)計(jì)

數(shù)學(xué)研究的是抽象的概念并加以運(yùn)用，事實(shí)上學(xué)生在高一、高二時(shí)學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)其主體內(nèi)容就是數(shù)學(xué)概念，而數(shù)學(xué)概念是所有數(shù)學(xué)題目的來(lái)源、前提和邏輯基礎(chǔ)，所以必須重視數(shù)學(xué)概念課的教學(xué)。數(shù)學(xué)概念的得出絕不是教師灌輸?shù)慕Y(jié)果，概念應(yīng)該是學(xué)生作為主體對(duì)某個(gè)知識(shí)點(diǎn)由直觀到抽象的結(jié)果，與此同時(shí)，將具體事物抽象的越深入，那么抽象出來(lái)的定義和方法就更具有解決問(wèn)題的普遍性。抽象主要包含兩點(diǎn)：一是找對(duì)象間的關(guān)系（找共性），二是建立數(shù)學(xué)模型（發(fā)現(xiàn)一般規(guī)律，解決問(wèn)題），但是學(xué)生在學(xué)習(xí)的過(guò)程當(dāng)中往往缺乏抽象的能力，不能把直觀的現(xiàn)象抽象成結(jié)構(gòu)和規(guī)律，更不用說(shuō)舉一反三加以應(yīng)用。以下是筆者以人教A版高中數(shù)學(xué)必修一第一章第三節(jié)《函數(shù)的單調(diào)性》的教學(xué)設(shè)計(jì)片斷為例，淺談關(guān)于在數(shù)學(xué)概念課中怎樣幫助學(xué)生提升數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的一點(diǎn)想法。

一、基本情況分析

教材在單調(diào)性的前一節(jié)的內(nèi)容是函數(shù)的定義，學(xué)生已經(jīng)知道函數(shù)的概念以及函數(shù)的表示方法，知道函數(shù)是表示物體變化規(guī)律的數(shù)學(xué)模型，掌握了函數(shù)的變化規(guī)律也就掌握了物體的變化規(guī)律，因此在求了函數(shù)的定義域之后入手研究函數(shù)的變化規(guī)律以及如何求函數(shù)的值域就勢(shì)在必行。研究函數(shù)的單調(diào)性承載著研究函數(shù)變化規(guī)律、求函數(shù)值域的重要使命，也直接為之后學(xué)習(xí)指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)等函數(shù)建立研究模型，單調(diào)性是函數(shù)中最為重要的性質(zhì)之一，這就需要學(xué)生對(duì)單調(diào)性本身有透徹的理解。但是學(xué)生在初中學(xué)習(xí)的函數(shù)相關(guān)的描述基本以靜態(tài)為主，他雖然已經(jīng)具備了通過(guò)幾何直觀把圖形語(yǔ)言歸納為“ 隨 的變化而變化”的自然語(yǔ)言的能力，但是還未能掌握把“ 隨 增大而增大”或者“ 隨 增大而減小”抽象為數(shù)學(xué)的符號(hào)語(yǔ)言的能力，也尚未掌握把“無(wú)限”轉(zhuǎn)化為“有限”的能力，對(duì)“任意”的理解也還不夠到位，這就需要教師精心設(shè)計(jì)教學(xué)環(huán)節(jié)，引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)幾何直觀，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)方法，去探索單調(diào)性的本質(zhì)，抽象出單調(diào)性的定義，并能夠運(yùn)用單調(diào)性的定義判斷、證明函數(shù)的單調(diào)性。

二、教學(xué)目標(biāo)

1、能夠理解并抽象出函數(shù)單調(diào)性的概念，能夠利用定義判斷、證明函數(shù)單調(diào)性。

2、培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng)。

三、教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)片段

（一）創(chuàng)設(shè)情境，引入課題

師：著名的艾賓浩斯遺忘曲線，反映了人類(lèi)大腦對(duì)新事物遺忘的規(guī)律，大家說(shuō)說(shuō)看，它反映了我們大腦記憶的什么變化規(guī)律？

