馮雪健，鄧浩川，韋笑，殷紅成

(1.中國(guó)傳媒大學(xué)信息與通信工程學(xué)院，北京 100024；2.電磁散射重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京 100854)

1 引言

電磁波的散射反演是電磁計(jì)算領(lǐng)域一個(gè)重要方向，在過(guò)去的幾十年里，被廣泛應(yīng)用于醫(yī)學(xué)診斷、無(wú)損檢測(cè)和地下探測(cè)等領(lǐng)域。散射反演通常是指通過(guò)目標(biāo)電磁波的散射場(chǎng)來(lái)重構(gòu)目標(biāo)內(nèi)部介質(zhì)的參數(shù)分布，但是由于散射反演問(wèn)題有很嚴(yán)重的非線性和病態(tài)性，所以如何快速有效地重構(gòu)目標(biāo)內(nèi)部介質(zhì)參數(shù)分布是目前散射反演領(lǐng)域的研究熱點(diǎn)。具有色散特性的冷等離子廣泛分布于地球電離層[1]，其參數(shù)的有效重構(gòu)對(duì)于軍事目標(biāo)成像和通信等都有很大的現(xiàn)實(shí)意義。

近年來(lái)，國(guó)內(nèi)外學(xué)者對(duì)色散介質(zhì)的散射反演問(wèn)題進(jìn)行了廣泛的研究，并在多種算法上取得了顯著的成果。Sailing He等基于FDTD算法和共軛梯度法反演了一維分層色散有耗介質(zhì)的電參數(shù)分布[2]，并與實(shí)驗(yàn)室測(cè)量結(jié)果進(jìn)行了對(duì)比驗(yàn)證。在2011年，文獻(xiàn)[3，4]中用類似的方法給出了一維洛侖茲模型和二維德拜模型的介質(zhì)參數(shù)反演算法。以上方法均是通過(guò)嚴(yán)格的數(shù)學(xué)方法求重構(gòu)參數(shù)梯度并與梯度類優(yōu)化算法相結(jié)合來(lái)重構(gòu)目標(biāo)參數(shù)分布的，具有較高的計(jì)算精度，但容易陷入局部最優(yōu)解且計(jì)算過(guò)程復(fù)雜。作為蒙特卡羅方法的一種，遺傳算法(Genetic Algorithm -GA)在文獻(xiàn)[5]中被用于參數(shù)重構(gòu)。在2005年，文獻(xiàn)[6]將粒子群優(yōu)化(Particle Swarm Optimizer-PSO)算法應(yīng)用于微波成像。隨后，A.Semnani等提出了傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)和差分進(jìn)化(Differential Evolution-DE)算法相結(jié)合的介質(zhì)參數(shù)重構(gòu)方法，并且與立方B曲線展開(kāi)方法進(jìn)行了對(duì)比[7]。2017年，Z.Q.Zhang等人用頻域雙共軛梯度快速傅里葉變換(bi-conjugate gradient fast Fourier transform-BCG-FFT)算法作為前向正演算法和 變分波恩迭代(variational Born iterative method-VBIM)算法作為后向重構(gòu)算法，重構(gòu)了非磁冷等離子體目標(biāo)的參數(shù)分布[8]。對(duì)于非均勻的等離子體介質(zhì)，本文采用時(shí)域電流密度卷積FDTD 方法為正演算法并分別與GA和DE算法[9]相結(jié)合構(gòu)成等離子體介質(zhì)參數(shù)反演算法。仿真實(shí)驗(yàn)中采用寬頻帶的高斯脈沖源作為激勵(lì)源，相比域頻域方法能夠有效減少算法整體復(fù)雜度。仿真結(jié)果表明，當(dāng)反演區(qū)域?yàn)榫鶆虻入x子體介質(zhì)和非均勻兩層等離子體介質(zhì)時(shí)兩種反演算法都能有效的重構(gòu)等離子體介質(zhì)參數(shù)，并且DE算法有比GA算法更好的重構(gòu)精度。當(dāng)反演區(qū)域?yàn)橛袊?yán)重病態(tài)性的多層非均勻等離子體介質(zhì)時(shí)，兩種反演算法的參數(shù)反演結(jié)果都變得不夠準(zhǔn)確。最后引入立方B樣條曲線展開(kāi)法對(duì)等離子介質(zhì)參數(shù)進(jìn)行展開(kāi)，仿真實(shí)驗(yàn)表明改進(jìn)算法能夠使反演算法快速收斂并且能有效改善參數(shù)反演的準(zhǔn)確度。

2 理論推導(dǎo)

在各向異性色散碰撞磁化等離子體介質(zhì)中，Maxwell方程組和相關(guān)的本構(gòu)方程可以寫為：

(1)

