編者按

課堂結(jié)構(gòu)的變化是課堂教學(xué)改革的重要表征之一。合理的課堂結(jié)構(gòu)有助于落實(shí)學(xué)生的主體地位，優(yōu)化教學(xué)活動(dòng)，有效達(dá)成教學(xué)目標(biāo)。浙江省朱向陽名師工作室團(tuán)隊(duì)近年來一直致力于小學(xué)數(shù)學(xué)“學(xué)情診斷”“變式教學(xué)”“課堂結(jié)構(gòu)”等探索，通過“同課異構(gòu)”“異課同構(gòu)”等多形式的教學(xué)課例剖析問題，在教學(xué)現(xiàn)場提出解決方案，并在實(shí)踐中進(jìn)行檢驗(yàn)。

本期專欄選取了他們多元探索“小學(xué)數(shù)學(xué)課堂結(jié)構(gòu)”的部分成果?！督鈽?gòu)·建構(gòu)·重構(gòu)：合理組織課堂結(jié)構(gòu)，有層次地推進(jìn)教學(xué)》提出小學(xué)數(shù)學(xué)課堂結(jié)構(gòu)多元優(yōu)化的基本策略和解決路徑，并加以例證;《運(yùn)用變式讓學(xué)生經(jīng)歷知識(shí)生長過程》和《設(shè)計(jì)循序漸進(jìn)的學(xué)習(xí)過程》則踐行了運(yùn)用變式合理組織課堂結(jié)構(gòu)，有層次地推進(jìn)教學(xué)的實(shí)施策略。

【關(guān)鍵詞】課堂結(jié)構(gòu) 解構(gòu) 建構(gòu) 重構(gòu) 多元重組

我國的課堂教學(xué)結(jié)構(gòu)大致經(jīng)歷了“教師中心”“倡導(dǎo)自學(xué)”“教學(xué)協(xié)作”等階段，其發(fā)展變化是課堂教學(xué)改革的重要標(biāo)準(zhǔn)。不同的組織引導(dǎo)者、不同的學(xué)習(xí)者、不同的課程既存在共性的特征，也存在個(gè)性化的差異，持續(xù)開展課堂結(jié)構(gòu)的探索和優(yōu)化，以滿足個(gè)性化需求，實(shí)現(xiàn)有效且優(yōu)質(zhì)的教學(xué)，具有現(xiàn)實(shí)意義。

課堂結(jié)構(gòu)的探索和優(yōu)化經(jīng)歷“解構(gòu)——建構(gòu)——重構(gòu)”的過程（見圖1），先從三個(gè)序列“解構(gòu)”課堂，再凝聚三類共性“建構(gòu)”基本課堂結(jié)構(gòu)，進(jìn)而關(guān)注三方面?zhèn)€性“重構(gòu)”課堂，有層次地推進(jìn)教學(xué)。

一、解構(gòu)：解析三個(gè)序列

將數(shù)學(xué)課堂的知識(shí)序列、認(rèn)知序列、活動(dòng)序列等進(jìn)行模塊化的解析，通過精準(zhǔn)化的解讀，從而對(duì)數(shù)學(xué)課堂結(jié)構(gòu)有更精準(zhǔn)、更深入的認(rèn)識(shí)。

1.解析知識(shí)序列

數(shù)學(xué)知識(shí)的解析，既要分析知識(shí)發(fā)展的序列，解析教學(xué)內(nèi)容的數(shù)學(xué)內(nèi)涵本質(zhì)，也要分析數(shù)學(xué)思維的序列，解析數(shù)學(xué)知識(shí)背后蘊(yùn)藏的思想方法。

（1）手術(shù)式“點(diǎn)”的分解

從數(shù)學(xué)知識(shí)的內(nèi)涵本質(zhì)、知識(shí)構(gòu)成、知識(shí)原型、能力要求等方面多角度精準(zhǔn)解析知識(shí)序列，從而全面剖析學(xué)習(xí)內(nèi)容，為教學(xué)活動(dòng)找到“要塞”和“突破口”。

例如，北師大版四年級(jí)下冊(cè)“等量關(guān)系”一課，首先從知識(shí)的內(nèi)涵本質(zhì)解析，等量關(guān)系式是列方程的基礎(chǔ)，核心是方程思想;從知識(shí)構(gòu)成解析，等量關(guān)系由數(shù)量、數(shù)量間的關(guān)系、等式等構(gòu)成;從知識(shí)原型解析，等量關(guān)系可以從玩蹺蹺板、天平秤等簡單易懂的生活原型抽象出來;從能力要求解析，需具有用語言、圖形等表征能力以及不同表征之間的轉(zhuǎn)化能力;等等。由此，可確定教學(xué)的“要塞”是“什么是等量關(guān)系”和“如何找到并表示等量關(guān)系”;教學(xué)的突破口是用好天平等模型理解等量關(guān)系、“=”的意義，同時(shí)借助模型將等量關(guān)系的文字、圖式表征轉(zhuǎn)化為等量關(guān)系式。

