基于排隊(duì)論的食堂排隊(duì)問(wèn)題的M/M/n模型

陳夢(mèng)怡 李媛媛 王佩佩 趙芬燕 夏虎 周鑫

摘 要：各高校中，學(xué)生食堂就餐排隊(duì)難是一個(gè)非常嚴(yán)峻的問(wèn)題。本文主要研究工作日高校就餐高峰期的排隊(duì)優(yōu)化問(wèn)題。我們首先觀察中午食堂人流量和食堂排隊(duì)的窗口數(shù)以及打飯效率，然后搜集數(shù)據(jù)并進(jìn)行分析，找出食堂擁擠的原因，最后針對(duì)問(wèn)題進(jìn)行合理的建模求解。針對(duì)問(wèn)題，我們主要運(yùn)用排隊(duì)論來(lái)建立并解決模型。

關(guān)鍵詞：排隊(duì)論;M/M/1;M/M/n

一、問(wèn)題背景

大學(xué)校園里，學(xué)生們一下課就沖出教室跑去食堂就餐，食堂的窗口很快變得擁擠不堪，同學(xué)們?cè)孤曒d道，因此解決食堂就餐擁擠問(wèn)題令大家十分關(guān)心。

二、模型的初步探討與分析

針對(duì)上文提出的問(wèn)題，我們實(shí)地調(diào)查了某校工作日就餐高峰期時(shí)食堂排隊(duì)擁擠狀況，并對(duì)食堂擁擠狀況進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析，結(jié)果如下表所示：

通過(guò)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，10個(gè)窗口平均28s服務(wù)一個(gè)同學(xué)。我們初步的解決思路是：在不耽誤學(xué)生正常飲食的前提下，對(duì)食堂的窗口進(jìn)行優(yōu)化。

三、模型假設(shè)

1.假設(shè)就餐高峰期時(shí)學(xué)生數(shù)量無(wú)限，學(xué)生單獨(dú)到來(lái)并且相互獨(dú)立;

2.假設(shè)每個(gè)窗口服務(wù)人員的工作效率是隨機(jī)且服務(wù)時(shí)間符合指數(shù)分布;

3.假設(shè)學(xué)生對(duì)窗口的選擇隨機(jī);

4.排隊(duì)方式是單一的隊(duì)列等待制;

四、模型建立與求解

由于高校的每個(gè)窗口服務(wù)效率不同，所以我們建立由單服務(wù)平臺(tái)到多服務(wù)平臺(tái)的排隊(duì)模型，如下表所示：

五、結(jié)果分析

根據(jù)上述求解可知，如果學(xué)生都選擇在中午放學(xué)后立馬進(jìn)餐的話，是沒(méi)有空閑窗口的，且已經(jīng)有27個(gè)同學(xué)處于排隊(duì)買(mǎi)飯的狀態(tài)，25名同學(xué)處于等待排隊(duì)的狀態(tài)，平均一個(gè)窗口2人。根據(jù)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，學(xué)生的平均等待時(shí)間和窗口數(shù)是有一定數(shù)量關(guān)系的，所以我們利用SPSS對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行S模型估計(jì)，如下圖所示：

從圖中可以看出，學(xué)生平均等待時(shí)間隨著窗口數(shù)的增加先趨于下降，之后當(dāng)窗口數(shù)量處于13左右時(shí)逐漸平緩。對(duì)于學(xué)生來(lái)說(shuō)，排隊(duì)等待時(shí)間越短越好，對(duì)于食堂來(lái)說(shuō)，窗口數(shù)量的增加雖然縮短了學(xué)生的排隊(duì)時(shí)間，但是同時(shí)也會(huì)增加成本，所以我們不僅需要有線下的窗口優(yōu)化，更需要有線上的優(yōu)化。

六、模型改進(jìn)

隨著互聯(lián)網(wǎng)的發(fā)展使得時(shí)代趨于數(shù)字化，各高校食堂應(yīng)順應(yīng)時(shí)代潮流，在堅(jiān)持傳統(tǒng)的人力點(diǎn)餐模式的同時(shí)引入先進(jìn)的點(diǎn)餐設(shè)備和模式，以此減少學(xué)生就餐排隊(duì)時(shí)長(zhǎng)，提高就餐滿意度。

為此我們建立了一個(gè)網(wǎng)上智能點(diǎn)餐交互系統(tǒng)，讓學(xué)生可以用手機(jī)實(shí)現(xiàn)點(diǎn)餐和支付。下圖為某學(xué)生在線點(diǎn)餐時(shí)的部分操作：

通過(guò)這樣的智能點(diǎn)餐系統(tǒng)，學(xué)生可在短時(shí)間內(nèi)完成點(diǎn)餐，大大減少排隊(duì)等待時(shí)長(zhǎng)，改善食堂就餐高峰期的擁擠狀況。

七、模型評(píng)價(jià)

7.1 模型優(yōu)點(diǎn)

（1）采用Excel、SPSS等軟件對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行處理求解，大大提高了模型的精度;

（2）模型的建立基于實(shí)際統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，使模型更加合理具有實(shí)際意義。

7.2 模型缺點(diǎn)

（1）影響因素不盡完善;

（2）計(jì)算方法需要優(yōu)化改進(jìn)。

八、結(jié)束語(yǔ)

本文根據(jù)食堂排隊(duì)狀況建立數(shù)學(xué)模型，優(yōu)化食堂就餐高峰期排隊(duì)難的問(wèn)題，為其擁擠狀況找到了一個(gè)較為合理的優(yōu)化方案，證明排隊(duì)論在優(yōu)化食堂服務(wù)系統(tǒng)中的實(shí)際用途。

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[3]張華娟.基于排隊(duì)論的食堂窗口優(yōu)化[R].江蘇：無(wú)錫南洋職業(yè)技術(shù)學(xué)院.

（作者單位：江漢大學(xué)數(shù)計(jì)學(xué)院，湖北武漢430056）