區(qū)間估計(jì)原理探討及實(shí)例應(yīng)用

張大林　劉福波

【摘 要】本文主要研究了區(qū)間估計(jì)的概念，并得出了區(qū)間估計(jì)的相關(guān)原理. 其目的是加深人們對(duì)區(qū)間估計(jì)原理的理解，特別是對(duì)以前一些誤區(qū)，進(jìn)行全部了解。同時(shí)深入的學(xué)習(xí)了解了區(qū)間估計(jì)、置信區(qū)間、置信水平、區(qū)間精確度、可靠度這些知識(shí)，并理解了它們之間的關(guān)系以及聯(lián)系。此外區(qū)間估計(jì)的實(shí)例應(yīng)用與生活有著密切的聯(lián)系，既讓所學(xué)知識(shí)學(xué)以致用， 又充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)與生活息息相關(guān)。

【關(guān)鍵詞】區(qū)間估計(jì);置信區(qū)間;求解;實(shí)例應(yīng)用

中圖分類號(hào)： R446.11文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼： A文章編號(hào)： 2095-2457（2019）10-0012-004

DOI：10.19694/j.cnki.issn2095-2457.2019.10.004

The Principle of Interval Estimation and Its Application

ZHANG Da-lin LIU Fu-bo

（School of Mathematics and Statistics，Qiannan Normal University for Nationalities，Duyun Guizhou 558000， China）

【Abstract】The thesis mainly studies the concept of interval estimation and derives the correlation principle of interval estimation. Its purpose is to deepen people's understanding of the principle of interval estimation， especially the previous misunderstandings. At the same time， they learned in depth the knowledge of interval estimation，confidence interval， confidence level， interval accuracy and reliability， and understood the relationship between them. In addition， the examples of interval estimation apply a close connection with life， which not only allows students to learn what they have learned， but fully reflects mathematics. This is closely related to life.

【Key words】Interval estimation; Confidence interval; Solving; Application

0 引言

隨著科學(xué)技術(shù)的普及，數(shù)理統(tǒng)計(jì)知識(shí)的重要性逐漸被人意識(shí)到.在統(tǒng)計(jì)過(guò)程中參數(shù)的估計(jì)是一個(gè)不可或缺的部分，尤其是在上世紀(jì)60年代之后，計(jì)算機(jī)的發(fā)展更是推動(dòng)這一領(lǐng)域的發(fā)展.在生活中，區(qū)間估計(jì)更是隨處可見(jiàn).產(chǎn)品優(yōu)次品的檢驗(yàn)、產(chǎn)品的使用壽命、銷售業(yè)績(jī)的評(píng)估、各類保險(xiǎn)費(fèi)用評(píng)估等。

1 區(qū)間估計(jì)概述

參數(shù)估計(jì)可以這樣理解，在一組數(shù)據(jù)中對(duì)一定的樣本量進(jìn)行選擇，之后對(duì)所有數(shù)據(jù)的分布條件預(yù)估，數(shù)據(jù)的分布空間，實(shí)際上就是預(yù)估得到的相關(guān)數(shù)據(jù)，所以我們也將這一過(guò)程稱為區(qū)間預(yù)估，目前來(lái)說(shuō)，使用比較廣泛的預(yù)估方法有方差預(yù)估和均值預(yù)估兩種。還有一種預(yù)估方式是點(diǎn)預(yù)估，指的是通過(guò)一個(gè)確定的點(diǎn)對(duì)參數(shù)進(jìn)行估計(jì)，但是這種預(yù)估方法不能將預(yù)估的精度和誤差反映出來(lái)，于是人們?cè)诖嘶A(chǔ)上發(fā)展出了參數(shù)空間的概念，通過(guò)參數(shù)的空間，能夠?qū)c(diǎn)預(yù)估的結(jié)果進(jìn)行有效的度量。