（2）進(jìn)程式“線”的鏈接

數(shù)學(xué)知識(shí)本身具有結(jié)構(gòu)性和邏輯性，因而需要教師有整體視野，將相同或相關(guān)領(lǐng)域的內(nèi)容作為一個(gè)整體來解析，以“直升機(jī)”視角俯視數(shù)學(xué)知識(shí)，看清楚知識(shí)所在的位置和層級(jí)，更好地把握數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)和知識(shí)發(fā)展的主線與核心。圖2是北師大版四年級(jí)下冊(cè)“認(rèn)識(shí)方程”單元內(nèi)容關(guān)聯(lián)對(duì)比分析。

從內(nèi)容結(jié)構(gòu)分析，右側(cè)是“字母與方程”內(nèi)容的結(jié)構(gòu)和邏輯，左側(cè)是“數(shù)與運(yùn)算”內(nèi)容的結(jié)構(gòu)和邏輯，中間是事關(guān)兩者的關(guān)鍵和連接。從課時(shí)安排觀察，右側(cè)的①②③④是學(xué)習(xí)“字母與方程”的四個(gè)關(guān)鍵要點(diǎn)，左側(cè)的①②③④是學(xué)習(xí)“數(shù)與運(yùn)算”的四個(gè)關(guān)鍵要點(diǎn)。

（3）區(qū)塊式“面”的聯(lián)通

教材在編寫時(shí)已經(jīng)充分考慮學(xué)習(xí)內(nèi)容的整體性和系統(tǒng)性，但是教材會(huì)因?yàn)榉謨?cè)、分課時(shí)等因素讓學(xué)習(xí)內(nèi)容的整體性割裂，需要教師“瞻前顧后”“左顧右盼”，將數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行區(qū)塊式鏈接，讓學(xué)生體驗(yàn)學(xué)習(xí)內(nèi)容的結(jié)構(gòu)性和整體性，助推學(xué)生自主建構(gòu)知識(shí)結(jié)構(gòu)，學(xué)生才能“左右逢源”、融會(huì)貫通。

例如，平面圖形面積計(jì)算內(nèi)容序列，長方形、正方形的面積→平行四邊形的面積→三角形的面積→梯形的面積，編排上具有很強(qiáng)的邏輯性，教師“應(yīng)注意突破這種由于教學(xué)先后順序所形成的邏輯線索的束縛，并從更為廣泛的視角解釋這些概念之間的內(nèi)在聯(lián)系，從而真正建立起整體性的概念體系”?！懊妗钡慕馕?，可以從知識(shí)聯(lián)接、方法鏈接兩方面入手，知識(shí)聯(lián)接是從整體視角看知識(shí)的發(fā)生發(fā)展過程，并據(jù)此梳理知識(shí)點(diǎn)間的內(nèi)在聯(lián)系和遞進(jìn)序列;方法鏈接則以數(shù)學(xué)思想方法為線索，設(shè)計(jì)多元學(xué)習(xí)材料，在滲透思想方法的同時(shí)促進(jìn)對(duì)學(xué)習(xí)材料知識(shí)本身的理解。

2.解析認(rèn)知序列

數(shù)學(xué)的認(rèn)知結(jié)構(gòu)實(shí)質(zhì)就是學(xué)生頭腦里的、經(jīng)過學(xué)生主觀改造后的數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)，是數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)與學(xué)生心理結(jié)構(gòu)相互作用的產(chǎn)物，已有的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)是學(xué)習(xí)新知識(shí)的基礎(chǔ)。美國認(rèn)知心理學(xué)家奧蘇伯爾說：“每當(dāng)我們致力于影響學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，以便最大限度提高意義學(xué)習(xí)和保持時(shí)，我們就深入到了教育過程的核心。” 他認(rèn)為，就一個(gè)具體的新學(xué)習(xí)對(duì)象而言，合理的認(rèn)知結(jié)構(gòu)具有可利用性、可辨別性和穩(wěn)定性的特征。

