王清波，趙朝前，陳婷

(四川建筑職業(yè)技術(shù)學(xué)院 1.土木工程系；2.基礎(chǔ)教學(xué)部，四川 德陽，618000；)

塔筒是風(fēng)機結(jié)構(gòu)的重要組成部分，它的振動會導(dǎo)致風(fēng)機結(jié)構(gòu)變形、附加應(yīng)力等，影響風(fēng)機的壽命，尤其是風(fēng)輪轉(zhuǎn)頻與塔筒固有頻率接近時，風(fēng)機塔筒將發(fā)生共振，容易導(dǎo)致風(fēng)機倒塌。因此，在塔筒設(shè)計[1-2]過程中，分析不同邊界條件對塔筒的固有頻率的影響就顯得尤為重要。

對風(fēng)機塔筒扭轉(zhuǎn)振動分析，可以將風(fēng)機塔筒簡化為變截面懸臂梁來分析。針對風(fēng)機塔筒的扭轉(zhuǎn)分析，文獻(xiàn)[3]對某1.5MW雙饋異步風(fēng)電機組軸系的扭轉(zhuǎn)進(jìn)行了建模，建立了多軸系的集中質(zhì)量模型，計算并分析了風(fēng)機軸系扭轉(zhuǎn)振型及固有頻率，并利用有限元軟件進(jìn)行了驗證；文獻(xiàn)[4]對機電耦合作用下變頻調(diào)速驅(qū)動風(fēng)機軸系扭轉(zhuǎn)振動失穩(wěn)進(jìn)行了分析，建立了風(fēng)機軸系機電耦合扭轉(zhuǎn)振動動力學(xué)模型，分析了扭矩脈動情況下的頻譜特性，并對軸系扭矩和扭轉(zhuǎn)振動進(jìn)行了測試分析；文獻(xiàn)[5]用一種近似方法求解了復(fù)雜軸系扭轉(zhuǎn)振動動力特性，采用Ritz展開和攝動分析結(jié)合的方法，對非均質(zhì)變截面復(fù)雜軸的扭轉(zhuǎn)振動動力特性進(jìn)行了求解；文獻(xiàn)[6]分析了任意邊界條件彈性桿結(jié)構(gòu)扭轉(zhuǎn)振動特性，采用改進(jìn)傅里葉技術(shù)方法建立了任意邊界條件彈性桿扭轉(zhuǎn)振動特性預(yù)報模型，得到了彈性桿扭轉(zhuǎn)振動問題的特征矩陣方程；文獻(xiàn)[7] 提出了適用于工程的小波變換的表述方法，對汽輪發(fā)電機組軸系扭轉(zhuǎn)振動進(jìn)行了分析；文獻(xiàn)[8]使用攝動法研究變截面桿扭轉(zhuǎn)振動特性，結(jié)合邊界條件得到了固有頻率的特征方程和頻率參數(shù)；文獻(xiàn)[9]提出了一種精確方法分析了多跨支撐和帶有附加質(zhì)量梁的彎扭耦合自由振動；文獻(xiàn)[10]使用轉(zhuǎn)換微分傳遞法對非均質(zhì)薄壁梁的彎扭耦合振動進(jìn)行了求解，并與有限元軟件計算的結(jié)果進(jìn)行了對比，驗證了該方法的正確性。綜上所述，對風(fēng)機軸系的扭轉(zhuǎn)振動計算分析大多使用傳統(tǒng)算法，這對非均質(zhì)變截面的軸系計算分析不僅復(fù)雜，而且精度不高。不僅如此，文獻(xiàn)對風(fēng)機塔筒實際邊界條件并沒有建模。為此，文章使用微分求積法對實際邊界條件下的風(fēng)機塔筒的扭轉(zhuǎn)振動特性進(jìn)行計算，結(jié)果表明，該方法僅取較少的節(jié)點就能得到較高的精度，是一種高效的數(shù)值方法，其原理見文獻(xiàn)[11-13]。

1 風(fēng)機塔筒自由扭轉(zhuǎn)振動方程

風(fēng)機塔筒一般采用管式結(jié)構(gòu)，可將其簡化為懸臂梁，如圖1所示，圖中o為塔基截面中心，ox沿塔筒軸線方向，oy軸在塔基平面內(nèi)，且與ox軸垂直，塔筒長度為L。根據(jù)材料力學(xué)和振動力學(xué)[14-16]的知識，風(fēng)機塔筒自由扭轉(zhuǎn)振動方程為

圖1 變截面管式塔筒Fig.1 The tower of wind turbine with a variable cross-section

(1)