區(qū)間估計(jì)指的是從空間中抽一定的樣本量，然后對(duì)整組數(shù)據(jù)的分布情況進(jìn)行預(yù)估，并將預(yù)估的結(jié)果作為整體分布的大致空間，并在進(jìn)行預(yù)估時(shí)，其所需要的精度能夠達(dá)到相應(yīng)的要求。該估計(jì)能夠處于特定的概率水平并對(duì)估計(jì)值所對(duì)應(yīng)的取值范圍進(jìn)行相應(yīng)的判斷，進(jìn)而對(duì)樣本序列所對(duì)應(yīng)的聚集、離散的程度進(jìn)行認(rèn)知。然而由于異常值能夠使得所進(jìn)行估計(jì)的區(qū)間出現(xiàn)誤差，而且該推斷是基于一定概率的基礎(chǔ)上所產(chǎn)生的，因而沒(méi)能考慮到小概率事件所帶來(lái)的一系列影響。

估算區(qū)間，第一步，對(duì)確定的置信區(qū)間1-α掌握，在總體參數(shù)θ的大小位于某特定區(qū)間范圍內(nèi)的時(shí)候，概率置信區(qū)間1-α的情況下，這一區(qū)間可以確定為最終要求的空間，將這一過(guò)程用數(shù)學(xué)公式進(jìn)行表示為Pθ（ L≤θ≤ U），其中 L， U是區(qū)間估計(jì)時(shí)需要進(jìn)行統(tǒng)計(jì)的量，（ L， U）即為置信區(qū)間。因?yàn)轭A(yù)估的空間來(lái)源于樣本，而樣本的選取帶有隨機(jī)性，所以預(yù)估的空間也是不確定的。在日常生活中，人們所說(shuō)對(duì)于某件事情有多少把握，其實(shí)也是一種空間預(yù)估。

1934年，著名統(tǒng)計(jì)學(xué)家J.奈曼創(chuàng)建了一種區(qū)間估計(jì)理論，并對(duì)其進(jìn)行了嚴(yán)格的規(guī)定。根據(jù)J.奈曼對(duì)于空間的理論，進(jìn)行空間求解過(guò)程中，一般都需要進(jìn)行一下三種操作：（1）為保證空間的準(zhǔn)確性，需要大量使用樣本。（2）利用已知的抽樣分布情況。（3）在得到預(yù)估空間之后，要利用假設(shè)檢驗(yàn)的方法對(duì)其驗(yàn)證。[1]

2 區(qū)間估計(jì)及置信區(qū)間

2.1 區(qū)間估計(jì)的概念

假設(shè)在一組數(shù)中有一個(gè)總參數(shù)θ，存在一組樣本x1，L，xn，而我們需要根據(jù)既有的樣本進(jìn)行空間預(yù)估，找到兩個(gè)參數(shù) L= U（x1，L，xn）和 U= U（x1，L，xn），同時(shí)量參數(shù)之間的關(guān)系為 L< U，經(jīng)過(guò)觀察，在知道了樣本的觀測(cè)值值以后，對(duì)總參數(shù)θ空間展開(kāi)估算，這個(gè)區(qū)間的范圍通常在[ L， U]這個(gè)值域中，因?yàn)椴扇‰S機(jī)的方式選擇樣本，預(yù)測(cè)的區(qū)間帶有明顯的不確定性這樣的特征.且[ L， U]區(qū)間將全部的參數(shù)全部涵蓋的可能性幾乎為0.所以人們對(duì)于區(qū)間[ L， U]的估計(jì)的要求是盡量使蓋住θ的概率Pθ（ L≤θ≤ U）盡可能大，但是這一要求與區(qū)間分布的長(zhǎng)度之間又有一定的矛盾，為了解決這一問(wèn)題，我們一般會(huì)給定區(qū)間涵蓋參數(shù)的概率，這樣得到的區(qū)間更具有可比性，于是在此基礎(chǔ)上產(chǎn)生了置信區(qū)間.