小學(xué)生受限于知識(shí)水平和心理發(fā)展水平，其數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)有以下四個(gè)特征：經(jīng)驗(yàn)性，依賴生活經(jīng)驗(yàn)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)，具有較強(qiáng)的直觀形象性;融合性，比較容易受外部世界的影響，知識(shí)往往和外部事物、事件融合在一起;成長性，容易受數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)的影響，數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的自我改造能力由弱逐漸變強(qiáng);順應(yīng)性，更多的是依賴直觀的經(jīng)驗(yàn)，認(rèn)知結(jié)構(gòu)的結(jié)構(gòu)化和數(shù)學(xué)化的過程尚未完成，需要不斷順應(yīng)形成新的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)?？赏ㄟ^改造和豐富經(jīng)驗(yàn)、恰當(dāng)處理差異和融合，增強(qiáng)學(xué)習(xí)改造能力和順應(yīng)性，梳理認(rèn)知結(jié)構(gòu)，提升學(xué)生的學(xué)習(xí)能力。

3.解析活動(dòng)序列

可從學(xué)生活動(dòng)、教師活動(dòng)、教學(xué)素材有層次安排三個(gè)角度展開分析課堂活動(dòng)的要素。

學(xué)生在課堂上的活動(dòng)一般可歸結(jié)為：閱讀、思考、表達(dá)、應(yīng)用、自我管理?；顒?dòng)的時(shí)間結(jié)構(gòu)、所占比重、思維參與程度等有差異并影響學(xué)習(xí)效果。

教師在課堂上的活動(dòng)一般可歸結(jié)為：表達(dá)（將學(xué)習(xí)內(nèi)容轉(zhuǎn)化為問題、任務(wù)等）、閱讀（通過對(duì)話、表情、行為等讀懂學(xué)生想法）、調(diào)節(jié)（通過提問、追問等形式引導(dǎo)學(xué)生思考）、組織（通過評(píng)價(jià)、提醒等形式保證活動(dòng)高效推進(jìn)）。不同教師的課堂活動(dòng)會(huì)受教師個(gè)人的經(jīng)驗(yàn)、數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)、組織水平等影響呈現(xiàn)不同的比重結(jié)構(gòu)、不同的活動(dòng)進(jìn)程節(jié)點(diǎn)，從而影響課堂活動(dòng)的效果。

教學(xué)素材的有層次安排，可從橫向和縱向兩個(gè)方向思考，即顧泠沅教授在變式研究中提出的過程性和概念性。橫向看，可以安排多元的學(xué)習(xí)素材，支撐學(xué)生進(jìn)行多元表征，對(duì)學(xué)習(xí)對(duì)象獲得多角度的理解?？v向看，學(xué)習(xí)的素材可以從直觀、半直觀、半抽象、抽象有序安排，讓學(xué)生經(jīng)歷學(xué)習(xí)對(duì)象數(shù)學(xué)化的全過程;還可以將較復(fù)雜的學(xué)習(xí)內(nèi)容，分解、轉(zhuǎn)化成幾個(gè)有層次的問題，為學(xué)生學(xué)習(xí)的過程鋪設(shè)“階梯”，在舊知和新知之間搭建橋梁，使學(xué)生對(duì)學(xué)習(xí)對(duì)象的結(jié)構(gòu)有一個(gè)清晰的認(rèn)知，并幫助學(xué)生形成一個(gè)有層次策略的經(jīng)驗(yàn)系統(tǒng)。

二、建構(gòu)：聚焦三類共性

課堂結(jié)構(gòu)的外顯形式就是課堂活動(dòng)環(huán)節(jié)的推進(jìn)過程。在開展廣泛的“同課同構(gòu)”“異課同構(gòu)”等形式的課例實(shí)踐與研討基礎(chǔ)上，聚焦數(shù)學(xué)課堂的共性，建構(gòu)典型課堂結(jié)構(gòu)模型。

1.聚焦課堂活動(dòng)進(jìn)程的共性

例如，“兩位數(shù)減兩位數(shù)退位減法”和“平行四邊形面積”兩個(gè)不同領(lǐng)域課例的課堂活動(dòng)進(jìn)程的相同之處（見表1）。

解釋與應(yīng)用 利用理解并掌握的方法解釋算理、進(jìn)行計(jì)算并解決問題。 利用理解并掌握的方法解決平行四邊形面積問題。

兩節(jié)完全不同領(lǐng)域的課例，卻呈現(xiàn)出極為相似的課堂活動(dòng)進(jìn)程：喚醒原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)——設(shè)置認(rèn)知障礙——進(jìn)行多元表征——選擇關(guān)鍵鋪墊——轉(zhuǎn)化與互譯——新認(rèn)知結(jié)構(gòu)的解釋與應(yīng)用，均取得良好的教學(xué)效果。由于學(xué)生原認(rèn)知結(jié)構(gòu)與新認(rèn)知結(jié)構(gòu)之間存在一定的難點(diǎn)和障礙點(diǎn)，兩節(jié)課都選擇搭建了“腳手架”——表象操作，“兩位數(shù)減兩位數(shù)退位減法”的“計(jì)數(shù)器上的‘懸珠”和“平行四邊形面積”的“方格圖”和“極限推拉操作”，幫助學(xué)生順利跨越認(rèn)知障礙，并通過多元表征之間的轉(zhuǎn)化與互譯加深知識(shí)理解，建立新的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。

