李凱

(中國傳媒大學(xué)信息科學(xué)與技術(shù)學(xué)部，北京 100024)

1 引言

在以往對微分方程初值問題的研究中，我們對一個數(shù)值方法進(jìn)行理論分析優(yōu)劣時，常常對相容性、收斂性等有關(guān)方面進(jìn)行分析，考查一個方法對舍入偏差的敏感性，這便是數(shù)值穩(wěn)定性問題，這不單與計算公式有關(guān)，并且與微分方程性質(zhì)有關(guān)。

2 線性多步法的構(gòu)造——數(shù)值積分法

討論常微分方程初值問題

(1)

的數(shù)值求解，其中f為t和u的已知函數(shù)，u0為給定的初值。易知

(2)

我們用被積函數(shù)f(t，u(t))的q次Lagrange插值多項式

用來近似代替式(2)中的被積函數(shù)，這里{ti}為等距的插值點列，h=ti+1-ti，而

于是得到近似公式

(3)

其中

(4)

在式(3)中，用un代替u(tn)，仍用fn表示f(tn，un)，用等號代替≈，則得到線性多步方法公式

(5)

3 阿當(dāng)姆斯顯式方法

對k，j和q的差別選擇，得到不同類型的公式。對k=1，j=0和q=0，1，2，…，可以得到阿當(dāng)姆斯顯式方法：

un+1=un+h(βq0fn+βq1fn-1+…+βqqfn-q)，

(6)

其中，公式系數(shù)如表1，最常用的是q=3的情形。

表1 阿當(dāng)姆斯顯式方法系數(shù)表

4 阿當(dāng)姆斯隱式方法

對k=0，j=1和q=0，1，2，…，可以得到阿當(dāng)姆斯隱式方法(用n+1代替n)

un+1=un+h(βq0fn+1+βq1fn+…+βqqfn-q+1)

(7)

其中，公式系數(shù)如表2，最常用的是q=3的情形。

表2 阿當(dāng)姆斯隱式方法系數(shù)表

顯然，公式(7)不是n+1的一個明顯表達(dá)式，而是以n+1為未知量的非線性方程。

5 兩種多步法的穩(wěn)定性以及穩(wěn)定區(qū)間

易得知兩種公式不同步數(shù)不同階數(shù)情況下的誤差常數(shù)如表3、表4，其中q為階數(shù)，cq+1為誤差常數(shù)。

表3 阿當(dāng)姆斯顯式方法不同階下的誤差常數(shù)

表4 阿當(dāng)姆斯隱式方法不同階下的誤差常數(shù)

對于k步阿當(dāng)姆斯顯式及隱式方法的絕對穩(wěn)定域較為復(fù)雜，通常采用根軌跡法，暫且不作討論，把它們的絕對穩(wěn)定區(qū)間分別記為(θA，0)及(θB，0)，則其中θA及θB之值可列表如下。

k1234θA-2-1-116-310θB-∞-6-3-9049

6 總結(jié)

通過利用Matlab編程計算分析及以上表格得出：同階的隱式方法與顯示方法相比，步數(shù)少1，誤差常數(shù)的絕對值小5-13倍，絕對穩(wěn)定區(qū)間又大過10倍以上；總的來講，阿當(dāng)姆斯隱式方法優(yōu)于顯式方法。