其中:ρ(x)為單位體質(zhì)質(zhì)量，kg/m3；Ip(x)為x截面對其中心的極慣性矩，m4；G(x)為x截面的切變模量，Pa；θ(x，t)為塔筒x截面處在t時刻相對左端面的扭轉(zhuǎn)角，rad。設(shè)θ=Y(x)eiωt，Y(x)為塔筒扭轉(zhuǎn)振動位移分布函數(shù)，將其代入上式，得

(2)

其中：ω為塔筒的圓頻率。

風(fēng)機塔筒在彈性地基下的扭轉(zhuǎn)自由振動分析，可將地基抗扭剛度用扭轉(zhuǎn)彈簧表示，并假設(shè)其剛度為Kt?？紤]到風(fēng)機的吊裝過程，須要對僅安裝了機艙的塔筒和全部吊裝完成(安裝了機艙和風(fēng)輪)進(jìn)行振動特性分析。對于塔筒頂端的機艙，在振動特性分析時，可簡化為集中質(zhì)量，并假設(shè)機艙質(zhì)量為Ma。對機艙和風(fēng)輪在振動特性分析時，可嘗試性的將其簡化為一圓盤，圓盤的轉(zhuǎn)動慣量由機艙和風(fēng)輪幾何特性共同決定，他們之間的真實關(guān)系需要大量的實驗和仿真分析得出。作為理論分析，設(shè)圓盤的轉(zhuǎn)動慣量為Ja。為此，風(fēng)機塔筒的邊界條件為

剛性地基：

θ(0，t)=0

(3)

彈性地基：

(4)

自由端：

(5)

安裝了機艙：

(6)

其中：R為機艙的回轉(zhuǎn)半徑，由機艙的結(jié)構(gòu)形式?jīng)Q定。

安裝了風(fēng)輪和機艙：

(7)

假設(shè)風(fēng)機塔筒為非均質(zhì)變截面結(jié)構(gòu)，單位體積質(zhì)量ρ、切變模量G和極慣性矩Ip均是塔筒高度x的函數(shù)，設(shè)ρ=ρ0k1(x)，G=G0k2(x)，Ip=Ip0k3(x)，ρ0、G0和Ip0分別為塔基單位體積密度、切變模量和截面對圓心的極慣性矩，令無量綱變量X=x/L，將上式代入式(2)得

(8)

微分求積法是利用Lagrange插值或樣條插值將未知函數(shù)用離散點函數(shù)值的加權(quán)線性和來表示，可以建微分方程轉(zhuǎn)變成以離散點函數(shù)值的未知量方程組，最后求出數(shù)值解。其原理簡單，計算量小，易于在計算機上實現(xiàn)，對高階微分方程和耦合微分方程組的求解有著獨有的優(yōu)勢。按照微分求積法基本原理和求解過程，式(8)的微分求積形式為

(9)

風(fēng)機塔筒邊界條件的微分求積形式如下

剛性地基：

Y1=0

(10)

彈性地基：

(11)

自由端：

(12)

安裝了機艙：

(13)

安裝了風(fēng)輪和機艙：

(14)

式(9)與邊界條件寫成矩陣的形式如下

{[A]+λ2[B]}{Yj}=0

(15)

令式(15)系數(shù)矩陣行列式為零，可求出風(fēng)機扭轉(zhuǎn)無量綱固有頻率及相應(yīng)的振型。

2 數(shù)值算例

2.1 均質(zhì)等截面塔筒數(shù)值算例

對于風(fēng)機塔筒，取k1=(1-b1X)，k2=(1-b2X)，k3=(1-b3X)3。式中b1、b2和b3分別反映了塔筒單位體積質(zhì)量變化、切變模量變化和截面變化情況的參數(shù)，可分別稱其為質(zhì)量變化系數(shù)、切變模量變化系數(shù)和截面變化系數(shù)。當(dāng)b1=b2=b3=0時，風(fēng)機塔筒退化為均質(zhì)等截面塔筒，表1給出了不同節(jié)點下風(fēng)機塔筒扭轉(zhuǎn)無量綱固有頻率計算結(jié)果。可以看出，對塔筒扭轉(zhuǎn)低階固有頻率，使用微分求積法僅取很少的節(jié)點便能得到高精度的結(jié)果。當(dāng)節(jié)點N=14時，求得風(fēng)機塔筒前六階扭轉(zhuǎn)無量綱固有頻率均具有很高精度，因此，文中結(jié)果均為N=14時求得。