2.聚焦學(xué)習(xí)材料設(shè)計(jì)的共性

課堂教學(xué)活動(dòng)進(jìn)程是利用學(xué)習(xí)材料展開的。這里的學(xué)習(xí)材料即呈現(xiàn)給學(xué)生的學(xué)習(xí)載體，也包括教師設(shè)計(jì)的問題和學(xué)習(xí)任務(wù)。我們聚焦學(xué)習(xí)材料設(shè)計(jì)，尋找優(yōu)秀課例的相似之處。

選擇①和②或①和③這兩條信息，比較這兩題有什么相同點(diǎn)？（其中一個(gè)量相同，直接通過比較，相減，把相同部分抵消，兩個(gè)未知量轉(zhuǎn)化成一個(gè)未知量。）

2. 第二組問題：兩個(gè)量都不同，但有著倍數(shù)關(guān)系。

如果選擇①和④，該怎么解決？通過轉(zhuǎn)化，把一個(gè)未知量變成相同，然后通過相減抵消，兩個(gè)未知量剩下一個(gè)未知量。

3. 第三組問題：兩個(gè)量都不同，且不存在倍數(shù)關(guān)系。

如果選擇①和⑤，該怎么求呢？

4. 這三個(gè)問題的解決有什么相同的地方？

（通過比較或轉(zhuǎn)化，使其中一個(gè)量相同，再相減抵消，將兩個(gè)未知量的問題變成為一個(gè)未知量的問題。） 1. 請(qǐng)你設(shè)計(jì)一道按比例分配的問題。

生1：淘氣和笑笑按7︰3分84個(gè)橘子，淘氣和笑笑各分到多少個(gè)橘子？

生2：淘氣和笑笑按7︰3分橘子，結(jié)果淘氣比笑笑多分到84個(gè)橘子，淘氣和笑笑各分到多少個(gè)橘子？

生3：淘氣和笑笑按7︰3分橘子，淘氣分到84個(gè)橘子，笑笑分到多少個(gè)橘子？

2. 還有其他問題嗎？

3. 獨(dú)立嘗試解答。

4. 這三個(gè)問題在解決過程中，有什么相同的地方？

（有一個(gè)共同的特征，都是先求出一份是多少，再求相應(yīng)份數(shù)的量。）

可以發(fā)現(xiàn)，好的學(xué)習(xí)材料往往具有許多相似之處：一是挑戰(zhàn)性，可以促進(jìn)學(xué)生主動(dòng)思考和參與;二是開放性，學(xué)生可以進(jìn)行“多元重組”，在變中體會(huì)不變的本質(zhì)，從不同角度理解;三是引導(dǎo)性，學(xué)生思考的大方向由教師的問題引領(lǐng)，始終沿著教學(xué)主線方向行進(jìn)，活動(dòng)不會(huì)“南轅北轍”;四是層次性，整個(gè)課堂活動(dòng)通過有層次的學(xué)習(xí)材料（問題）引導(dǎo)，層層遞進(jìn)，有序推動(dòng)。

3.聚焦認(rèn)知結(jié)構(gòu)形成的共性

學(xué)習(xí)活動(dòng)的過程，實(shí)質(zhì)是學(xué)生利用原認(rèn)知結(jié)構(gòu)，對(duì)新的學(xué)習(xí)內(nèi)容進(jìn)行同化或順應(yīng)，認(rèn)知加工，把原認(rèn)知結(jié)構(gòu)改造成新認(rèn)知結(jié)構(gòu)的過程。通過“兩位數(shù)減兩位數(shù)退位減法”和“平行四邊形面積”課例比對(duì)分析，我們可以看到學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)形成和穩(wěn)固的過程是相似的：對(duì)新學(xué)習(xí)內(nèi)容進(jìn)行多元表征——多元表征的轉(zhuǎn)化和互譯（需要關(guān)鍵鋪墊）——形成新認(rèn)知結(jié)構(gòu)（同化、順應(yīng)）——解釋與應(yīng)用（尋找意義、加深理解）。