生1：說(shuō)明我們記憶力會(huì)下降，能記住的內(nèi)容會(huì)越來(lái)越少。

師：能不能說(shuō)的詳細(xì)一點(diǎn)？如何描述記憶力下降這一變化規(guī)律？

生1：隨著天數(shù)的增加，人所能記住的內(nèi)容越來(lái)越少。

師：是的，記憶力下降就是隨著天數(shù)的增加，記住的內(nèi)容反而減少了，所以古人云：溫故而知新其實(shí)是符合我們的認(rèn)知規(guī)律的。

設(shè)計(jì)意圖：概念的獲得本就是從直觀到抽象的過(guò)程，把知識(shí)點(diǎn)承載到情境里既貼近生活又有實(shí)際意義，學(xué)生在觀察艾賓浩斯遺忘曲線之后，聯(lián)系生活實(shí)際，很自然地就可以把下降的變化趨勢(shì)描述為記憶力隨著日子的增加而降低，為函數(shù)單調(diào)性中“y隨x的增大而增大”、“y隨x的增大而減小”的表述做好鋪墊。

師：請(qǐng)大家觀察以下函數(shù)，作圖并指出其圖像變化趨勢(shì)或者變化規(guī)律。

例1.f（x）=x;2.f（x）=-2x+1;3.f（x）=x2

（畫(huà)圖過(guò)程略）

生2：f（x）=x的圖像呈上升的趨勢(shì)。

師：請(qǐng)具體描述一下何謂上升的趨勢(shì)？

生2：隨著x的增大，y的值也增大。

師：確實(shí)，隨著x的增大，f（x）的值也增大，那么函數(shù)f（x）=-2x+1呢？

生2：它的圖像呈下降趨勢(shì)，隨著x的增大，f（x）的值反而減小了。

師：那函數(shù)f（x）=x2呢？

生2：f（x）=x2它的圖像先下降后上升，也就是說(shuō)在（-∞，0）上f（x）隨x的增大而減小，在（0，+ ∞）上f（x）隨x的增大而增大。

師：很好，這就是函數(shù)的單調(diào)性，如果一個(gè)函數(shù)f（x）在某個(gè)區(qū)間D上滿足f（x）隨x的增大而增大，我們就說(shuō)函數(shù)f（x）在區(qū)間D上單調(diào)遞增，是增函數(shù)，區(qū)間D是函數(shù)的增區(qū)間，同理，如果它在另一個(gè)區(qū)間E上滿足f（x）隨x的增大而減小，我們就說(shuō)函數(shù)f（x）在區(qū)間E上單調(diào)遞減，是減函數(shù)，區(qū)間 是函數(shù)的減區(qū)間。大家想象一下，如果函數(shù)f（x）在某個(gè)區(qū)間上先單調(diào)遞增后單調(diào)遞減，那函數(shù)在這個(gè)區(qū)間上有什么值？

學(xué)生集體回答：最大值

師：是的，所以如果我們掌握了函數(shù)的單調(diào)性，不僅可以知道函數(shù)的具體變化趨勢(shì)，還可以直接求出函數(shù)的值域，所以單調(diào)性是函數(shù)很重要的一個(gè)性質(zhì)。

設(shè)計(jì)意圖：一方面強(qiáng)化單調(diào)性的本質(zhì)是研究“f（x）隨 變化而變化的規(guī)律”，另一方面，通過(guò)具體例子讓學(xué)生潛移默化地知道函數(shù)的單調(diào)性是局域性的，不一定是整個(gè)定義域里都單調(diào)，幫助學(xué)生全面理解單調(diào)性定義。

（二）抽象概括，突破難點(diǎn)