2.2 置信區(qū)間的概念

當(dāng)對(duì)樣本所在的空間進(jìn)行構(gòu)建，所得到的空間即為置信區(qū)間。在統(tǒng)計(jì)學(xué)領(lǐng)域中，對(duì)樣本的某個(gè)部分的區(qū)間進(jìn)行預(yù)估，所得到的空間即為置信區(qū)間（Confidence interval）。它展現(xiàn)出來(lái)的是數(shù)據(jù)落在這一范圍內(nèi)的概率，具有實(shí)際的預(yù)估意義.用另一種方式表達(dá)這個(gè)概率，即可信水平，很多時(shí)候也叫做置信水平。[2]

置信區(qū)間代表的意義就是：樣本容量固定為n，假如對(duì)總體進(jìn)行N=1000次抽樣，就得到了1000個(gè)置信區(qū)間，這些區(qū)間有的包含θ的真實(shí)值，有的不包含.但假設(shè)當(dāng)置信度1-α=95%時(shí)，這一千個(gè)區(qū)間就大約有1000×95%=950個(gè)包含了θ的真實(shí)值.例如，如果在一次投票選舉活動(dòng)中得知某位選手的支持率為55%，并得知其置信水平0.95以上的置信區(qū)間是（50%，60%），那么在實(shí)際投票過(guò)程中，該位選手的支持率在百分之五十到六十之間的概率將會(huì)超過(guò)95%，由此可以得出該選手支持率過(guò)辦的概率超過(guò) 98%。與上述實(shí)例中的表示方法一致，人們?cè)诒硎局眯潘降臅r(shí)候一般都是使用百分?jǐn)?shù)表示，所以上述中提到的0.95上的置信區(qū)間也可用百分?jǐn)?shù)的形式來(lái)表示：95%置信區(qū)間.區(qū)間的兩端的值的另外叫法為置信極限。

2.3 置信區(qū)間定義

一組數(shù)，如果存在總參數(shù)θ，樣本為一組x1，L，xn，這個(gè)組數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)的空間的參數(shù)則是E，如果α（0<α<1）已定， L= L（x1，L，xn）與 U= U（x1，L，xn）必定存在 L< U，在θ符合θ∈E的情況下，符合Pθ（ L≤θ≤ U）≥1-α，θ的置信水平是1-α的情況下，置信區(qū)間對(duì)應(yīng)的范圍是[ L， U]。置信水平1-α可以表示為：當(dāng)多次的對(duì)θ所對(duì)應(yīng)的置信區(qū)間[ L， U]進(jìn)行不斷的使用時(shí)，使用過(guò)程中所產(chǎn)生的樣本觀測(cè)值是不一樣的，而且與之相對(duì)應(yīng)的區(qū)間也不相同，就每次產(chǎn)生的觀測(cè)值來(lái)說(shuō)，θ所對(duì)應(yīng)的范圍有幾率處于[ L， U]中，也有幾率不處于該范圍的里面，但是按照平均水平來(lái)說(shuō)，一般會(huì)有100（1-α）%包含θ。

參數(shù)θ雖然是一個(gè)未知量，但就數(shù)據(jù)本身而言，它是一個(gè)常數(shù)，常數(shù)沒(méi)有隨機(jī)性，但區(qū)間[ L， U]具有隨機(jī)性。所以不等式Pθ（ L≤θ≤ U）≥1-α也可以理解為：隨機(jī)區(qū)間[ L， U]通過(guò)1-α的概率對(duì)θ所對(duì)應(yīng)的真值進(jìn)行包含，但是不可以理解為θ通過(guò)1-α的概率處于[ L， U]所對(duì)應(yīng)的隨機(jī)區(qū)間中.

舉個(gè)例子假設(shè)α=0.01，不斷的對(duì)參數(shù)進(jìn)行1000次抽樣，這一抽樣的過(guò)程中，不包含θ真值的樣本約為10個(gè)。

例1如果N（μ，σ2）的樣本有10個(gè)，用x1，x2，…，x10表示這些樣本，在置信水平確定的條件下1-α，對(duì)其置信區(qū)間進(jìn)行計(jì)算，得

對(duì)上面的式子進(jìn)行計(jì)算需要計(jì)算樣本的平均和方差，也就是x，s。

解：若取α=0.50，則t0.95（9）=1.8331，上式化為

現(xiàn)假定μ=15，σ2=4，我們用隨機(jī)模擬的方式在N（15，4）中產(chǎn)生一個(gè)樣本，樣本的數(shù)量為去10，產(chǎn)生的樣本為：