基于更多課例的實(shí)踐與研討，我們構(gòu)建了“變式教學(xué)理念融合雙編碼理論的典型課堂結(jié)構(gòu)”模型（見圖3）。我們認(rèn)為，有效的課堂教學(xué)活動(dòng)是教師通過學(xué)習(xí)材料、活動(dòng)組織等選擇和設(shè)計(jì)，引領(lǐng)學(xué)生從初始認(rèn)識(shí)結(jié)構(gòu)向目標(biāo)認(rèn)知結(jié)構(gòu)進(jìn)行的全過程。其間會(huì)經(jīng)歷“將學(xué)習(xí)對(duì)象進(jìn)行多元表征——多元表征間進(jìn)行轉(zhuǎn)化和互譯（尋找意義，有層次推進(jìn)學(xué)習(xí)）——經(jīng)同化或順應(yīng)形成新認(rèn)知結(jié)構(gòu)——應(yīng)用新認(rèn)知結(jié)構(gòu)（應(yīng)用鞏固、拓展提高）四大關(guān)鍵活動(dòng)環(huán)節(jié)。

三、重構(gòu)：關(guān)注三方面差異

針對(duì)不同內(nèi)容、不同課型、不同學(xué)生、不同目標(biāo)以及課堂特點(diǎn)，在“典型課堂結(jié)構(gòu)”的基礎(chǔ)上，通過“同課異構(gòu)”“異課異構(gòu)”等形式的課例研討，對(duì)可控的課堂要素變量進(jìn)行多元重組，完善課堂的個(gè)性化并進(jìn)行優(yōu)化。

1.基于學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)差異的多元重組

楊騫認(rèn)為，完整的認(rèn)知結(jié)構(gòu)應(yīng)包括五方面的要素：認(rèn)知形式、認(rèn)知策略與方法、個(gè)體知識(shí)經(jīng)驗(yàn)及其結(jié)構(gòu)、認(rèn)知風(fēng)格、元認(rèn)知。同學(xué)段的不同學(xué)生，經(jīng)歷過不同的知識(shí)建構(gòu)過程，認(rèn)知結(jié)構(gòu)上有相似之處，也會(huì)存在極大的差異。例如，從關(guān)注不同認(rèn)知結(jié)構(gòu)要素的角度，進(jìn)行“平行四邊形面積”的“同課異構(gòu)”課例實(shí)踐研究。

設(shè)計(jì)1：關(guān)注認(rèn)知風(fēng)格，突出學(xué)習(xí)規(guī)律

學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的歷程中，具有豐富的知識(shí)遷移經(jīng)驗(yàn)，遇到新問題會(huì)不自覺地進(jìn)行遷移，其間會(huì)有正遷移和負(fù)遷移（把平行四邊形通過割補(bǔ)法轉(zhuǎn)化成長方形和通過推拉法轉(zhuǎn)化成長方形），教師可以抓住“從學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，探索新知”的嘗試，認(rèn)知學(xué)習(xí)規(guī)律，設(shè)計(jì)課堂教學(xué)活動(dòng)。

（教師在練習(xí)上直接出示一個(gè)平行四邊形。）

師：先想一想，你準(zhǔn)備怎么計(jì)算平行四邊形的面積？再量出需要的數(shù)據(jù)，列式計(jì)算出平行四邊形面積。

（學(xué)生獨(dú)立嘗試后板書。）

生1：鄰邊相乘，7×4=28（平方厘米）。

生2：底乘高，7×3=21（平方厘米）。

生3：用求周長方法，（7+4）×2=22（厘米）。

師：同一個(gè)圖形的面積，怎么可能有幾種不同的結(jié)果？怎樣算才是正確的呢？能看懂這些方法嗎？怎么想的？說一說。

生1：長方形的面積=長×寬，也就是兩條邊相乘，所以我認(rèn)為平行四邊形的面積也應(yīng)該這樣計(jì)算。

生2：我看過書，平行四邊形的面積應(yīng)該是“底×高”。

生3：他們說的好像都有道理，看來用求周長的方法肯定是不對(duì)的。面積是算面的大小，周長是求線的長度。

師：那同一個(gè)平行四邊形不可能有“兩個(gè)面積”，究竟哪個(gè)是正確的呢？有什么辦法可以驗(yàn)證？

生1：平行四邊形易變性，把它“推”一下，也可以變成長方形，平行四邊形面積可以用“底邊×鄰邊”計(jì)算。

生2：把右邊的“三角形”割下來，補(bǔ)到左邊，剛好是一個(gè)長方形，平行四邊形面積等于長方形面積。因?yàn)椤伴L方形面積=長×寬”，所以“平行四邊形面積=底×高”。

生3：可以放到格子圖上數(shù)一數(shù)。

（經(jīng)驗(yàn)證，21個(gè)格子，與“底×高”的結(jié)果相同。）

師：兩種方法有什么共同的地方？

生：都先變成長方形。

師：那為什么“推拉”變成長方形面積會(huì)不同呢？

（演示推拉過程，引導(dǎo)學(xué)生觀察，學(xué)生很容易就發(fā)現(xiàn)，推拉之后面積變了。）

此教學(xué)課例的課堂活動(dòng)進(jìn)程大致可梳理為：學(xué)生類比遷移——解釋遷移過程——辨析不同方法（“推拉”和“割補(bǔ)）——改造認(rèn)知結(jié)構(gòu)。學(xué)習(xí)過程充分尊重了學(xué)生學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)和認(rèn)知規(guī)律。