師：那若已知函數(shù)y=f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，那f（1）和f（2）相比哪個(gè)值大？

f（2）和f（3）相比呢？

生3：因?yàn)閒（x）在區(qū)間（0，+∞）上單調(diào)遞增，1<2，所以f（1）

師：那如果反過(guò)來(lái)，如果函數(shù)y=f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減呢，那f（1）和f（2）相比哪個(gè)值大？f（2）和f（3）相比呢？

生4：因?yàn)閒（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減，所以x取值大的函數(shù)值反而小了，因?yàn)?<2，所以f（1）>f（2），同理f（2）>f（3）。

師：大家能不能就增函數(shù)為例把這個(gè)現(xiàn)象用數(shù)學(xué)語(yǔ)言概括一下？

生5：如果函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上為增函數(shù)，只要a

師：那如果在區(qū)間上為減函數(shù)呢？

生5：如果函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上為減函數(shù)，只要af（b）。

設(shè)計(jì)意圖：潛移默化地讓學(xué)生知道利用函數(shù)的單調(diào)性是兩個(gè)數(shù)字比大小的常用方法，另一方面利用具體兩數(shù)比大小幫助學(xué)生抽象出以“若af（b）”來(lái)描述減函數(shù)。

師：反之，如果函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，4]上滿足f（2）

生6：不能，比如（略）。

師：我們把條件改為f（1）

生6：不能，比如（略）。

師：我們把條件改為在區(qū)間[1，4]有n個(gè)數(shù)，滿足x1

f（x1）

生6：不能，比如（略）。

師：那如果改成無(wú)數(shù)個(gè)呢？

這個(gè)時(shí)候有很多學(xué)生認(rèn)為可以，此時(shí)教師讓持反對(duì)意見(jiàn)的學(xué)生回答反對(duì)的理由，并強(qiáng)調(diào)無(wú)數(shù)不等于所有。

師：對(duì)的，“無(wú)數(shù)”不等于“所有”，從這“無(wú)數(shù)”個(gè)里面我們?nèi)∠噜彽膬蓚€(gè)，再用放大器把這兩個(gè)數(shù)字之間的區(qū)間放大，顯然還有無(wú)數(shù)個(gè)函數(shù)值無(wú)法比大小，那么到底如何用數(shù)學(xué)符號(hào)來(lái)描述函數(shù)在f（x）在區(qū)間D上單調(diào)遞增？請(qǐng)大家以小組為單位，統(tǒng)一小組意見(jiàn)后，我們一起展示大家的意見(jiàn)。

設(shè)計(jì)意圖：拆分、剖析“在某個(gè)區(qū)間上，f（x）隨著x的增大而增大”，把定義細(xì)化，以便學(xué)生全面理解函數(shù)單調(diào)性的定義，強(qiáng)化學(xué)生對(duì)“所有”的理解，同時(shí)引發(fā)了學(xué)生的認(rèn)知沖突，調(diào)動(dòng)了學(xué)生鉆研定義的積極性。

師展示學(xué)生某小組研究的成果：在區(qū)間D上，只要x1

師：這里的兩個(gè)數(shù)x1，x2是確定的嗎？

生7：這兩個(gè)數(shù)是不確定的，我們可以任意選擇。

師：那能不能再斟酌一下，如何精準(zhǔn)地用符號(hào)語(yǔ)言描述增函數(shù)的定義？

生7：在區(qū)間D上，任取兩個(gè)數(shù)x1，x2，若x1

師：非常好，有限個(gè)哪怕無(wú)限個(gè)自變量x滿足x1

然后繼續(xù)叫學(xué)生用數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言描述減函數(shù)的定義。

設(shè)計(jì)意圖：這一段是本節(jié)課的難點(diǎn)，學(xué)生在用數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言描述單調(diào)性定義的時(shí)候經(jīng)歷了“從2個(gè)——有限個(gè)——無(wú)限個(gè)——所有——任意兩個(gè)”的構(gòu)建經(jīng)歷，對(duì)高一新生而言是一個(gè)不小的挑戰(zhàn)，需要教師層層設(shè)計(jì)精心提問(wèn)，引導(dǎo)學(xué)生由直觀抽象出單調(diào)性的本質(zhì)。