(2)

(3)

圖1 一維等離子體介質(zhì)參數(shù)重構(gòu)計(jì)算模型

(4)

其中i，k分別表示仿真實(shí)驗(yàn)的入射點(diǎn)和接收點(diǎn)，T為觀察點(diǎn)處的總采樣時(shí)間，η0為自由空間波阻抗。

用GA算法作為優(yōu)化算法時(shí)，考慮到對(duì)多層非均勻等離子體參數(shù)進(jìn)行反演時(shí)有較多的反演參數(shù)，如果采用二進(jìn)制編碼則會(huì)導(dǎo)致編碼長(zhǎng)度過(guò)長(zhǎng)從而造成編程實(shí)現(xiàn)困難。因此，本文將對(duì)反演參數(shù)進(jìn)行實(shí)數(shù)編碼，于是需要對(duì)GA算法的選擇、變異和交叉操作進(jìn)行適當(dāng)修改。

(1)選擇操作。由于反演問(wèn)題要求的是代價(jià)函數(shù)Fcost的最小值問(wèn)題，于是在采用輪盤法進(jìn)行選擇操作時(shí)需要在求個(gè)體選擇概率時(shí)做如下修改：

1.對(duì)個(gè)體代價(jià)函數(shù)值進(jìn)行反轉(zhuǎn)得到個(gè)體適應(yīng)度值：

fitvalue(i)=1/Fcost(i)

(5)

2.計(jì)算得到所有個(gè)體適應(yīng)度值的總值：

(6)

3.計(jì)算得到個(gè)體的選擇概率值：

selection_value(i)=fitvalue(i)/fitvalue_total

(7)

其中i=1，2，3...Np表示種群中的個(gè)體。經(jīng)過(guò)上述三步操作可以確保越小的Fcost擁有越大的被選擇概率。

(2)變異操作。本文中實(shí)數(shù)編碼的變異形式為：

pop(i，：)=pop(i，：)+λm·rand·pop(i，：)

(8)

其中pop(i，：)表示第i個(gè)種群個(gè)體的參數(shù)向量，λm為變異系數(shù)，rand為(-1，1)之間的隨機(jī)數(shù)。

(3)交叉操作。本文中對(duì)于隨機(jī)選擇的兩個(gè)實(shí)數(shù)編碼個(gè)體(i，j)參數(shù)向量的交叉操作為：

pop(i，：)=pop(i，：)+λc·(pop(i，：)-pop(j，：))

(9)

pop(j，：)=pop(j，：)+λc·(pop(j，：)-pop(i，：))

(10)

其中λc為交叉系數(shù)。

在用DE進(jìn)化算法作為優(yōu)化算法時(shí)，與GA算法區(qū)別主要體現(xiàn)在變異和交叉這兩個(gè)操作上。本文中，變異和交叉的形式分別如下：

(1)變異操作。差分進(jìn)化算法中實(shí)現(xiàn)變異的方法是：在種群中隨機(jī)選取兩個(gè)不同個(gè)體，將它們的參數(shù)向量進(jìn)行差值運(yùn)算并乘以變異概率用以生成新的個(gè)體。

temp_popn+1(i，：)=popn(rand_1，：)+λm·(popn(rand_2，：)-popn(rand_3，：))

(11)

其中n表示進(jìn)化的代數(shù)，λm為變異概率，rand_n，n=1，2，3表示隨機(jī)選取的[1，Np]之間的數(shù)，Np為種群數(shù)目。

(2)交叉操作。差分進(jìn)化算法中實(shí)現(xiàn)交叉操作的方法是：對(duì)第n代種群個(gè)體(popn(i，：))和經(jīng)過(guò)變異操作后的臨時(shí)種群(temp_popn+1(i，：))個(gè)體進(jìn)行交叉操作來(lái)生成第n+1代種群個(gè)體。

(12)

其中，j表示種群個(gè)體參數(shù)向量中的第j個(gè)參數(shù)分量，RC表示交叉概率，j_rand為隨機(jī)選取的必交叉分量用來(lái)保證每個(gè)個(gè)體最少有一個(gè)分量進(jìn)行了交叉操作。

GA、DE算法用于等離子體介質(zhì)參數(shù)的反演算法流程如圖2所示。

圖2 反演算法流程圖

3 散射參數(shù)的表示方法

本文分別用了兩種參數(shù)重構(gòu)方法：一種是直接表示法，一種是立方B樣條曲線展開(kāi)法。其中，對(duì)均勻等離子體和兩層非均勻等離子體介質(zhì)目標(biāo)參數(shù)重構(gòu)情形采用了直接表示法，對(duì)于多層非均勻等離子體介質(zhì)目標(biāo)參數(shù)重構(gòu)情形采用了直接表示和立方B樣條曲線展開(kāi)兩種方法表示。