參數(shù)γ1體現(xiàn)的是彈性地基抗扭剛度，可稱其為地基抗扭剛度系數(shù)。參數(shù)γ2和γ3分別與機艙重量和圓盤轉(zhuǎn)動慣量相關(guān)。當(dāng)γ1=100，γ2=0.1，γ3=0.5時，表2給出了不同邊界條件下風(fēng)機塔筒扭轉(zhuǎn)無量綱固有頻率。表2可以看出，彈性地基較剛性地基降低了風(fēng)機塔筒扭轉(zhuǎn)無量綱固有頻率，安裝了機艙和風(fēng)輪的塔筒較單獨塔筒的扭轉(zhuǎn)無量綱固有頻率要小，這是因為機艙和風(fēng)輪相當(dāng)于增加了塔筒的重量。

表1 均質(zhì)等截面塔筒扭轉(zhuǎn)無量綱固有頻率
Table 1 The dimensionless torsional vibration natural frequency of a tower with ahomogeneous and uniform cross-section

塔筒扭轉(zhuǎn)無量綱固有頻率一階二階三階四階五階六階數(shù)值解(N=8)1.5714.7137.88110.97913.56922.327數(shù)值解(N=10)1.5714.7127.85310.99914.26317.259數(shù)值解(N=12)1.5714.7127.85410.99514.11917.256數(shù)值解(N=14)1.5714.7127.85410.99614.13917.278精確解[16]1.5714.7127.85410.99614.13717.279

表2 不同邊界條件下均質(zhì)等截面塔筒扭轉(zhuǎn)無量綱固有頻率
Table 2 The dimensionless torsional vibration natural frequency of a tower with a homogeneous material andconstant section under different boundary conditions

階數(shù)塔筒扭轉(zhuǎn)無量綱固有頻率λ[-]固+自由彈+自由固+機艙彈+機艙固+機艙+風(fēng)輪彈+機艙+風(fēng)輪λ11.57 1.561.431.421.081.07λ24.714.674.314.273.653.61λ37.857.787.237.166.586.52λ411.0010.8910.2010.109.639.53λ514.1414.0013.2213.0912.7212.60λ617.2817.1116.2616.1015.8315.68

2.2 非均質(zhì)變截面塔筒數(shù)值算例

當(dāng)b1，b2和b3均不為零時，風(fēng)機塔筒為非均質(zhì)變截面塔筒，對彈性地基下安裝了機艙和風(fēng)輪的風(fēng)機塔筒，當(dāng)γ3=0.5，b1=b2=b3=0.1時，彈性地基下安裝了機艙和風(fēng)輪的塔筒扭轉(zhuǎn)振動前六階振型如圖2所示。表3給出了不同地基抗扭剛度下風(fēng)機塔筒扭轉(zhuǎn)無量綱固有頻率結(jié)果。表3可以看出，地基抗扭剛度越大，風(fēng)機塔筒扭轉(zhuǎn)無量綱固有頻率越大，且地基抗扭剛度系數(shù)對低階頻率的影響更大。當(dāng)γ1≥104時，風(fēng)機塔筒扭轉(zhuǎn)無量綱固有頻率不再變化，彈性地基已接近于剛性地基。

表3 不同地基抗扭剛度系數(shù)下塔筒扭轉(zhuǎn)無量綱固有頻率
Table 3 The dimensionless torsional vibration natural frequency of a tower with differentζ1

階數(shù)塔筒扭轉(zhuǎn)無量綱固有頻率λ[-]ζ1=10-2ζ1=100ζ1=102ζ1=104ζ1=105λ10.090.761.181.191.19λ22.262.573.633.663.66λ35.065.246.526.586.58λ48.088.199.549.639.63λ511.1611.2412.6012.7212.72λ614.2714.3315.6815.8315.83

當(dāng)γ1=102，b1=b2=b3=0.1時，表4給出了不同機艙和風(fēng)輪轉(zhuǎn)動慣量下風(fēng)機塔筒扭轉(zhuǎn)無量綱固有頻率結(jié)果。表4可以看出，機艙和風(fēng)輪轉(zhuǎn)動慣量越大，風(fēng)機塔筒扭轉(zhuǎn)無量綱固有頻率越小，且機艙和風(fēng)輪轉(zhuǎn)動慣量對低階頻率的影響更大。

表4 不同ζ3下塔筒扭轉(zhuǎn)無量綱固有頻率
Table 4 The dimensionless torsional vibration natural frequency of a tower with differentζ3

階數(shù)塔筒扭轉(zhuǎn)無量綱固有頻率λ[-]ζ3=0.1ζ3=1ζ3=5ζ3=10ζ3=100λ11.550.950.480.340.11λ24.313.403.183.143.12λ37.186.386.256.246.22λ410.129.449.359.349.34λ513.1012.5212.4612.4512.44λ616.1115.6215.5715.5615.56