師：請(qǐng)同學(xué)們結(jié)合剛剛研究過(guò)的幾個(gè)函數(shù)思考一下這個(gè)單調(diào)區(qū)間D和函數(shù)定義域是什么關(guān)系？

生8：?jiǎn)握{(diào)區(qū)間可以是整個(gè)定義域，也可以是定義域的某個(gè)子集。

師：既然單調(diào)區(qū)間可以是整個(gè)定義域，也可以是定義域的某個(gè)子集，請(qǐng)結(jié)合剛剛我們對(duì)單調(diào)性定義的研究總結(jié)一下增函數(shù)以及減函數(shù)的完整定義

生8回答，師板書(shū)定義。

設(shè)計(jì)意圖：再次強(qiáng)調(diào)函數(shù)的單調(diào)性具有局域性，單調(diào)區(qū)間不等同于定義域，鞏固單調(diào)性定義。

例2：接下來(lái)請(qǐng)同學(xué)觀察函數(shù) 的圖像，根據(jù)圖像回答以下問(wèn)題：

⒈該函數(shù)在定義域里單調(diào)嗎？

⒉請(qǐng)說(shuō)出它的單調(diào)區(qū)間

學(xué)生回答過(guò)程略。

設(shè)計(jì)意圖：學(xué)生通過(guò)觀察圖像很容易把反比例函數(shù)兩條分支各自單調(diào)遞減誤解為在整個(gè)定義域上為減函數(shù)，實(shí)質(zhì)上還是因?yàn)閷?duì)函數(shù)單調(diào)性的定義其本質(zhì)理解不夠到位，此時(shí)就需要教師多提問(wèn)學(xué)生多啟發(fā)學(xué)生，使學(xué)生明確判斷函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上是否單調(diào)必須嚴(yán)格按照定義出發(fā)，定義是檢驗(yàn)單調(diào)與否的根本標(biāo)準(zhǔn)，強(qiáng)調(diào)解題必須立足于定義，而證明不單調(diào)只需舉個(gè)特例就行。同時(shí)使學(xué)生明確單調(diào)區(qū)間不能用并集表示。

（三）探索應(yīng)用，加深理解

師：剛才我們研究了單調(diào)性的定義，那拿到一個(gè)陌生函數(shù)，大家說(shuō)說(shuō)看我們可以通過(guò)哪些方法來(lái)判斷該函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上的的單調(diào)性？

生9：如果有圖像，那就可以通過(guò)圖像直接判斷，如果沒(méi)有圖像可以通過(guò)定義判斷證明。

師：通過(guò)圖像我們判斷出函數(shù) 在區(qū)間（0，+∞）上為減函數(shù)，下面請(qǐng)大家以小組為單位討論如何用單調(diào)性定義來(lái)證明這個(gè)結(jié)論。

該題學(xué)生證明過(guò)程略，學(xué)生在經(jīng)過(guò)了小組討論后來(lái)證明結(jié)論相對(duì)簡(jiǎn)單，然后請(qǐng)一位同學(xué)總結(jié)從定義出發(fā)證明函數(shù)單調(diào)性的基本步驟：

1.設(shè)值：在給定區(qū)間上任取兩數(shù)x1，x2，且x1

2.作差：f（x1）-f（x2）

3.變形：基本方法有通分、因式分解、配方等

4.定正負(fù)：判斷f（x1）-f（x2）的正負(fù)