(1)直接表示法。假設(shè)等離子體介質(zhì)目標(biāo)區(qū)域離散為N個(gè)離散網(wǎng)格，每個(gè)網(wǎng)格的介質(zhì)參數(shù)相互獨(dú)立，那么一維反演問(wèn)題用直接表示法可以寫成如下形式：

(13)

(14)

(15)

其中

(16)

(2)立方B樣條曲線展開(kāi)。運(yùn)用曲線擬合的思想，將需要反演的非均勻等離子體區(qū)域介質(zhì)參數(shù)值看作是曲線上的一些離散點(diǎn)，然后用一段曲線近似擬合。立方B樣條曲線擬合作為近年來(lái)廣泛用于工程應(yīng)用的曲線擬合方法，擁有良好的局部擬合效果。在立方B樣條擬合中，通過(guò)一系列稱為節(jié)點(diǎn)的實(shí)數(shù)將整個(gè)擬合區(qū)域劃分為很多空間間隔?？臻g間隔長(zhǎng)度也就是兩個(gè)相鄰節(jié)點(diǎn)之間的距離，用Δl表示。節(jié)點(diǎn)的分布形式有均勻分布和非均勻分布兩種，由于我們通常沒(méi)有任何關(guān)于反演問(wèn)題中重構(gòu)區(qū)域的參數(shù)曲線形狀的先驗(yàn)信息，于是本文中將采用節(jié)點(diǎn)均勻分布的形式。由于立方B樣條的基函數(shù)是三階的，于是每個(gè)基函數(shù)需要五個(gè)節(jié)點(diǎn)也即四個(gè)空間間隔來(lái)確定。因此，擬合曲線上每一個(gè)點(diǎn)的值都需要四個(gè)包含這個(gè)點(diǎn)的基函數(shù)來(lái)組合確定。立方B樣條曲線的基函數(shù)形式為：

(17)

(18)

(19)

(20)

其中t∈ [0，1]為所求點(diǎn)到所在間隔區(qū)間起始節(jié)點(diǎn)的距離與間隔區(qū)間長(zhǎng)度Δl的比值。假如對(duì)于一維反演問(wèn)題有Nc個(gè)控制點(diǎn)，那么整個(gè)反演區(qū)域被劃分為Nc+3個(gè)間隔。那么有：

(21)

則擬合區(qū)間中某一點(diǎn)x對(duì)應(yīng)的t值為：

(22)

其中Ni表示點(diǎn)所在的間隔區(qū)間，“integer”表示往零方向取整數(shù)。

于是，等離子體介質(zhì)參數(shù)在立方B樣條曲線中可以表示為：

(23)

(24)

(25)

其中1≤Nc-i≤Nc。

4 仿真實(shí)驗(yàn)

如圖1所示，等離子體重構(gòu)區(qū)域長(zhǎng)度為L(zhǎng)=22.5cm，正演算法采用電流密度卷積FDTD。激勵(lì)源為調(diào)制高斯脈沖，表達(dá)式為

(26)

其中w=2πf，f=5e8Hz，τ=60dt，t0=0.8τ。離散網(wǎng)格大小設(shè)為Δx=0.75cm，則等離子體區(qū)域被離散為30個(gè)網(wǎng)格。c為自由空間的光速，離散時(shí)間步長(zhǎng)為Δt=Δx/c/2。GA和DE算法的種群數(shù)都設(shè)為50個(gè)、，最大迭代步數(shù)設(shè)為200，電流密度卷積FDTD正演計(jì)算時(shí)間步數(shù)為1000步。遺傳算法的交叉和變異概率都為0.5，差分進(jìn)化算法的變異和交叉概率為λm=RC=0.5。

實(shí)驗(yàn)一，目標(biāo)等離子體區(qū)域?yàn)榫鶆虻入x子體介質(zhì)情形。已知目標(biāo)等離子體區(qū)域?yàn)榫鶆虻入x子體介質(zhì)，則式(13)-(15)中的系數(shù)an、bn、cn在不同離散網(wǎng)格的值都是相同的，也即是在重構(gòu)均勻等離子區(qū)域介質(zhì)參數(shù)時(shí)只有3個(gè)未知量。表1為等離子體介質(zhì)參數(shù)反演的絕對(duì)誤差和相對(duì)誤差，其中yT表示理論值，yR表示反演值，可以看出以GA算法和DE算法為優(yōu)化算法來(lái)重構(gòu)均勻等離子體介質(zhì)參數(shù)都有很好重構(gòu)準(zhǔn)確度，并且DE算法有比GA算法更好的重構(gòu)準(zhǔn)確度。圖3為GA算法和DE算法重構(gòu)等離子體介質(zhì)參數(shù)時(shí)代價(jià)函數(shù)值隨進(jìn)化代數(shù)的變化曲線，也可以看出DE算法有更好的重構(gòu)準(zhǔn)確度。