通過(guò)該樣本能夠求出x=14.705，s=1.843，進(jìn)而求出μ所對(duì)應(yīng)的一個(gè)區(qū)間是：

[14.705-0.5797×1.843，14.705+0.5797×1.843]=[13.637，15.773]。

這個(gè)區(qū)間中的μ所對(duì)應(yīng)的真值為-15.如今不斷的使用100次這一方法，能夠獲得相應(yīng)的樣本100個(gè)，進(jìn)而獲得相應(yīng)的區(qū)間100個(gè)，把該100個(gè)區(qū)間在圖上繪制出來(lái)，通過(guò)圖2能夠發(fā)現(xiàn)，擁有參數(shù)真值等于15的區(qū)間共91個(gè)，其余的幾個(gè)沒(méi)有參數(shù)真值，這可以被當(dāng)做對(duì)置信水平1-α=0.90所做出的一個(gè)合理解釋。

假設(shè)α=0.50，那么t0.75（9）=0.7027，則μ的置信水平為0.50的置信區(qū)間為

該區(qū)間也包含了參數(shù)真值，類似地，我們也可以給出100個(gè)這樣的區(qū)間，見(jiàn)圖3。由圖可知，在這100個(gè)區(qū)間中，包含真值15的有50個(gè)，其他不包括真值.這是置信水平1-α=0.50的一個(gè)合理解釋。

通過(guò)定義能夠發(fā)現(xiàn)，想要有效的對(duì)參數(shù)θ進(jìn)行相應(yīng)的區(qū)間估計(jì)，需要把依靠樣本的兩個(gè)界限找出來(lái)：

當(dāng)將這一樣本找出來(lái)時(shí)，將θ的值從[ L， U]中估算出來(lái)。

針對(duì)[ L， U]這一區(qū)間，我們所作出的要求為該區(qū)間能夠包含θ，也就是說(shuō)Pθ（ L≤θ≤ U）需要比較大的值，即滿足空間的可靠性，同時(shí)要求區(qū)間的長(zhǎng)度 U- L越短越好。以保證空間的精確度，但是這兩者本質(zhì)上存在著矛盾，我們的做法是在保證可靠度在一定范圍內(nèi)時(shí)提高精確度.

3 如何計(jì)算區(qū)間估計(jì)

3.1 區(qū)間估計(jì)的計(jì)算方法

（1）確定要估計(jì)的參數(shù)θ（一般為μ，σ2）

（2）根據(jù)樣本和總體的條件，能夠獲得所對(duì)應(yīng)的置信區(qū)間的公式：

[ L（x1，L，xn）， U（x1，L，xn）]

（3）樣本值和的置信度所進(jìn)行計(jì)算的的相應(yīng)范圍為：

[ L（x1，L，xn）， U（x1，L，xn）]

3.2 求解置信區(qū)間的一般步驟

（1）尋求一個(gè)樣本x1，x2，L，xn的函數(shù)：

Z=Z（x1，x2，L，xn;θ）

（2）Z是一個(gè)數(shù)字的集合，其分布情況與參數(shù)無(wú)關(guān)，所以如果給定一個(gè)置信度1-α， 會(huì)存在兩個(gè)常數(shù)a和b，滿足以下公式：

P{a≤z（x1，x2，L，xn;θ）≤b}=1-α

（3）根據(jù)上述公式的條件a≤z（x1，x2，L，xn;θ）≤b，將公式進(jìn)行簡(jiǎn)化，可得到 L≤θ≤ U，式中的 L= L（x1，L，xn）， U= U（x1，L，xn）都是根據(jù)對(duì)樣本進(jìn)行統(tǒng)計(jì)之后得到的數(shù)據(jù)。.

