中學(xué)三角函數(shù)在解題中的應(yīng)用研究

◆荀光玲

(煙臺高級師范學(xué)校)

對于中學(xué)學(xué)生而言掌握三角函數(shù)知識點，并熟練運用三角函數(shù)進行解題具有重要的意義。學(xué)習(xí)三角函數(shù)可以提高抽象思維能力。三角函數(shù)可以將圖形的邊長關(guān)系、角度關(guān)系通過公式表達并建立關(guān)系，有助于學(xué)生在數(shù)形之間變換。三角函數(shù)將抽象的圖形轉(zhuǎn)化為公式、代數(shù)的形式進行表達。通過數(shù)學(xué)表達之間的變換、整理、計算，無形中增加學(xué)生的計算渠道，培養(yǎng)了計算能力。

一、三角函數(shù)解題的基本應(yīng)用

1.代數(shù)解題中的應(yīng)用

三角函數(shù)在解題中的應(yīng)用是指將代數(shù)問題通過三角函數(shù)轉(zhuǎn)換，將原問題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)問題，利用三角函數(shù)的定義、性質(zhì)和相關(guān)定理進行解決問題。對于部分復(fù)雜的代數(shù)問題進行三角函數(shù)轉(zhuǎn)化后，可以達到化難為易、化繁為簡的效果，為解決代數(shù)問題提供捷徑。

選擇合適的三角函數(shù)進行代換是三角函數(shù)解決代數(shù)問題的關(guān)鍵。進行三角函數(shù)轉(zhuǎn)換時，首先應(yīng)從題中變數(shù)的允許值去考慮；再從解題的需要通過分析，選擇合適的三角函數(shù)進行代換。在進行三角代換后，再根據(jù)所求問題，采取對應(yīng)的三角函數(shù)的性質(zhì)進行求解。

2.幾何解題中的應(yīng)用

三角函數(shù)在幾何解題中的應(yīng)用，就是講幾何問題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)問題，運用三角函數(shù)的性質(zhì)、定理完成幾何命題的證明或求解。對于某些幾何問題在證明或者求解時往往比較復(fù)雜，無法應(yīng)用幾何定理直接解決。然而，將上述問題三角化后，理論三角函數(shù)的性質(zhì)進行解題，不僅證明過程簡捷，而且證明思路也比較自然，易于證題。

3.最值解題中的應(yīng)用

三角函數(shù)在最值解題中的應(yīng)用是指將原函數(shù)中的自變量進行適當(dāng)?shù)娜呛瘮?shù)化后，利用三角函數(shù)周期性、最值性等性質(zhì)，求解原函數(shù)的最值問題。因為目標函數(shù)為有界函數(shù)，因此可以進行適當(dāng)?shù)淖儞Q，將解析幾何最值問題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的最值問題。本題型的解題關(guān)鍵為將原來目標函數(shù)進行三角化后，并靈活地選擇變量，運用三角函數(shù)解析后，建立原目標函數(shù)的三角函數(shù)表達式。

二、三角函數(shù)解題常見問題

1.基礎(chǔ)理論知識掌握不扎實

對基礎(chǔ)知識的扎實掌握是解題的基礎(chǔ)和關(guān)鍵。主要體現(xiàn)在以下幾個方面：首先，對三角函數(shù)基本含義的掌握不理解，或者對有些問題模棱兩可。其次，缺乏主動性導(dǎo)致知其然，但不知其所以然。這勢必導(dǎo)致學(xué)生在解題中，對于未遇到的過的題缺乏應(yīng)對能力。

2.三角函數(shù)問題分析能力不足

分析能力是解決三角函數(shù)問題必須培養(yǎng)的一種能力，然而現(xiàn)實中學(xué)生在解題和教師在授課中往往忽視了這一點。對于很對學(xué)生和老師，當(dāng)遇到問題時常常不去思考，而是機械性、慣性的去解題。這往往導(dǎo)致問題解決到一半才發(fā)現(xiàn)無法再進行下去。這種學(xué)習(xí)和教學(xué)方式雖然增加了做題的工作量，但實際并未提高、培養(yǎng)學(xué)生的分析問題的能力。在遇到其它問題時往往不知如何分析或?qū)ふ彝黄瓶凇?/p>

三、中學(xué)三角函數(shù)在解題方法總結(jié)

1.定義法

定義法解題是指通過三角函數(shù)的基本定義，對問題進行整理、分析，進而得到解決問題途徑的一類方法。

例題1：在△ABC中，已知△中三邊的長度分別為a、b、c，∠C=90°，求a3cosA+b3cosB？(可以用a、b、c進行表達)。

解題思路：分析可以看出，被處理的式子無法直接進行計算。因為a、b分別代表了數(shù)值，cosA、cosB分別表示了兩角的函數(shù)。可以將上述兩種類型的代數(shù)，轉(zhuǎn)換為同一種類型的在進行計算。

四、結(jié)語

運用三角函數(shù)解決解題，對于鍛煉學(xué)生計算能力、思維能力、分析能力等均有較大幫助。引導(dǎo)學(xué)生選擇正確的方法進行解題，在三角函數(shù)解題中十分關(guān)鍵。因此，在日常教學(xué)中應(yīng)常與學(xué)生進行溝通，要引導(dǎo)學(xué)生面對問題時勤于梳理，對于方法要善于總結(jié)，進而提高學(xué)生運用三角函數(shù)進行解題的能力。