當(dāng)γ1=100，γ3=0.5，b2=b3=0.1時，表5給出了b1對塔筒扭轉(zhuǎn)無量綱固有頻率結(jié)果。表5可以看出，風(fēng)機塔筒扭轉(zhuǎn)無量綱固有頻率隨質(zhì)量變化系數(shù)增大而增大，且質(zhì)量變化系數(shù)對風(fēng)機塔筒扭轉(zhuǎn)低階無量綱固有頻率影響較小。

表5 不同b1值下的塔筒扭轉(zhuǎn)無量綱固有頻率
Table 5 The dimensionless torsional vibration natural frequency of a wind turbine tower for differentb1values

階數(shù)塔筒扭轉(zhuǎn)無量綱固有頻率λ[-]b1=0.2b1=0.3b1=0.4b1=0.5b1=0.6b1=0.7b1=0.8b1=0.9λ11.201.231.251.271.301.331.361.39λ23.703.783.853.934.024.124.244.36λ36.686.857.047.257.497.768.078.43λ49.7910.0610.3610.7011.0811.5212.0312.63λ512.9413.3113.7214.1814.7015.3016.0116.85λ616.1116.5717.0917.6818.3419.1020.0021.08

圖2 彈性地基下風(fēng)機塔筒扭轉(zhuǎn)振型Fig.2 The mode shapes of a wind turbine tower under elastic foundation

表6給出了b1=b3=0.1時，b2對塔筒扭轉(zhuǎn)無量綱固有頻率結(jié)果。表6可以看出，風(fēng)機塔筒扭轉(zhuǎn)無量綱固有頻率隨切變模量變化系數(shù)增大而減少，且切變模量變化系數(shù)同樣對風(fēng)機塔筒扭轉(zhuǎn)低階無量綱固有頻率影響較小。表7給出了b1=b2=0.1時，b3對塔筒扭轉(zhuǎn)無量綱固有頻率結(jié)果。表7可以看出，截面變化系數(shù)僅對風(fēng)機塔筒扭轉(zhuǎn)前二階無量綱固有頻率有影響，對高階頻率幾乎沒有影響。

表6 不同b2值下的塔筒扭轉(zhuǎn)無量綱固有頻率
Table 6 The dimensionless torsional vibration natural frequency of a wind turbine tower for differentb2values

階數(shù)塔筒扭轉(zhuǎn)無量綱固有頻率λ[-]b2=0.2b2=0.3b2=0.4b2=0.5b2=0.6b2=0.7b2=0.8b2=0.9λ11.191.201.221.231.241.261.281.30λ23.573.503.433.363.293.213.123.02λ36.376.216.045.855.655.445.194.91λ49.309.048.778.478.157.797.376.87λ512.2711.9211.5411.1410.6910.199.618.89λ615.2614.8214.3413.8313.2612.6211.8810.93

表7 不同b3值下的塔筒扭轉(zhuǎn)無量綱固有頻率
Table 7 The dimensionless torsional vibration natural frequency of a wind turbine tower for differentb3values

階數(shù)塔筒扭轉(zhuǎn)無量綱固有頻率λ[-]b3=0.2b3=0.3b3=0.4b3=0.5b3=0.6b3=0.7b3=0.8b3=0.9λ11.281.411.561.752.012.362.853.42λ23.643.673.703.753.833.974.295.41λ36.536.546.556.576.606.656.747.03λ49.549.559.559.579.599.629.689.82λ512.6012.6112.6112.6212.6312.6612.7012.82λ615.6815.6815.6915.7015.7115.7215.7615.86

3 結(jié)論

邊界條件對風(fēng)機塔筒扭轉(zhuǎn)振動特性影響較大，文中對不同邊界條件下風(fēng)機塔筒扭轉(zhuǎn)振動固有頻率和振型進(jìn)行了求解分析，求解結(jié)果對風(fēng)機塔筒的設(shè)計有一定指導(dǎo)意義，具體結(jié)論如下：

1)微分求積法求解風(fēng)機塔筒扭轉(zhuǎn)無量綱固有頻率精度較高，計算量小。

2)風(fēng)機塔筒扭轉(zhuǎn)無量綱固有頻率與地基剛度成正比，機艙和風(fēng)輪降低了塔筒扭轉(zhuǎn)無量綱固有頻率。

3)風(fēng)機塔筒扭轉(zhuǎn)無量綱固有頻率隨質(zhì)量變化系數(shù)增大而增大、隨切變模量變化系數(shù)增大而減小，且質(zhì)量變化系數(shù)和切變模量變化系數(shù)均對高階頻率影響較大，對低階頻率影響較小。

4)截面變化系數(shù)僅影響風(fēng)機塔筒扭轉(zhuǎn)前二階無量綱固有頻率，對高階頻率幾乎沒有影響。