5.下結(jié)論

設(shè)計(jì)意圖：使學(xué)生明確判斷單調(diào)性的辦法是直觀函數(shù)圖法像或定義法，之后叫學(xué)生通過(guò)小組討論解題后總結(jié)用定義證明單調(diào)性的基本步驟，實(shí)質(zhì)上就是學(xué)生對(duì)單調(diào)性定義的再一次抽象并加以應(yīng)用的過(guò)程，所以要養(yǎng)成學(xué)生適時(shí)總結(jié)的習(xí)慣。

四、教學(xué)小結(jié)、反思

本節(jié)課的教學(xué)目的非常明確，就如何引導(dǎo)、啟發(fā)學(xué)生通過(guò)觀察圖像到認(rèn)識(shí)函數(shù)值隨自變量變化而變化的規(guī)律再到具體函數(shù)值比大小到最后抽象出函數(shù)單調(diào)性的概念，以及如何利用單調(diào)性定義證明函數(shù)單調(diào)性而展開(kāi)，提升學(xué)生數(shù)學(xué)抽象這一核心素養(yǎng)的教學(xué)目標(biāo)貫穿整堂課的始終。學(xué)生在經(jīng)歷了情景導(dǎo)入，直觀抽象，探索運(yùn)用的幾個(gè)環(huán)節(jié)之后，對(duì)函數(shù)單調(diào)性的定義應(yīng)該說(shuō)有了整體、系統(tǒng)的認(rèn)識(shí)及掌握。

在應(yīng)試教育中，無(wú)論是老師還是學(xué)生都在分?jǐn)?shù)與時(shí)間的壓力下負(fù)重前行，高中三年，有很多老師、學(xué)生都想通過(guò)題海戰(zhàn)術(shù)來(lái)提升數(shù)學(xué)成績(jī)，但是我隨著接觸的孩子越多就發(fā)現(xiàn)很多孩子其實(shí)很努力但是根本不會(huì)學(xué)習(xí)，他拼命刷題但是任然對(duì)知識(shí)一知半解，題目稍微變一變就又不會(huì)做了，所以我認(rèn)為在教師層面提升學(xué)生數(shù)學(xué)成績(jī)最根本有效的方法就是提升學(xué)生的抽象思維的能力，因?yàn)槌橄笏季S能力決定學(xué)力的高低，真正拉開(kāi)學(xué)霸與普通學(xué)生間的差距的也正是抽象思維能力的高低。而如何通過(guò)課堂教學(xué)提高學(xué)生的抽象思維能力、讓學(xué)生從根本上認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)并利用知識(shí)解決問(wèn)題，這就需要教師牢記使命的同時(shí)提升自身的教學(xué)水平，精心備課服務(wù)于學(xué)生。數(shù)學(xué)概念是所有數(shù)學(xué)題目的來(lái)源、前提和邏輯基礎(chǔ)，也是對(duì)數(shù)學(xué)現(xiàn)象的溯源以及抽象，所以必須重視數(shù)學(xué)概念課的教學(xué)。以下幾點(diǎn)是我以數(shù)學(xué)概念課為例，如何提升學(xué)生的抽象思維能力的一點(diǎn)想法，歡迎老師批評(píng)指正。

1、由具體情景引入新課。抽象不是憑空出現(xiàn)的，它絕大部分來(lái)自于直觀，這就要求教師在引進(jìn)新概念時(shí)要尋找、設(shè)計(jì)貼近生活的、有典型意義的例子或情景，讓學(xué)生帶著興趣去觀察、比較，然后從這些常見(jiàn)的例子發(fā)現(xiàn)其含有的共性，以便從這些共性中抽象出概念的本質(zhì)。