上面的計(jì)算屬于等價(jià)變性，同時(shí)有Pθ{ L≤θ≤ U}=1-α，可以說(shuō)[ L， U]屬于θ的置信水平是1-α的置信區(qū)間。

例2已知一種材料在抗壓能力上滿足正態(tài)分布， 現(xiàn)在這批材料中隨機(jī)選取10各樣本，測(cè)得的耐壓值為：

482 493 457 471 510 446 435 418 394 469

（1）結(jié)合相關(guān)數(shù)據(jù)，計(jì)算抗壓水平μ的置信度是的置信區(qū)間;

（2）要是σ=30確定，計(jì)算平均抗壓水平μ的置信度是的置信區(qū)間;

解（1）因?yàn)棣椅粗?，所以在置信區(qū)間的計(jì)算時(shí)要使用t：

x= ×（482+493+457+471+510+446+435+418+394+469）=457.5，s=35.2176

μ的置信水平為的置信區(qū)間為：

[x- t （n-1）， + t （n-1）]，

通過(guò)表求出t1-0.025（9）=2.2622，因此μ所對(duì)應(yīng)的置信水平為的置信區(qū)間是：

[457.5-2.2622×35.2176/ ，457.5+2.2622×35.2176/ ]

=[432.306，482.6936].

（2）當(dāng)σ=30時(shí)，通過(guò)Z統(tǒng)計(jì)量對(duì)置信區(qū)間進(jìn)行相應(yīng)的計(jì)算，因此μ所對(duì)應(yīng)的置信水平為的置信區(qū)間是：

[x- μα/2，x+ μα/2]，

通過(guò)查閱表能夠發(fā)現(xiàn)：μ1-0.025（9）=1.96，因此μ所對(duì)應(yīng)的置信水平為95%的置信區(qū)間是：

[457.5-1.96×30/ ，457.5+1.96×30/ ]

=[438.9058，476.0942]

4 正態(tài)總體均值的區(qū)間估計(jì)

4.1 單個(gè)總體N（μ，σ2）的情況

置信水平1-α被相應(yīng)的確認(rèn)，N（μ，σ2）所對(duì)應(yīng)的樣本為x1，x2，L，xn，x，s2，分別表示為樣本均值和方差。

4.2 均值μ的置信區(qū)間

4.2.1 σ2為已知

μ所對(duì)應(yīng)的置信水平是1-α的置信區(qū)間是{x- zα/2，x+ zα/2}，該區(qū)間所對(duì)應(yīng)的長(zhǎng)度是2× zα/2。

相應(yīng)的推導(dǎo)為：由于x作為μ的沒(méi)偏差的估計(jì)，而且Z= ～N（0，1）， ～N（0，1）對(duì)所有不知道的參數(shù)都不依靠，通過(guò)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布所對(duì)應(yīng)的情況，將α分位點(diǎn)表示為：

P= ≤z =1-α，

也可以說(shuō)為P={x- zα/2≤μ≤x+ zα/2}=1-α，μ所對(duì)應(yīng)的置信水平是1-α的置信區(qū)間為

- z ≤μ≤ + z ，

這樣的置信區(qū)間常寫成

± z 。

例3包糖機(jī)某日開(kāi)工包了12包糖，稱得重量（單位：克）分別為506，500，495，488，504，486，505，513，

521，520，512，485.假設(shè)重量服從正態(tài)分布，且標(biāo)準(zhǔn)差為σ=10，試求糖包的平均重量μ的1-α置信區(qū)間（分別取α=0.10和α=0.05）。[3]

解σ=10，n=12計(jì)算得x=502.92

（1）當(dāng)α=0.10時(shí)，1- =0.95，查表得zα/2=z0.05=1.645，

- z =502.96- ×1.645=498.17，

- z =502.96+ ×1.645=507.67，

即μ的置信度為的置信區(qū)間為[498.17，507.67]。

（2）當(dāng)α=0.05，1- =0.975，查表得z =z0.025=1.96，同理可得μ置信度為95%的置信區(qū)間為[497.26，508.58]。

4.2.2 σ2為未知

μ的一個(gè)置信度為1-α的置信區(qū)間為 ± t （n-1）。由于區(qū)間 ± z 中含有未知參數(shù)σ，不能直接使用此區(qū)間.但因?yàn)閟2是σ2的無(wú)偏估計(jì)，可用s= 替換σ，根據(jù)定理推論知 ～t（n-1），P-t （n-1）≤ ≤t （n-1）=1-α，即P - t （n-1）≤μ≤ + t （n-1）=1-α，確定μ的置信水平是1-α的置信區(qū)間： ± t （n-1）。