設(shè)計(jì)2：關(guān)注知識(shí)結(jié)構(gòu)，突出概念本質(zhì)

從知識(shí)結(jié)構(gòu)、概念本質(zhì)出發(fā)，深刻理解“是什么——算面積就是用面積單位去度量”，“怎么做”的問題自然而然就解決了。從概念本質(zhì)中得出的方法具有本源性，更有生長力。

（1）利用方格圖“數(shù)”面積

方格圖（每格1平方厘米）上有3個(gè)圖形：不規(guī)則圖形和長方形、正方形。

①不規(guī)則圖形的面積是多少？（數(shù)面積單位的個(gè)數(shù)得到）。

②長方形和正方形的面積是多少？怎么會(huì)數(shù)得這么快？

——橫著數(shù)，一排有幾個(gè)，有幾排。

——豎著數(shù)，一列有幾個(gè)，有幾列。

——“一排有幾個(gè)×有幾排”就得到一共有幾個(gè)面積單位。

——長和寬對(duì)應(yīng)的就是“一排幾個(gè)和有幾排”。（解釋長方形面積計(jì)算公式意義。）

（2）利用方格圖探究平行四邊形的面積

（方格圖上出示平行四邊形。）

①試著數(shù)出平行四邊形的面積。

②如何數(shù)得快？（每排左右割補(bǔ)轉(zhuǎn)化成長方形或沿高線一次割補(bǔ)拼成長方形。）

底和高對(duì)應(yīng)的就是“一排幾個(gè)和有幾排”。（解釋平行四邊形計(jì)算公式意義。）

③舉例應(yīng)用并驗(yàn)證方法

④比較“長方形”和“平行四邊形”面積計(jì)算有什么相同和不同之處？

（3）解釋與應(yīng)用（略）

此教學(xué)課例的課堂活動(dòng)進(jìn)程可梳理為：強(qiáng)化圖形面積的意義（圖形面積就是數(shù)出面積單位的個(gè)數(shù)）——探索平行四邊形面積（數(shù)出有幾個(gè)面積單位）——優(yōu)化數(shù)的方法（割補(bǔ)轉(zhuǎn)化）——知識(shí)與方法結(jié)構(gòu)化（比較長方形和平行四邊形面積計(jì)算方法）。

設(shè)計(jì)3：關(guān)注認(rèn)知形式，突出思維特點(diǎn)

小學(xué)生的思維以具體形象思維為主，逐漸向抽象邏輯思維過渡。因此，小學(xué)生認(rèn)識(shí)事物離不開具體表象支撐。有了具體表象的支撐，知識(shí)構(gòu)建的過程會(huì)更順利，理解會(huì)更深刻。我們可以依據(jù)學(xué)生的思維特點(diǎn)，凸顯圖形轉(zhuǎn)化的具體表象，并讓學(xué)生充分理解，幫助學(xué)生順利掌握和理解平行四邊形面積計(jì)算

方法。

（1）動(dòng)手操作，發(fā)現(xiàn)聯(lián)系

①回顧長方形知識(shí)（圖形特征、面積計(jì)算方法和意義）。

②剪拼活動(dòng)：在長方形上剪一刀，拼成之前學(xué)過的圖形。

③對(duì)比聯(lián)系：新圖形和長方形有什么相同點(diǎn)和不同點(diǎn)。

形狀變了，面積不變——等積變形。

④聚焦平行四邊形和長方形。原來長方形的長和寬，在平行四邊形中對(duì)應(yīng)的是什么？

（2）猜測驗(yàn)證，探索方法

①猜測平行四邊形的面積計(jì)算方法？

你能來推測一下平行四邊形的面積該如何計(jì)算嗎？

②任意給一個(gè)平行四邊形，如何計(jì)算它的面積？

a.出示一個(gè)平行四邊形，能否用“底乘以高”來計(jì)算它的面積？

b.小組合作，說明理由（提供多種素材）。

c.集體反饋：

——沿著高剪開，將平行四邊形轉(zhuǎn)化成長方形（課件演示）

——還可以怎么剪？（滲透平行四邊形的面積等于底乘以和它對(duì)應(yīng)的高。）

③小結(jié)：平行四邊形的面積=底×高 ? ? S=a×h。

此教學(xué)課例的課堂活動(dòng)進(jìn)程可梳理為：強(qiáng)化圖形表象（長方形和平行四邊形的轉(zhuǎn)化）——強(qiáng)表象刺激下猜測——多元方法驗(yàn)證（割補(bǔ)轉(zhuǎn)化）——形成新認(rèn)知結(jié)構(gòu)。通過直觀的剪拼操作，強(qiáng)化長方形和平行四邊形雙向轉(zhuǎn)化體驗(yàn)，建立清晰、深刻的具體表象，讓學(xué)生輕松跨越認(rèn)知障礙。