表1 實(shí)驗(yàn)一中的等離子體介質(zhì)參數(shù)反演的絕對(duì)誤差和相對(duì)誤差

圖3 實(shí)驗(yàn)一中 GA算法和DE算法重構(gòu)等離子體介質(zhì)參數(shù)時(shí)代價(jià)函數(shù)值隨進(jìn)化代數(shù)的變化曲線

實(shí)驗(yàn)二，目標(biāo)等離子體區(qū)域?yàn)閮蓪臃蔷鶆虻入x子體。在這個(gè)實(shí)驗(yàn)中，已知等離子體區(qū)域?yàn)榈乳L(zhǎng)的兩層均勻等離子體介質(zhì)，長(zhǎng)度為L(zhǎng)1=L2=L/2。則式(13)-(15)中的系數(shù)an、bn、cn在L1、L2內(nèi)的離散網(wǎng)格的值是不相同的兩種情形，也即是在重構(gòu)均勻等離子區(qū)域介質(zhì)參數(shù)時(shí)有6個(gè)未知量。從表2為等離子體介質(zhì)參數(shù)反演的絕對(duì)誤差和相對(duì)誤差，可以看出以GA算法和DE算法為優(yōu)化算法來(lái)重構(gòu)兩層非均勻等離子體介質(zhì)參數(shù)都有很好重構(gòu)準(zhǔn)確度，并且DE算法有比GA算法更好的重構(gòu)準(zhǔn)確度。圖4為GA算法和DE算法重構(gòu)等離子體介質(zhì)參數(shù)時(shí)代價(jià)函數(shù)值隨進(jìn)化代數(shù)的變化曲線，也可以看出DE算法收斂更快并有更好的重構(gòu)準(zhǔn)確度。

表2 實(shí)驗(yàn)二中的等離子體介質(zhì)參數(shù)反演的絕對(duì)誤差和相對(duì)誤差

圖4 實(shí)驗(yàn)二中GA算法和DE算法重構(gòu)等離子體介質(zhì)參數(shù)時(shí)代價(jià)函數(shù)值隨進(jìn)化代數(shù)的變化曲線

實(shí)驗(yàn)三，目標(biāo)等離子體區(qū)域?yàn)槎鄬臃蔷鶆虻入x子體。在這個(gè)實(shí)驗(yàn)中，已知等離子體區(qū)域的碰撞頻率ν=2.0×108和旋轉(zhuǎn)頻率ωb=3.0×108，每個(gè)離散網(wǎng)格的等離子頻率ωp都是未知的。因此，用直接法表示時(shí)由式(13)可知an有30個(gè)未知量，用立方B樣條曲線展開(kāi)時(shí)未知量數(shù)等于控制點(diǎn)數(shù)Nc，這里選取Nc=5。圖5為GA算法和DE算法重構(gòu)的多層非均勻等離子體介質(zhì)參數(shù)與理論值對(duì)比(a)直接表示法，(b)立方B樣條展開(kāi)法，可以看出無(wú)論是GA算法還是DE算法，用立方B樣條曲線展開(kāi)法表示參數(shù)改進(jìn)算法都有比直接表示法更好的重構(gòu)準(zhǔn)確度。并且，由圖(b)可以看出，DE算法和立方B樣條曲線展開(kāi)結(jié)合的改進(jìn)算法有比GA和立方B樣條展開(kāi)結(jié)合的改進(jìn)算法更好的重構(gòu)準(zhǔn)確度。

(a)直接表示法

(b)立方B樣條展開(kāi)法圖5 實(shí)驗(yàn)三中GA算法和DE算法重構(gòu)的等離子體介質(zhì)參數(shù)與理論值對(duì)比

5 結(jié)論

本文將等離子體時(shí)域正演算法和遺傳算法、差分進(jìn)化算法相結(jié)合，研究了非均勻等離子體介質(zhì)的參數(shù)重構(gòu)。針對(duì)有嚴(yán)重病態(tài)性的多層非均勻等離子體，提出了用立方B樣條曲線展開(kāi)對(duì)等離子體介質(zhì)參數(shù)進(jìn)行表示，與直接參數(shù)表示法對(duì)比表明，改進(jìn)算法有更快的收斂速度和更好的準(zhǔn)確度。通過(guò)相同條件下GA算法和DE算法對(duì)比可以發(fā)現(xiàn)，DE算法有比GA算法更快的收斂速度和介質(zhì)參數(shù)重構(gòu)準(zhǔn)確度。