例4有很多重量未知的糖果，按照隨機(jī)的方式，自這些糖果挑選16袋稱重， 稱重如下（單位克）：

506 ?508 ?499 ?503 ?504 ?510 ?497 ?512

514 ?505 ?493 ?496 ?506 ?502 ?509 ?496

當(dāng)糖果所對(duì)應(yīng)的重量處于正態(tài)分布的情況時(shí)，計(jì)算出均值μ所對(duì)應(yīng)的置信水平為95%的置信區(qū)間。[4]

解α=0.05，n-1=15，查t（n-1）分布表已知：t0.025（15）=2.1315，計(jì)算得 =503.75，μ所對(duì)應(yīng)的置信水平為95%的置信區(qū)間是[503.75± ×2.1315]即[500.4，507.1].這一情況表示糖果重量所對(duì)應(yīng)的均值95%會(huì)是500.4～507.1其中一個(gè)，當(dāng)該范圍中任一值都屬于μ的近視值時(shí)，其誤差不大于 ×2.1315×2=6.61（克），這個(gè)誤差的可信度為95%.

5 區(qū)間估計(jì)的實(shí)例應(yīng)用

5.1 產(chǎn)品優(yōu)次檢測(cè)

例5包糖機(jī)某日開(kāi)工包了12包糖，稱得重量（單位：克）分別為506，500，495，488，504，486，505，513，

521，520，512，485.假設(shè)糖包的重量是符合正態(tài)分布的N（μ，σ2），計(jì)算出μ所對(duì)應(yīng)的95%置信區(qū)間。[5]

解此時(shí)σ未知，n=12，α=0.05，x=502.92，s=12.35查t（n-1）分布表可知：t0.025（11）=2.201，于是 t （n-1），得μ的置信度為95%的置信區(qū)間[495.07，510.77]。

5.2 保險(xiǎn)評(píng)估

例6保險(xiǎn)公司隨機(jī)的在所有的投保人中選出36個(gè)，并對(duì)這36個(gè)進(jìn)行相應(yīng)的年齡統(tǒng)計(jì)，如下表所示，對(duì)投保人的年齡所對(duì)應(yīng)的的置信區(qū)間進(jìn)行創(chuàng)建。

表1 36個(gè)投保人年齡的數(shù)據(jù)

解已知n=36，1-α=90%，zα/2=z0.05=1.645.根據(jù)樣本計(jì)算得：x=39.5，s=7.77，均值μ在達(dá)不到置信度1-α?xí)r所對(duì)應(yīng)的的置信區(qū)間為：

x±zα/2 =39.5±1.645× =39.5±2.13=（37.37，41.63）

投保人所對(duì)應(yīng)的年齡的置信區(qū)間是37.37：41.63歲.

5.3 產(chǎn)品使用壽命

例7燈泡使用壽命方面滿足正態(tài)分布，第一步測(cè)試燈泡的平均壽命位于置信區(qū)間按照隨機(jī)的方式，對(duì)16只燈泡展開(kāi)測(cè)試，具體測(cè)量情況顯示如下。

表2 16只燈泡使用壽命的數(shù)據(jù)

解已知X～N（μ，σ2），n=16，1-α=95%，tα/2（n-1）=t0.025（15）=2.131，根據(jù)樣本數(shù)據(jù)計(jì)算得：x=1490;s=24.77，總體均值μ沒(méi)有達(dá)到1-α置信水平，所對(duì)應(yīng)的置信區(qū)間為： ±t ?=1490±13.2=（1476.8，1503.2）.這一類型的燈泡所能使用的平均壽命對(duì)應(yīng)的置信區(qū)間是1476.8～1503.2小時(shí)。

6 結(jié)束語(yǔ)

通過(guò)本次設(shè)計(jì)，深入的學(xué)習(xí)了解了區(qū)間估計(jì)、置信區(qū)間、置信水平、區(qū)間精確度、可靠度，并理解了它們之間的關(guān)系以及聯(lián)系，更加熟練的掌握并運(yùn)用區(qū)間估計(jì)方面的知識(shí)。

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