設(shè)計(jì)4：關(guān)注認(rèn)知策略，突出實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

猜想是人類進(jìn)步和發(fā)展的助推器，而實(shí)驗(yàn)是驗(yàn)證猜想的最基本形式。實(shí)驗(yàn)方法在小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中幾乎很少涉獵，讓學(xué)生完整經(jīng)歷知識(shí)探索實(shí)驗(yàn)的全過程，可以拓展學(xué)生的思維，培養(yǎng)嚴(yán)謹(jǐn)認(rèn)真的科學(xué)態(tài)度。我們可以把課堂活動(dòng)設(shè)計(jì)成知識(shí)探索的實(shí)驗(yàn)過程。

（1）情境引入，提出猜想

①在一塊平行四邊形的展板上鋪一層綠色的卡紙，需要多少卡紙？（求平行四邊形展板的面積。）

②要求展板的面積，需要測量哪些數(shù)據(jù)？

③平行四邊形的面積可能和什么有關(guān)系？

猜測：底的長度、斜邊的長度、高的長度。

（2）實(shí)驗(yàn)確定關(guān)鍵因素

①這三個(gè)因素和平行四邊形的面積都有關(guān)系嗎？如何確定？

②設(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)

數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)?zāi)Ｐ停褐付ㄒ粋€(gè)量變化，另外兩個(gè)量不變，看面積有沒有變化。如果有，那這個(gè)變化的量和面積就有關(guān)系;如果沒有，它們之間就沒關(guān)系。

③逐個(gè)條件實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

底變，斜邊和高不變（平行四邊形橫向拉伸），容易觀察發(fā)現(xiàn)面積變化。

高變，底邊和斜邊不變（推拉平行四邊形），容易觀察發(fā)現(xiàn)面積變化。

斜邊變，底和高不變，這種情況，不易直接觀察，需借助格子圖，發(fā)現(xiàn)面積不變。

確定：平行四邊形的面積與“底”和“高”有關(guān)。

此教學(xué)課例的課堂活動(dòng)進(jìn)程可梳理為：提出相關(guān)關(guān)鍵因素的猜想——確定實(shí)驗(yàn)因素——驗(yàn)證與面積計(jì)算相關(guān)的因素并建立方法模型——形成新認(rèn)知結(jié)構(gòu)。從實(shí)驗(yàn)出發(fā)，讓學(xué)生經(jīng)歷猜想、實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)、實(shí)驗(yàn)觀察、發(fā)現(xiàn)并得出結(jié)論、結(jié)論應(yīng)用的全過程。不但能讓學(xué)生學(xué)得深刻，培養(yǎng)嚴(yán)謹(jǐn)認(rèn)真的態(tài)度，也為學(xué)生埋下科學(xué)研究的種子。

2.基于教學(xué)活動(dòng)差異的多元重組

同一個(gè)學(xué)習(xí)內(nèi)容，不同教師和學(xué)生進(jìn)行教學(xué)活動(dòng)的目標(biāo)是一致的，但知識(shí)呈現(xiàn)的形式和序列卻是可以不同的。面向風(fēng)格不同的教師和認(rèn)知結(jié)構(gòu)不同的學(xué)生，所產(chǎn)生的效果也是有差異的。我們以不同的知識(shí)呈現(xiàn)形式和序列為主題，進(jìn)行“同課異構(gòu)”課例實(shí)踐研究，對(duì)課堂結(jié)構(gòu)進(jìn)行多元重組。

以北師大版五年級(jí)下冊(cè)“確定位置”為例。

課例1：單線遞進(jìn)

（1）根據(jù)提示找一找“獅虎山”在哪里

①獅虎山在東北方向，你知道它在哪兒嗎？（一塊區(qū)域）

②獅虎山在噴泉廣場的東北方向，你知道它在哪兒嗎？（不同的一塊區(qū)域）

③“以噴泉廣場為觀測點(diǎn)”這個(gè)條件有價(jià)值嗎？

（2）還需要什么信息才能確定“獅虎山”的位置

①加上“東偏北40度”，你知道“獅虎山”在哪兒嗎？（一條射線上）

②加上“距離噴泉廣場400米”，你知道“獅虎山”在哪兒了嗎？（一個(gè)點(diǎn)）

（3）討論“確定一個(gè)點(diǎn)的位置”需要哪些信息

我們確定獅虎山的位置，需要哪些條件？你覺得哪個(gè)條件最重要？

課例2：多線并進(jìn)

