范文捷

摘要：作為高中數(shù)學(xué)中的主要構(gòu)成，復(fù)數(shù)部分問題的解答難度較高，這類問題也是我們在日常數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)及考試中的主要耗時點?；诖?，本研究以復(fù)數(shù)相等這一定義為中心，細(xì)化闡述其在復(fù)數(shù)運算類問題、解析幾何類問題等不同證題中的應(yīng)用方法與技巧，以期為高中數(shù)學(xué)的復(fù)數(shù)問題解答提供參照。

關(guān)鍵詞：復(fù)數(shù)相等;復(fù)數(shù)證題;解析幾何

前言：

復(fù)數(shù)方程是我們高中階段數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的重難點之一。在解答這類題目的過程中，常常會遇到難以確定解題思路、解題錯誤率高等狀況。事實上，復(fù)數(shù)相等的定義作為高中數(shù)學(xué)教材中復(fù)數(shù)部分的主要概念，其可為復(fù)數(shù)相關(guān)問題的解答提供依據(jù)。因此，分析復(fù)數(shù)相等的定義在高中數(shù)學(xué)證題中的應(yīng)用具有一定的現(xiàn)實意義。

一、復(fù)數(shù)相等定義在復(fù)數(shù)運算類問題中的應(yīng)用

復(fù)數(shù)運算無疑是高中數(shù)學(xué)教材中復(fù)數(shù)部分的經(jīng)典問題之一[1]。結(jié)合既往解題經(jīng)驗可知，這類問題的運算通常較為復(fù)雜，一旦出現(xiàn)疏忽，很容易導(dǎo)致最終結(jié)果的錯誤。在復(fù)數(shù)運算解題中，對于適宜引入復(fù)數(shù)相等概念的問題，我們可以直接代入這一定義，以降低這類問題的解答難度。

例如，復(fù)數(shù)

等于（ ）

A.-i B.i C.

-i D.

+i

在解答這一復(fù)數(shù)運算問題時，如按照常規(guī)方法進(jìn)行作答，即直接運用題目中的復(fù)數(shù)式進(jìn)行計算，則需要花費較長時間。對于這類問題，可借助復(fù)數(shù)相等的定義進(jìn)行解答。采用設(shè)方程形式，將復(fù)數(shù)式調(diào)整為：z=

=x+yi。在上述方程基礎(chǔ)上進(jìn)行轉(zhuǎn)化，可得：（

-i）（x+yi）=1+

，進(jìn)一步分解可得：（

x+y）+（-x+

y）=1+

i。此時，運用復(fù)數(shù)相等的定義，將上述已知信息轉(zhuǎn)化為如下兩條信息：

x+y=1以及

y-x=

。在此基礎(chǔ)上求解，可確定x與y的值分別為0、1，由此可認(rèn)為：題目中復(fù)數(shù)（z）的值為i，正確答案為B。

二、復(fù)數(shù)相等定義在解析幾何類問題中的應(yīng)用

復(fù)數(shù)相等這一定義的活用，可為不同類型題目的解答提供支持[2]。除了復(fù)數(shù)的運算問題，在日常數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，我們還可于解答某些解析幾何題目時，合理運用這一定義。

例如，已知圓的方程a2-20=x2+y2-8x-4y，（a>0）。在這一方程中，已知三點，其中，O為圓點，P為該圓上的一個動點，另一點A則為定點，其坐標(biāo)為（4，2-a）。該圓上另有一動點Q，其運動規(guī)律為：

=3

+2

，求解該點的軌跡方程。

根據(jù)上述已知條件，可將該圓的方程轉(zhuǎn)化為：a2=（x-4）2 +（y-2）2。在此基礎(chǔ)上，將其轉(zhuǎn)化成參數(shù)方程形式為：x=4+ acosθ、y=2+asinθ。根據(jù)動點Q的運動規(guī)律要求，將3

轉(zhuǎn)化為12+（6-3a）i，并將2

轉(zhuǎn)化為：i（4+2sinθ）+（8+2acosθ）。將動點Q運動規(guī)律中的另一已知條件

設(shè)為x+yi。此時，運用復(fù)數(shù)相等等以，將上述已知信息轉(zhuǎn)化為：x=20+2acosθ，y=2asinθ+10-3a。從上述信息中消掉θ，即可獲得動點Q的軌跡方程，為：4a2=（x-20）2+（y-10+3a）2。

從上述解題流程來看，復(fù)數(shù)相等定義的運用，有效簡化了動點Q軌跡方程的確定難度。由此可認(rèn)為，復(fù)數(shù)相等定義的活用，可為我們的數(shù)學(xué)證題解答提供諸多幫助。