2、必要時(shí)可以選擇導(dǎo)向型教學(xué)。針對(duì)比較復(fù)雜的概念，當(dāng)學(xué)生還不具備抽象能力時(shí)，教師可以通過(guò)具體問(wèn)題引導(dǎo)學(xué)生從某個(gè)角度入手，建立一定的研究模型，通過(guò)某種模式分析因果和統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)來(lái)得出最終的結(jié)果，從某種角度來(lái)講利用模型研究更為快速、有效，因?yàn)樗哂忻鞔_的導(dǎo)向性。如本堂課，高一新生很難直接抽象出通過(guò)在給定區(qū)間上任取兩數(shù)比較其對(duì)應(yīng)函數(shù)值大小來(lái)體現(xiàn)單調(diào)性的本質(zhì)這一技巧，所以筆者就在學(xué)生嘗試用數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言來(lái)描述單調(diào)性的定義以前，就引入了反復(fù)運(yùn)用單調(diào)性來(lái)比兩個(gè)數(shù)的大小這個(gè)教學(xué)片斷，有意讓學(xué)生建立可以通過(guò)兩個(gè)數(shù)比大小這個(gè)模型來(lái)定義單調(diào)性的意識(shí)。

3、加強(qiáng)定義要素的結(jié)構(gòu)訓(xùn)練。數(shù)學(xué)的概念、定義是用最精煉的語(yǔ)言描述一件事物，它沒(méi)有一個(gè)字是多余的，所以教師備課時(shí)一定要精讀、細(xì)解定義，精心設(shè)計(jì)教學(xué)環(huán)節(jié)引導(dǎo)學(xué)生把定義拆解、細(xì)化，拆分地越細(xì)致學(xué)生思維就越嚴(yán)謹(jǐn)，內(nèi)化知識(shí)就越徹底。

4、知行合一。學(xué)習(xí)概念定義最簡(jiǎn)單的驗(yàn)證的方法就是讓學(xué)生用自己的話把這個(gè)概念或者定義復(fù)述清楚，如果能夠復(fù)述清楚的，那么就說(shuō)明基本懂了，如果復(fù)述不清楚那么應(yīng)該沒(méi)有掌握 。在運(yùn)用一個(gè)概念定義解題前連定義本身描述的是怎樣一件事情都說(shuō)不清楚又何談?wù)莆漳?？解題就是知行合一，能夠說(shuō)清楚是最簡(jiǎn)單的行，知而不行就是未知。

5、必須培養(yǎng)學(xué)生養(yǎng)成及時(shí)總結(jié)、歸納的習(xí)慣。通過(guò)總結(jié)歸納，可以把已有的知識(shí)點(diǎn)聯(lián)系起來(lái)，梳理整齊形成體系。總結(jié)歸納的本質(zhì)是對(duì)知識(shí)的深度思考，深度思考不僅使學(xué)生對(duì)該知識(shí)點(diǎn)記得更牢而且運(yùn)用得更靈活自如，很多時(shí)候成績(jī)好的學(xué)生確實(shí)比成績(jī)較差的學(xué)生更擅于總結(jié)歸納。

數(shù)學(xué)的教育不只是灌輸數(shù)學(xué)方法，比如歸納、類(lèi)比、數(shù)形結(jié)合、整體換元等，這些都只是解題時(shí)的手段和工具，我們所要培養(yǎng)的是讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到這些解題方法的背后是什么？為什么要解決該問(wèn)題？這個(gè)問(wèn)題它代表的是哪類(lèi)問(wèn)題？它的本質(zhì)是什么？大象無(wú)形，大音希聲，大道至簡(jiǎn)，這就需要學(xué)生具備應(yīng)有的抽象能力，能抽象出復(fù)雜問(wèn)題的本質(zhì)，所以一個(gè)優(yōu)秀的數(shù)學(xué)老師應(yīng)該立足于培育學(xué)生的抽象思維能力，把提高學(xué)生的核心素養(yǎng)作為根本任務(wù)落實(shí)到位，這樣，數(shù)學(xué)必不會(huì)成為學(xué)生學(xué)習(xí)途中的攔路虎。教學(xué)相輔，在提升學(xué)生素養(yǎng)的同時(shí)，相信老師自身都會(huì)有長(zhǎng)足的進(jìn)步。