（1）呈現(xiàn)每人得到的線索，誰最有可能最先找到寶箱？并說明理由

淘氣：寶箱在噴泉的東北方向。

笑笑：寶箱在噴泉的北偏東20°方向。

奇思：寶箱距離噴泉300米。

（2）哪兩個(gè)人合作會(huì)比較有利？請(qǐng)分析各種情況

（3）要準(zhǔn)確描述一個(gè)點(diǎn)的位置，需要說清楚什么信息

課例3：倒推還原

（1）引入：臺(tái)風(fēng)來了，它在哪兒

——你認(rèn)為利用臺(tái)風(fēng)預(yù)報(bào)中的哪些信息，能確定臺(tái)風(fēng)中心的位置？

（2）試試：確定臺(tái)風(fēng)中心位置

在空白的紙上標(biāo)出臺(tái)風(fēng)中心的位置，并分享交流。

（3）理理：展示確定位置的過程

①經(jīng)驗(yàn)分享：你是怎么畫出來的？每條信息在確定位置中的價(jià)值：“方向”（一條射線），“距離”（一個(gè)圓周），交叉點(diǎn)即臺(tái)風(fēng)中心位置。

②總結(jié)方法：按怎樣的順序可以確定位置？

此教學(xué)課例，知識(shí)呈現(xiàn)的形式和序列完全不同，所呈現(xiàn)的課堂結(jié)構(gòu)也各有差異：課例1中確定位置的要素是以單線遞進(jìn)的形式呈現(xiàn)的，逐條解析，通過不斷添加條件使確定的范圍逐漸縮小到一個(gè)點(diǎn)，再明晰確定位置的要素有哪些;課例2中確定位置的要素是以多線并進(jìn)的形式呈現(xiàn)的，通過比較解析每條信息確定的范圍，再以三種組合對(duì)比，二次分析要素組合確定的范圍，最后明晰確定位置的要素有哪些;課例3則以“倒序”形式呈現(xiàn)，先告知所有信息，嘗試找一找臺(tái)風(fēng)中心的位置，再通過“理一理”找的方法，還原找的過程和每條要素的價(jià)值，明晰確定位置的要素。三個(gè)課例，目標(biāo)一致，路徑不同，產(chǎn)生的效果也略有不同，教師應(yīng)依據(jù)自身特點(diǎn)和學(xué)生認(rèn)知水平做出合理的選擇與調(diào)整優(yōu)化。

3.基于學(xué)習(xí)驅(qū)動(dòng)差異的多元重組

具有良好學(xué)習(xí)驅(qū)動(dòng)形式和材料的課堂教學(xué)活動(dòng)對(duì)學(xué)生的學(xué)習(xí)效果起著至關(guān)重要的作用?；騿栴}導(dǎo)向任務(wù)驅(qū)動(dòng)，或生活情境興趣驅(qū)動(dòng)，不但能讓學(xué)生對(duì)學(xué)習(xí)產(chǎn)生濃厚的學(xué)習(xí)興趣，同時(shí)能利用學(xué)生學(xué)習(xí)的心智模式，促進(jìn)學(xué)生主動(dòng)建構(gòu)，實(shí)現(xiàn)自主學(xué)習(xí)，提高學(xué)習(xí)效率，增強(qiáng)學(xué)習(xí)效果。教學(xué)可以不同的學(xué)習(xí)活動(dòng)設(shè)計(jì)為線索，進(jìn)行“同課異構(gòu)”課例實(shí)踐研究，對(duì)課堂結(jié)構(gòu)進(jìn)行多元重組。

課堂教學(xué)是個(gè)動(dòng)態(tài)的活動(dòng)過程，其課堂結(jié)構(gòu)表現(xiàn)出不斷變化的特征。課堂結(jié)構(gòu)只有適應(yīng)數(shù)學(xué)的邏輯結(jié)構(gòu)、學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)、教學(xué)的活動(dòng)結(jié)構(gòu)，才是合理的。以“解構(gòu)——建構(gòu)——重構(gòu)”的策略和路徑，多維解析、聚焦共性、關(guān)注差異，合理組織課堂結(jié)構(gòu)，有層次地推進(jìn)教學(xué)，能不斷優(yōu)化教學(xué)活動(dòng)，提高課堂教學(xué)效益。

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本文系浙江省教育科學(xué)規(guī)劃2019年立項(xiàng)課題（2019SC310）“變式理念下小學(xué)數(shù)學(xué)課堂結(jié)構(gòu)多元重組的例證研究”階段性研究成果。

（作者系浙江省義烏市實(shí)驗(yàn)小學(xué)教育集團(tuán)黨委書記，浙江省特級(jí)教師，正高級(jí)教師）

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