三、復(fù)數(shù)相等定義在方程求值類問題中的應(yīng)用

復(fù)數(shù)相等定義的應(yīng)用范圍較廣。在實踐解題中，我們可以嘗試在方程求值類問題中，合理代入這一定義，以縮短方程求值解題所需時間。

例如，已知方程x2-2（1+i）x+

ab-（a-b）i=0（a，b∈R），該方程總有一個實數(shù)根，求解這一實數(shù)根的取值范圍。

在解答這一證題的過程中，為了明確該方程的實數(shù)根，我們可先將這一實數(shù)根設(shè)為m，且將該實數(shù)根的取值范圍設(shè)定為R。將這一實數(shù)根代入方程中，可得：m2-2（1+i）m+

ab-（a-b）i=0，在此基礎(chǔ)上進(jìn)行分解可得：m2-2m+

ab+i（b-2m-a）=0。此時，運用復(fù)數(shù)相等定義，將上述方程轉(zhuǎn)化為如下兩個部分：a+2m-b=0以及m2-2m+

ab=0。同時從上述兩部分中將實數(shù)根m消掉，可得：（a+2）2+（b-2）2=8。在此基礎(chǔ)上，分別將該方程中的a+2及b-3設(shè)為2

cosθ、2

sinθ。求解實數(shù)根m可得：m=

=2+

（sinθ-cosθ）=2+2sin（θ-

）。根據(jù)函數(shù)的屬性，可確定|sin（θ-

）|

≤1，因此，可確定實數(shù)根的取值范圍為0≤m≤4。

方程求值類問題的形式較多。除了上述題目外，復(fù)數(shù)相等定義還可在如下問題中得到良好的應(yīng)用。

例如，已知m≥0，方程n|n|+mn+i=0。求解方程中的復(fù)數(shù)n的值。

在分析這一問題中的已知條件時，可發(fā)現(xiàn)：如按照當(dāng)前的已知條件形式，難以獲取其他信息。因此，我們在解題時，首先應(yīng)考慮已知條件中的內(nèi)容是否可轉(zhuǎn)化成其他形式。本題目中的方程n|n|+mn+i=0可轉(zhuǎn)化為：n（|n|+m）+i=0。根據(jù)這一轉(zhuǎn)化結(jié)果，可初步判斷本題目所求復(fù)數(shù)n的值不為零。代入題目中的已知條件，m≥0，可確定如下關(guān)系：m+|n|>0，此時，可獲得如下結(jié)論：n=-

。將復(fù)數(shù)相等定義代入上述已知信息中，令復(fù)數(shù)n=ki，分別從大于0、小于0兩方面分析k值。如k>0，與前文所述已知信息相互矛盾，可判斷這一取值范圍不正確。因此，可設(shè)k<0，可得k值為：k（m-k）=-1，進(jìn)一步轉(zhuǎn)化，可得k=

。根據(jù)上述結(jié)果，可確定本證題中所求復(fù)數(shù)n的值為

i（m≥0）。

在解答上述問題時，如按照傳統(tǒng)思路進(jìn)行解答，即另復(fù)數(shù)n=x+yi（x，y∈R），在這一解題思路下，x、y這兩個值的解答過程較為復(fù)雜，且其中的y>0屬于增解。在分別確定上述兩個數(shù)值的過程中，我們不僅需要花費大量的時間，還可能因解題步驟繁瑣而出現(xiàn)錯誤。相比之下，在解題過程中引入復(fù)數(shù)相等的定義后，復(fù)數(shù)n的解答思路變得更加明確、具體，由復(fù)數(shù)相等關(guān)系所得到的已知信息較為簡潔，整個解題過程的步驟較少，耗時較短。由此可認(rèn)為，在證題中，合理運用復(fù)數(shù)相等這一定義具有一定的必要性。

結(jié)論：

綜上所述，于復(fù)數(shù)部分證題中合理運用復(fù)數(shù)相等的定義，可降低復(fù)數(shù)證題的解答難度。因此，在后續(xù)學(xué)習(xí)中，我們應(yīng)在深刻領(lǐng)悟復(fù)數(shù)相等這一定義的特征的基礎(chǔ)上，根據(jù)復(fù)數(shù)問題的已知信息及解答要求等，適時采用復(fù)數(shù)相等定義進(jìn)行分析，快速確定解題思路，以保障問題解答的正確率。此外，我們還可以從復(fù)數(shù)相等定義的證題應(yīng)用經(jīng)驗中總結(jié)技巧，不斷提升復(fù)數(shù)相關(guān)證題的解題能力。

參考文獻(xiàn)：

[1]冶慧玲.實數(shù)條件是求解復(fù)數(shù)方程問題的關(guān)鍵[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2018 （18）：41-42.

[2]吳天文.美國高中復(fù)數(shù)教學(xué)研究[D].廣州大學(xué)，2017.